尋幽入微，巧比大小

祁君華

【摘要】比較大小的試題多見(jiàn)于試卷中的中檔題或壓軸題，除了常用的“中間值法”與“比較法”，本文再歸納總結(jié)幾個(gè)實(shí)用的、好用的方法.

【關(guān)鍵詞】比大小;方法歸納總結(jié)

本文歸納總結(jié)幾個(gè)實(shí)用的、好用的方法，助各位莘莘學(xué)子攻堅(jiān)克難，決勝高考.

1特值法

例1若實(shí)數(shù)a，b，c滿足log2a=log3b=4c，則（）

（A）a

（C）c

分析此類(lèi)題目，直接求證，一般難度頗大，但若能適當(dāng)取值，再代入計(jì)算，則能化難為易，瞬間突破.

解取a=2，代入得b=3，c=0，

所以c

例2設(shè)x，y，z為正數(shù)，且2x=3y=5z，則（）

（A）2x<3y<5z.（B）5z<2x<3y.

（C）3y<5z<2x.（D）3y<2x<5z.（2017年全國(guó)卷Ⅰ）

解取x=1，則

y=log32，z=log52，

所以2x=2，3y=3log32=log38<2，

5z=5log52=log532>2，

因此3y<2x<5z，選（D）.

2圖象法

例3同例1.

分析要比較三個(gè)相等的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量的大小，只需比較三個(gè)函數(shù)的圖象與直線y=m（m>0）的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系即可.此法直觀明了，簡(jiǎn)便易行.

圖1

解在同一直角坐標(biāo)系中作出y=log2x，y=log3x與y=4x的圖象（如圖1）.顯然，直線y=m（m>0）與三個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為c，a，b，所以c

例4已知a<5，且ae5=5ea，b<4，且be4=4eb，c<3，且ce3=3ec，則（）

（A）c

（C）a

解將已知的三個(gè)等式變形為

eaa=e55，ebb=e44，ecc=e33.

設(shè)f（x）=exx，

則原條件等價(jià)于“f（a）=f（5）且a<5，f（b）=f（4），且b<4，f（c）=f（3），且c<3”.作出f（x）的簡(jiǎn)圖（如圖2），由圖易得0

故選（D）.

圖2

3同構(gòu)法

例5設(shè)a=30.5，b=40.4，c=50.3，則（）

（A）a

（C）c

分析乍看之下，三個(gè)冪的結(jié)構(gòu)迵然不同（底數(shù)不同，指數(shù)也不同），不易直接比較.但若細(xì)心觀察，認(rèn)真比較，根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，也能將這三個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)統(tǒng)一起來(lái).

解a=3510=1035=10243，

b=4410=10256，c=5310=10125，

顯然c

例6設(shè)a=ln43，b=732，c=12ln158，d=0.42.1，則（）

（A）c>a.（B）b>c.（C）a>b.（D）a>d.

解對(duì)于（A），

由于c=12ln158=ln158，

則a=ln43=ln169，

因?yàn)?58>169，

所以c>a.

對(duì)于（B），b=732<14，14=12lne，

而c=12ln22564，

因?yàn)?2564>e，

所以c>b.

同理a>14，

所以a>b.

又因?yàn)閐=0.42.1<0.42=0.16，

所以a>d.

故選（A）（C）（D）.

4放縮法

例7已知55<84，134<85，設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（）

（A）a

（C）b

分析根據(jù)已知條件，易得b<45，c>45，即b

解a-b=log53-log85=log53-1log58

=log53·log58-1log58

所以a

又b

例8已知a=e0.02，b=1.012，c=ln2.02，則（）

（A）b>c.（B）c>a.（C）a>b.（D）a

分析除了“基本不等式”，常用來(lái)放縮的不等式還有ex≥x+1與lnx≤x-1.

解顯然a>1，b>1，而c<1.

又lna=0.02，lnb=2ln1.01，

由lnx≤x-1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）可得

ln1.01<0.01，

所以lnb

故選（A）（C）.

5構(gòu)造法

例9設(shè)a=2022ln2020，b=2021ln2021，c=2020ln2022，則（）

（A）a>c>b.（B）c>b>a.

（C）b>a>c.（D）a>b>c.

分析仔細(xì)觀察，靈活變形、轉(zhuǎn)化，可得“a與c的大小關(guān)系”等價(jià)于“l(fā)n20202020與ln20222022的大小關(guān)系”.構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnxx，利用f（x）的單調(diào)性易得f（2020）>f（2022），即a>c.同理可得a與b、b與c的關(guān)小關(guān)系.（下轉(zhuǎn)第21頁(yè)）