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    例談一類線性遞推數(shù)列通項公式的求法

    2022-05-31 13:20:03羅柯宇
    關(guān)鍵詞:化簡式子通項

    羅柯宇

    遞推數(shù)列的通項公式問題比較常見.求遞推數(shù)列的通項公式的方法多種多樣,常見的有:累加法、累乘法、待定系數(shù)法、猜歸法、同除法、構(gòu)造法等.運用這些方法求數(shù)列的通項公式,都需把遞推式變形為等差數(shù)列或者等比數(shù)列的通項公式,將問題化歸為等差數(shù)列或者等比數(shù)列的通項公式問題.在本文中,筆者著重探討了一類線性遞推數(shù)列:an+1=pan+rqn的通項公式的求法.

    若已知an+1=pan+rqn,求數(shù)列{an}的通項公式問題較為復雜.要求得數(shù)列的通項公式,關(guān)鍵是要求得an的表達式,需將遞推式an+1=pan+rqn進行適當?shù)淖冃?,以便?gòu)造出輔助數(shù)列,通過求輔助數(shù)列的通項公式,求得數(shù)列{an}的通項公式.

    1.當p=1時,由an+1=pan+rqn可得an+1-an=rqn

    則an-an-1=rqn-1,

    an-1-an-2=rqn-2

    …,

    a2-a1=rq,

    將上述式子累加得an-a1=r(qn-1+qn-2+…+q),

    當p=1時,需采用累加法,將n=1,2,3,…,n-1時的n-1個式子累加,通過正負相互抵消,得到an-a1的表達式,再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,化簡該表達式,即可求得數(shù)列{an}的通項公式.

    例1.已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+2×3n,求數(shù)列{an}的通項公式.

    解:由an+1=an+2×3n得an+1-an=2×3n,

    則an-an-1=2×3n-1,

    an-1-an-2=2×3n-2

    …,

    a2-a1=2×31,

    通過累加得an-a1=2×(3n-1+3n-2+…+31),

    由a1=1得an=3n-2,

    所以數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2.

    該數(shù)列的遞推式形如an+1=pan+rqn,此時p=1,可采用累加法求解,令n=1,2,3,…,n-1,將這n-1個式子累加,即可求得數(shù)列的通項公式.

    例2.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3×4n,求數(shù)列{an}的通項公式.

    解:設an+1+m4n+1=2(an+m4n),

    可得an+1=2an-2m4n,

    例4.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3×2n,求數(shù)列{an}的通項公式.

    即an=2n-1×(3n-2).

    該數(shù)列形如an+1=pan+rpn,其中p≠1,p=q,需在遞推式的左右同時除以pn,從而構(gòu)造出等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可解題.

    4.若p≠1、p≠q時,則在遞推式an+1=pan+rpn

    例5.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3n,求數(shù)列{an}的通項公式.

    該遞推式形如an+1=pan+rpn,且p≠1、p≠q,可以在遞推式的左右同時除以pn,通過待定系數(shù)法來構(gòu)造輔助數(shù)列,然后利用累加法求得新數(shù)列的通項公式,進而得到an的通項公式.

    總之,由形如an+1=pan+rpn的遞推式求數(shù)列的通項公式,需首先明確遞推式的類型,確定p、q的取值,然后將遞推式進行變形,如在遞推式的左右同除以pn,引入待定系數(shù),構(gòu)造出等差、等比數(shù)列的通項公式或者類似于等差、等比數(shù)列通項公式的式子,以便構(gòu)造出輔助數(shù)列,然后通過累加,或利用等差、等比數(shù)列的通項公式求得問題的答案.

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