數(shù)列單調(diào)性在競(jìng)賽中的應(yīng)用

莊濤

【摘要】數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，遞增數(shù)列、遞減數(shù)列分別屬于遞增函數(shù)、遞減函數(shù).在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中數(shù)列不等式的證明及求最值等問(wèn)題中常運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列;單調(diào)性;競(jìng)賽;應(yīng)用

下面從幾個(gè)方面舉例說(shuō)明數(shù)列單調(diào)性在解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中的應(yīng)用.

1判斷數(shù)列的單調(diào)性

例1數(shù)列{an}中，已知a1=3，an=a 2n-12（an-1-1）（n≥2）.

（1）判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論;

（2）略.（第28屆希望杯高二2試）

解數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列.

因?yàn)閍n-2=a2n-12（an-1-1）-2

=a2n-1-4an-1+42（an-1-1）=（an-1-2）22（an-1-1）.

若an-1>1，則

an-2>0（顯然an≠2）.

因?yàn)閍1=3>1，

所以由歸納法原理知an>2.

又an+1-an=a2n2（an-1）-an

=a2n-2a2n+2an2（an-1）=an（2-an）2（an-1）<0，

所以an+1

故數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列.

注數(shù)列單調(diào)性定義：若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)，這樣的數(shù)列就叫做遞增數(shù)列，即對(duì)n∈N*，若總有an+1>an，則數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列.

若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)，這樣的數(shù)列就叫做遞減數(shù)列，即對(duì)n∈N*，若總有an+1

應(yīng)用定義是判斷數(shù)列單調(diào)性的基本方法.

2求項(xiàng)數(shù)

例2已知數(shù)列{an}：a1=7，an+1an=an+2，n=1，2，3，….求滿足an>42018的最小正整數(shù)n.（2009年全國(guó)高中聯(lián)賽）

解由an+1an=an+2，得

an+1=a2n+2an，

所以an+1+1=（an+1）2，

所以an+1=（an-1+1）2，

an-1+1=（an-2+1）2，

an-2+1=（an-3+1）2，

…，

a2+1=（a1+1）2=82，

即an+1=（a1+1）2n-1=82n-1=23×2n-1，

故an=23×2n-1-1.

顯然數(shù)列{an}單調(diào)遞增.

由于a11=23×211-1-1=23072-1<24036=42018，

a12=23×212-1-1=26144-1>24036=42018，

故滿足題目條件的正整數(shù)n的最小值是12.

3求數(shù)列的項(xiàng)

例3設(shè)兩個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列{an}，{bn}滿足a10=b10<2017，對(duì)任意正整數(shù)n，有an+2=an+1+an，bn+1=2bn，則a1+b1的所有可能值為.（2017年高中聯(lián)賽）

解由題設(shè)可知

a1，a2，b1均為正整數(shù)，且a1

由于2017>b10=29b1=512b1，

故b1∈{1，2，3}，

由an+2=an+1+an，

得a10=a9+a8=a8+a7+a8

=2a8+a7=3a7+2a6=5a6+3a5

=8a5+5a4=13a4+8a3

=21a3+13a2=34a2+21a1，

因此21a1≡a10=b10=512b1≡2b1（mod34），

而13×21=34×8+1，

故a1≡13×21a1≡13×2b1=26b1（mod34），①

另一方面，因?yàn)閿?shù)列{an}嚴(yán)格單調(diào)遞增，

所以a1

55a1<34a2+21a1=512b1，

故a1<512b155.②

當(dāng)b1=1時(shí)，①②分別化為a1≡26（mod34），a1<51255無(wú)解.

當(dāng)b1=2時(shí)，①②分別化為a1≡52（mod34），a1<102455，得到唯一的正整數(shù)a1=18，此時(shí)a1+b1=20.

當(dāng)b1=3時(shí)，①②分別化為a1≡78（mod34），a1<153655，得到唯一的正整數(shù)a1=10，

此時(shí)a1+b1=13.

綜上，得a1+b1的所有可能值為13，20.

4求參數(shù)的值

例4使不等式1n+1+1n+2+…+12n+1

解設(shè)f（n）=1n+1+1n+2+…+12n+1.

由f（n+1）-f（n）

=1（n+1）+1+1（n+1）+2+…+12（n+1）+1-

1n+1+1n+2+…+12n+1

=12（n+1）+12（n+1）+1-1n+1

=12n+3-12n+2=-1（2n+2）（2n+3）<0，

所以f（n+1）

故f（n）單調(diào)遞減.

所以f（n）的最大值為

f（1）=12+13=56，

所以56

解得a>56+200713=200816.

因?yàn)閍∈N*，

所以最小正整數(shù)a的值為2009.

5證明命題

例5證明：方程2x3+5x-2=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根r，且存在唯一的嚴(yán)格遞增正數(shù)數(shù)列{an}，使得25=ra1+ra2+ra3+….（2010年全國(guó)聯(lián)賽）

證明設(shè)f（x）=2x3+5x-2，

則f′（x）=6x2+5>0，

所以f（x）是嚴(yán)格單調(diào)遞增的.

又f（0）=-2<0，

f12=2×123+5×12-2=34>0，

所以方程2x3+5x-2=0有唯一實(shí)數(shù)根

r∈0，12，

于是2r3+5r-2=0，

即5r=2（1-r3），

所以25=r1-r3=r+r4+r7+…，

故數(shù)列an=3n-2（n=1，2，3，…）是滿足題設(shè)要求的數(shù)列.

若存在兩個(gè)不同的正整數(shù)數(shù)列a1

去掉上面等式兩邊相同的項(xiàng)，有

rs1+rs2+rs3+…=rt1+rt2+rt3+…，

這里s1

所有的si與tj都是不同的.

不妨設(shè)s1=t1，則

rs1

所以1

≤r+r2+r3+…=r1-r

<121-12=1，矛盾.

故滿足題設(shè)的數(shù)列是唯一的.