數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生深度思考的實現(xiàn)

摘? 要：數(shù)學(xué)教學(xué)要給學(xué)生留足思考的時間，讓他們深度參與、探究、交流與表達，并創(chuàng)設(shè)開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生進行自主和自由的思考. 通過設(shè)置項目化作業(yè)，拓展學(xué)生思考的空間，將學(xué)生思維的訓(xùn)練引向縱深，真正實現(xiàn)深度思考，提升學(xué)生的思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；深度思考；思考時間；開放性問題；項目化作業(yè)

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問題時，不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等過程. 這些過程是數(shù)學(xué)思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學(xué)生對客觀事物中蘊含的數(shù)學(xué)模型進行思考和判斷. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界. 對學(xué)生思維的訓(xùn)練就蘊含在思考的過程中. 只有深度思考，才能真正提升學(xué)生的思維品質(zhì). 沒有思維訓(xùn)練的教學(xué)一定是淺表性、形式化、灌輸式的教學(xué)，沒有深度思考的學(xué)習(xí)并不是真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

一、充足的時間：促進學(xué)生深度思考的保障

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，深度思考有利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)和核心素養(yǎng)的提升，是高效優(yōu)質(zhì)課堂的保障.深度思考需要時間. 然而，一些教師為了趕超教學(xué)進度一講到底，導(dǎo)致留給學(xué)生自主思考的時間少之又少.“教師樂于講，學(xué)生疲于聽”的現(xiàn)象比較常見. 在這種教學(xué)模式下，學(xué)生獲取知識依賴于告知式的靜態(tài)文本輸送和淺層模仿的機械操作，學(xué)生的思維只能浮于表層. 只有在時間充裕的情況下，學(xué)生的思考才能深入，思維才能被激活，才能對問題有深刻的分析，才能真正實現(xiàn)深度思考.

案例1：點到直線的距離公式.

問題1：如何從定義出發(fā)求點[Px0，y0]到直線l：Ax + By + C = 0的距離？

給學(xué)生一些時間計算，然后提出問題：在運算過程中，你遇到了什么困難？

在推導(dǎo)公式時，無論是求垂足[Qx1，y1]的坐標(biāo)，還是用兩點間的距離公式求線段PQ的長度，都對學(xué)生的運算提出了考驗，在后面的解析幾何的學(xué)習(xí)中學(xué)生還會遇到類似問題. 此時留足時間讓學(xué)生經(jīng)歷思維困境，突破思維障礙，可為解析幾何的學(xué)習(xí)中運算的優(yōu)化提供心理基礎(chǔ).

問題2：能否從運算策略上進行優(yōu)化？

給學(xué)生留足自主探究的時間，在學(xué)生有了自己的探究方案和運算過程后，當(dāng)堂展現(xiàn)幾名學(xué)生的探究結(jié)果，讓學(xué)生說自己的思考方法（學(xué)生想到了運用三角函數(shù)、等面積轉(zhuǎn)化和三角形相似等策略將線段PQ長度的計算轉(zhuǎn)化為易求的水平或垂直距離）. 在這個過程中，留給學(xué)生充足的思考時間，讓學(xué)生深度參與探究過程，充分暴露思維過程，提煉、總結(jié)并優(yōu)化其中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法.

問題3：之前的運算方案聚焦在如何求出交點的坐標(biāo)，能否繞過求交點坐標(biāo)，直接從運算目標(biāo)x1 - x0和y1 - y0入手尋找突破口？

教師引導(dǎo)學(xué)生在思考時關(guān)注求解目標(biāo)PQ =[x1-x02+y1-y02]中的x1 - x0和y1 - y0這兩個整體，留出時間讓學(xué)生思考“點到直線的距離”中隱含著“垂直”和“點在直線上”這兩個信息.

提示語：如何表示垂直？如何運用點Q在直線l上？怎么樣才能得到x1 - x0和y1 - y0這兩個整體？

在教師的提示和引導(dǎo)下，學(xué)生思考片刻，得到[Bx1-x0-Ay1-y0=0，Ax1-x0+By1-y0=-Ax0+By0+C，] 然后將兩式平方相加，得[A2+B2x-x02+y-y02=C+Ax0+By02].化簡，得[x1-x02+y1-y02=Ax0+By0+CA2+B2].

“將時間還給學(xué)生”不應(yīng)該只是一句口號. 在課堂教學(xué)中，教師不要長篇大論地講授，而要多引導(dǎo)學(xué)生自主思考，提供給學(xué)生充足的時間對問題進行深入研究. 思維的深刻性往往孕育在深度思考中，教師要讓學(xué)生有時間暴露他們的思維過程，并交流與表達他們的思考成果. 有了自己的思考與理解，學(xué)生的思維才能走向縱深；有了深度思考，才能形成高階思維，進而發(fā)生深度學(xué)習(xí).

二、開放性問題：提供學(xué)生深度思考的平臺

數(shù)學(xué)思維能力是在運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法分析與解決問題的過程中形成的. 教學(xué)中，教師應(yīng)該基于學(xué)生現(xiàn)有的思維水平，轉(zhuǎn)化學(xué)生潛在的思維水平，促使學(xué)生形成新的思維最近發(fā)展區(qū). 如此循環(huán)，不斷轉(zhuǎn)化，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維不斷發(fā)展. 為了讓不同思維水平的學(xué)生都能在自己的思維發(fā)展區(qū)進行思考，設(shè)計合適的問題情境非常重要. 合適的問題情境應(yīng)該具有開放性和發(fā)散性，而發(fā)散思維正是在解決開放性問題的過程中形成的. 這是因為學(xué)生在對給出的材料和信息進行表征時，會在思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)選擇不同的角度、方式和經(jīng)驗進行思考，這樣更容易引發(fā)深度思考.

案例2：橢圓內(nèi)接三角形面積探究課.

已知△PMN是橢圓[x22+y2=1]的內(nèi)接三角形，滿足 __________（試添加一個條件），探求△PMN面積的最值或取值范圍.

課堂上，學(xué)生在自己思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提出了一系列問題，按照三角形三個頂點的運動狀態(tài)整理如下.

一動兩定：直線MN的方程為y = 2x，點P為任意一點；點M，N分別為橢圓的上頂點和左頂點，點P為任意一點.

兩動一定：點P為橢圓上頂點，PM⊥PN；點P為橢圓的右頂點，且直線PM，PN的斜率之積為[-12].

三個動點：直線MN平行于長軸，點P為任意一點；點M，N關(guān)于橢圓中心對稱，點P為任意一點；直線PM，PN分別過橢圓的左、右焦點F1，F(xiàn)2；過點P作直線PM，PN使它們分別經(jīng)過左焦點F1和橢圓中心O……

學(xué)生對自己提出的問題進行自主思考，形成解決問題的策略與方法.

例如，對“直線MN的方程為y = 2x，點P為任意一點”的思考.

生1的思考，如圖1所示.

生2的思考，如圖2所示.

生1是直接表征三角形的高，而生2則有了“動中求靜”的思考. 兩種思維方式下，運算煩瑣程度將產(chǎn)生差別.

再如，對“點P為橢圓上的頂點，PM⊥PN”的思考.

生3的思考，如圖3所示.

生4的思考，如圖4所示.

生3屬于單向直譯的思維方式，導(dǎo)致運算對象較多，而生4也有了“動中求靜”的思想，在表示三角形面積時輕松很多.

在這節(jié)課中，教師創(chuàng)設(shè)開放性問題，學(xué)生隨堂添加條件，并對自己提出的問題進行分析和運算. 不同思維水平的學(xué)生對同一問題的表現(xiàn)呈現(xiàn)出不同的思維特征，這取決于學(xué)生的知識水平、認(rèn)知結(jié)構(gòu)和表征經(jīng)驗. 當(dāng)然，學(xué)生課堂上提出的問題，有的可以及時解決，有的由于難度較大、開放性較強而沒有得到解決. 教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生將思維的觸角延伸到課后，將思考進行到底.???????

教師創(chuàng)設(shè)開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生在其思維的最近發(fā)展區(qū)進行思考，將他們引向不同的思維方向. 當(dāng)學(xué)生有了自己的思維成果，并能與他人的思維成果進行交流與碰撞時，會自發(fā)地進行思維的矯正與融合. 這樣的過程促進了學(xué)生思維的進階，提升了他們的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

三、項目化作業(yè)：拓展學(xué)生深度思考的場域

項目化作業(yè)是以學(xué)生為本開展的學(xué)習(xí)活動. 學(xué)生在教師的組織和引導(dǎo)下收集信息、獲取知識、探討方案，以此解決具有現(xiàn)實意義的問題. 這樣的學(xué)習(xí)過程由個體互動所形成的意義鏈和關(guān)系鏈構(gòu)成，推動著學(xué)生之間富有內(nèi)涵的相互學(xué)習(xí). 學(xué)生以小組為單位進行數(shù)學(xué)思考，在解決具體問題中習(xí)得知識、鞏固技能、促進理解. 這樣的學(xué)習(xí)能增強學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

案例3：測量熟悉建筑物的高度.

指導(dǎo)學(xué)生按下列環(huán)節(jié)進行項目化學(xué)習(xí)：（1）成立項目小組，確定工作目標(biāo)，準(zhǔn)備測量工具；（2）小組成員查詢資料，進行討論交流，尋求科學(xué)有效的測量方法，設(shè)計測量方案；（3）分工合作，明確責(zé)任，如測量并記錄數(shù)據(jù)、計算求解、撰寫報告的分工等；（4）撰寫報告，討論交流，展示成果.

可以看到學(xué)生在該項目化學(xué)習(xí)中有很多創(chuàng)新的思考.

例如，在測量工具的設(shè)計上，有學(xué)生設(shè)計“瓶筷器”（由一個盛有水的礦泉水瓶和一根筷子組成）. 其中，礦泉水瓶起水平尺的作用，筷子起鉛垂線的作用. 這就是創(chuàng)新思考的體現(xiàn).

又如，在測量方案上，一開始的測量方案是：生1讓眼睛與“瓶筷器”位于同一水平線上，生2幫助觀察水瓶中的液面是否與瓶底平行以確定整個裝置是否處于水平狀態(tài)，生3測量眼睛到裝置末端的距離，記錄數(shù)據(jù). 再讓生1向前走2米（用卷尺測量），再次進行上述操作. 學(xué)生畫出示意圖，如圖5所示.

數(shù)據(jù)計算與分析：設(shè)第二次測量地至樓底部距離為x米，樓的高度為h米. 由測量數(shù)據(jù)，得[0.3060.306+2+0.285+x=]

[0.2850.285+x=0.23h-1.65]，解得[x≈31，h≈26.65.] 而實際數(shù)據(jù)是每層樓高度2.9 × 6 + 車庫高度2.47 + 頂部裝飾物高度0.8 ≈ 20.67.

對比數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)上述方案產(chǎn)生的誤差較大，經(jīng)過思考調(diào)整為新方案：如圖6，生1蹲在地上，生2站在生1前方并將一支長棒豎立在地面上，調(diào)整棒的高度直至生1眼中棒的手握處（視為點M）與樓頂（視為點N）重合，生3測量生1眼睛到地面的距離、生1和生2間的距離及棒的手握處距離地面的高度. 再測量生2與樓之間的距離（通過兩者之間磚頭的塊數(shù)和每塊磚的長度來估算）. 設(shè)樓總高度為h米，[1.855-0.782.13=h-0.782.13+37，] 解得[h≈20.53]，此時與實際數(shù)據(jù)較接近.（樓頂裝飾包含于樓高內(nèi).）

學(xué)生反思研究方案：第一次測量時，由于裝置簡陋及場地地面不平，導(dǎo)致計算結(jié)果誤差較大；第二次測量誤差較小（在0.1 ～ 0.2米內(nèi)），但測量者到樓底的距離的測量操作性不強，若所測物與測量者之間有障礙物（如河流等）則難以完成. 對此，可以通過改進裝置減小測量誤差與不便，如圖7和圖8所示，這是學(xué)生創(chuàng)造性的表現(xiàn).

使用圖7時，使裝置水平后，將木條A對準(zhǔn)測量點，鉛垂自然下垂，讀取刻度為x. 由cosθ=x/L算出仰角θ；然后，將裝置朝測量點方向移動. 重復(fù)上述操作，得到仰角θ，進而求得測量點的高度. 對于圖8，通過調(diào)節(jié)支架高度使水平儀處于水平位置，從而解決地面不平的問題；移動圓環(huán)代替“瓶筷器”可以固定觀測點（眼睛）；只讓圓環(huán)在水平儀上移動可以減小測量中視線頻繁移動產(chǎn)生的誤差.

不難看出，在這樣的項目化學(xué)習(xí)中，學(xué)生既有團隊合作和交流，也有面對困難時對測量方案的調(diào)整與反思，還有對測量數(shù)據(jù)誤差的理性分析，更有對測量工具的改進與創(chuàng)新. 整個過程融入了學(xué)生的動手操作、分工協(xié)作、分析數(shù)據(jù)、設(shè)計裝置等活動，學(xué)生不僅需要調(diào)取所學(xué)知識與方法進行思考，還需要根據(jù)實際情況和數(shù)據(jù)進行反思. 在這一系列活動中，學(xué)生的思維得到了訓(xùn)練.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有做到時間上有保障、方式上有創(chuàng)新、空間上有突破，學(xué)生才能夠進行深度思考. 這樣的思維訓(xùn)練才是有效的，才能真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］丁益民. 指向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)單元教學(xué)：以《點到直線的距離公式》一課為例［J］. 教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2021（12）：46-50.

［3］謝全苗. 思維的“最近發(fā)展區(qū)”的開發(fā)與利用［J］. 數(shù)學(xué)通報，2004（8）：15-18.

［4］吳紅梅. 通過項目學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的實踐與思考［J］. 中小學(xué)外語教學(xué)（小學(xué)篇），2018，41（5）：49-52.

收稿日期：2022-09-11

基金項目：江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——深度學(xué)習(xí)視域下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計與實踐研究（C-c/2020/02/50）.

作者簡介：丁益民（1981— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教材教法研究.