對一類概率問題解法的探究

金毅

概率是高中數(shù)學(xué)中的重要模塊.常見的概率問題主要有等可能事件的概率（即古典概型）、幾何概型、條件概率、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立的事件同時(shí)發(fā)生的概率（包括n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率）等.解答這些概率問題的常用方法有定義法、公式法、間接法等.而對于n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率問題，僅利用公式、定義，無法順利求得問題的答案，本文重點(diǎn)談一談解答此類概率問題的兩種途徑.

一、利用數(shù)列的通項(xiàng)公式

例1.甲，乙，丙，丁四個(gè)人相互之間傳球，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙，丙，丁中的任何一個(gè)人，依此類推.設(shè)經(jīng)過n次傳球后，球落在甲手上的概率為a_n.

（1）求a₁，a₂，a_n;

（2）探究：隨著傳球的次數(shù)足夠多，球落在甲，乙，丙，丁4人手上的概率是否相等，并說明理由.

二、利用函數(shù)的性質(zhì)

例2.某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為p，每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立.現(xiàn)工廠要求將產(chǎn)品每k個(gè)（k≤5）一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn).設(shè)該工廠生產(chǎn)1000件產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為X.

（1）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;

（2）當(dāng)p=0.1時(shí)，求使該方案最合理時(shí)k的值及1000件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù).

所以X的分布列如下：

當(dāng)1≤k≤5，k∈N^*時(shí)，g（k）單調(diào)遞減，

所以當(dāng)k=4時(shí)，平均檢驗(yàn)次數(shù)最少，該方案最為合理，此時(shí)g（4）=0.594，所以1000件產(chǎn)品平均檢驗(yàn)594次.

在解答概率問題時(shí)，要學(xué)會(huì)將隨機(jī)變量X看作變量，將n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率、期望看作函數(shù)式，借助函數(shù)的性質(zhì)來解題.

可見，解答概率問題，不僅要掌握概率中的基本公式、定義，會(huì)判斷事件的類型，還需將問題與數(shù)列、函數(shù)關(guān)聯(lián)起來，利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、函數(shù)的性質(zhì)來輔助解題，這樣才能有效地提升解題的效率.