數(shù)學(xué)思想在解答函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

邱香云

函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題比較常見，常見的命題形式有兩種：（1）求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);（2）已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍.下面結(jié)合實(shí)例，談一談如何巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解答函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題.

一、利用方程思想

函數(shù)f（x）的零點(diǎn)即為函數(shù)f（x）=0時(shí)x的取值.因此，在解答函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，可利用方程思想，令函數(shù)f（x）=0，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）所對(duì)應(yīng)的方程f（x）=0的解的個(gè)數(shù).解該方程，便可確定函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

所以函數(shù)f（x）有4個(gè)零點(diǎn).

該函數(shù)為分段函數(shù)，需分-π

二、利用數(shù)形結(jié)合思想

函數(shù)的圖象是解答函數(shù)問(wèn)題的重要工具.由于函

數(shù)f（x）的零點(diǎn)即為函數(shù)f（x）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以可利用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，通過(guò)研究函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，來(lái)求得函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例2.求函數(shù)f（x）=lnx+2x-4零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

令f（x）=lnx+2x-4=0，可得lnx=4-2x，

設(shè)g（x）=lnx，h（x）=4—2x，分別畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖1所示，

由圖可知兩個(gè)函數(shù)的圖象交于第一象限，

而g（x）=lnx在第一象限單調(diào)遞增，h（x）=4-2x在第一象限單調(diào)遞減，

所以兩個(gè)函數(shù)的圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)f（x）=lnx+2x-4只有1個(gè)零點(diǎn).

該函數(shù)由兩個(gè)簡(jiǎn)單初等函數(shù)g（x）、h（x）構(gòu)成，于是令f（x）=0，將方程變?yōu)間（x）=h（x）的形式，構(gòu)造出兩個(gè)新函數(shù)，然后在同一坐標(biāo)系中分別畫出g（x）和h（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解題.通過(guò)觀察兩個(gè)函數(shù)的圖象，即可明確其交點(diǎn)的個(gè)數(shù).兩個(gè)函數(shù)的圖象有幾個(gè)交點(diǎn)，方程g（x）=h（x）就有幾個(gè)解，函數(shù)f（x）=0就有幾個(gè)解，函數(shù)f（x）就有幾個(gè)零點(diǎn).

例3.已知函數(shù)f（x）=ax-2lnx（a∈R）有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：令f（x）=0，可得ax-2lnx=0

則當(dāng)00，g′（x）>0;

當(dāng)x>e時(shí)，1-lnx<0，g′（x）<0，

所以g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，

解答本題的關(guān)鍵在于將f（x）=0進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ㄟ^(guò)分離參數(shù)，構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn).在畫函數(shù)的圖象時(shí)，可利用導(dǎo)數(shù)法來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，以便確定函數(shù)圖象的變化情況.

總之，解答函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，可以從方程和圖象兩個(gè)方面入手，利用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解答.一般地，若易于求得方程f（x）=0的解，則可利用方程思想，通過(guò)解方程來(lái)解題;若不易求得方程f（x）=0的解，則需利用數(shù)形結(jié)合思想，借助函數(shù)圖象來(lái)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).