例談一類線性遞推數(shù)列通項公式的求法

羅柯宇

遞推數(shù)列的通項公式問題比較常見.求遞推數(shù)列的通項公式的方法多種多樣，常見的有：累加法、累乘法、待定系數(shù)法、猜歸法、同除法、構(gòu)造法等.運用這些方法求數(shù)列的通項公式，都需把遞推式變形為等差數(shù)列或者等比數(shù)列的通項公式，將問題化歸為等差數(shù)列或者等比數(shù)列的通項公式問題.在本文中，筆者著重探討了一類線性遞推數(shù)列：a_n+1=pa_n+rqⁿ的通項公式的求法.

若已知a_n+1=pa_n+rqⁿ，求數(shù)列{a_n}的通項公式問題較為復雜.要求得數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是要求得a_n的表達式，需將遞推式a_n+1=pa_n+rqⁿ進行適當?shù)淖冃?，以便?gòu)造出輔助數(shù)列，通過求輔助數(shù)列的通項公式，求得數(shù)列{a_n}的通項公式.

1.當p=1時，由a_n+1=pa_n+rqⁿ可得a_n+1-a_n=rqⁿ，

則a_n-a_n-1=rq^n-1，

a_n-1-a_n-2=rq^n-2，

…，

a₂-a₁=rq，

將上述式子累加得a_n-a₁=r（q^n-1+q^n-2+…+q），

當p=1時，需采用累加法，將n=1，2，3，…，n-1時的n-1個式子累加，通過正負相互抵消，得到a_n-a₁的表達式，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，化簡該表達式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式.

例1.已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+2×3ⁿ，求數(shù)列{a_n}的通項公式.

解：由a_n+1=a_n+2×3n得a_n+1-a_n=2×3ⁿ，

則a_n-a_n-1=2×3^n-1，

a_n-1-a_n-2=2×3^n-2，

…，

a₂-a₁=2×3¹，

通過累加得a_n-a₁=2×（3^n-1+3^n-2+…+3¹），

由a₁=1得a_n=3ⁿ-2，

所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3ⁿ-2.

該數(shù)列的遞推式形如a_n+1=pa_n+rqⁿ，此時p=1，可采用累加法求解，令n=1，2，3，…，n-1，將這n-1個式子累加，即可求得數(shù)列的通項公式.

例2.在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3×4ⁿ，求數(shù)列{a_n}的通項公式.

解：設a_n+1+m4ⁿ⁺¹=2（a_n+m4ⁿ），

可得a_n+1=2a_n-2m4ⁿ，

例4.在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3×2ⁿ，求數(shù)列{a_n}的通項公式.

即a_n=2^n-1×（3n-2）.

該數(shù)列形如a_n+1=pa_n+rpⁿ，其中p≠1，p=q，需在遞推式的左右同時除以pⁿ，從而構(gòu)造出等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可解題.

4.若p≠1、p≠q時，則在遞推式a_n+1=pa_n+rpⁿ

例5.在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3ⁿ，求數(shù)列{a_n}的通項公式.

該遞推式形如a_n+1=pa_n+rpⁿ，且p≠1、p≠q，可以在遞推式的左右同時除以pⁿ，通過待定系數(shù)法來構(gòu)造輔助數(shù)列，然后利用累加法求得新數(shù)列的通項公式，進而得到a_n的通項公式.

總之，由形如a_n+1=pa_n+rpⁿ的遞推式求數(shù)列的通項公式，需首先明確遞推式的類型，確定p、q的取值，然后將遞推式進行變形，如在遞推式的左右同除以pⁿ，引入待定系數(shù)，構(gòu)造出等差、等比數(shù)列的通項公式或者類似于等差、等比數(shù)列通項公式的式子，以便構(gòu)造出輔助數(shù)列，然后通過累加，或利用等差、等比數(shù)列的通項公式求得問題的答案.