如何解答直線與圓錐曲線問題

李海艷

直線與圓錐曲線問題具有較強(qiáng)的綜合性，且運(yùn)算量較大，側(cè)重于考查直線的方程、直線的斜率、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、圓錐曲線的方程、平面幾何圖形的性質(zhì)等.常見的命題形式有求直線的斜率、求直線的方程、求圓錐曲線的方程、判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、求圓錐曲線中弦的長(zhǎng)度等.本文主要探討下列三類直線與圓錐曲線問題的解法.

一、直線的斜率問題

解：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

因?yàn)橹本€y=kx-1與y軸交于點(diǎn)P，

所以點(diǎn)P（0，-1）

消去y得（3+4k²）x²-8kx-8=0，Δ>0

則（-x₁，-1-y₁）=3（x₂，y₂+1）

所以x₁=-3x₂

設(shè)出直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線和橢圓的方程聯(lián)立，通過消元，構(gòu)造關(guān)于x的一元二次方程，即可根據(jù)韋達(dá)定理建立方程，通過解方程即可求得直線的斜率.求直線的斜率，需重點(diǎn)研究直線與圓錐曲線的方程以及交點(diǎn)的坐標(biāo).

二、弦中點(diǎn)問題

∵AB的中點(diǎn)為M（-4，1）

∴x₁+x₂=-8，y₁+y₂=2

∴正確答案為選項(xiàng)C.

該題是與弦中點(diǎn)有關(guān)的圓錐曲線離心率問題，需首先設(shè)出交點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，將其代入橢圓的方程中并作差，求得直線的斜率的表達(dá)式，便可根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)建立關(guān)于a、b的等式，求得橢圓的離心率.運(yùn)用點(diǎn)差法解答中點(diǎn)弦問題，關(guān)鍵是將兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線的方程中，并作差，據(jù)此建立關(guān)系式.

三、弦長(zhǎng)問題

（1）求橢圓M的方程;

（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

綜上可見，無(wú)論是求直線的斜率、解答中點(diǎn)弦問題，還是解答弦長(zhǎng)問題，都需重點(diǎn)研究直線與圓錐曲線的方程，可將兩個(gè)方程聯(lián)立，構(gòu)造一元二次方程，也可將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線的方程，并將兩個(gè)方程作差.