以問題情境的層層深入促進核心素養(yǎng)的發(fā)展

摘? 要：以“弧度制”為例，闡釋如何以問題情境的層層深入引導(dǎo)學(xué)生思考問題的本質(zhì)，促進思維的深入發(fā)展，落實核心素養(yǎng)目標. 通過對教學(xué)過程中問題情境設(shè)計的思考，指出在課堂教學(xué)中要基于問題產(chǎn)生的背景提出問題，讓學(xué)生體會學(xué)習(xí)新知的必要性；要關(guān)注研究內(nèi)容的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，設(shè)置層層遞進的問題，直至揭示學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì)；在問題設(shè)置中，要關(guān)注學(xué)生思維過程的自然，使學(xué)生獲得思維經(jīng)驗，發(fā)展核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：問題情境；問題設(shè)置；素養(yǎng)發(fā)展；弧度制

一、背景

隨著高中課程改革的不斷深入，著力發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)成為突出的課程理念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程的核心目標.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）在教學(xué)與評價建議中指出，要關(guān)注學(xué)生對具體內(nèi)容的掌握情況，更要關(guān)注學(xué)生核心素養(yǎng)水平的表現(xiàn). 在課堂教學(xué)中，恰當?shù)膯栴}情境的創(chuàng)設(shè)能引發(fā)學(xué)生的思考與交流，教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)、根據(jù)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)層層遞進的問題情境，引發(fā)學(xué)生不斷深入思考，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.《國務(wù)院辦公廳關(guān)于新時代推進普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》在深化課堂教學(xué)改革方面也提出積極探索基于情境和問題導(dǎo)向的互動式、啟發(fā)式、探究式、體驗式等課堂教學(xué). 對于學(xué)生來說，核心素養(yǎng)的發(fā)展是在與問題情境的有效互動和問題解決中得到提升的. 因此，在教學(xué)活動中，結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊含的核心素養(yǎng)設(shè)計恰當?shù)摹訉由钊氲膯栴}情境，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

二、教學(xué)準備

1. 教材分析

“弧度制”是人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊第五章第一節(jié)第2課時的內(nèi)容. 本節(jié)課起著承上啟下的作用：學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過角的度量單位“度”，并且通過上一節(jié)課的學(xué)習(xí)，將角的概念推廣到了任意角；本節(jié)課作為“三角函數(shù)”的第2課時，通過“角度與三角函數(shù)值之間不能直接進行運算”引發(fā)的認知沖突引入弧度制，進而統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量和函數(shù)值的單位，使得角與實數(shù)之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，對學(xué)生學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)和基本函數(shù)的運算等起著非常重要的作用.

2. 教學(xué)目標

本節(jié)課教學(xué)目標設(shè)置如下.

（1）通過對“角度與三角函數(shù)值不能直接進行運算”的思考，體會引入弧度制的必要性，發(fā)展理性思維.

（2）經(jīng)歷弧長與半徑的比與圓心角的關(guān)系的探究，了解弧度制的概念，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（3）能用自己的語言闡釋弧度制的本質(zhì)（用線段的長度度量角的大小），建立角的集合與實數(shù)集的一一對應(yīng)關(guān)系，體會對應(yīng)思想.

（4）能進行弧度與角度的互化，能推導(dǎo)并應(yīng)用弧度制下的扇形弧長公式和面積公式，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

【設(shè)計意圖】教學(xué)目標充分考慮學(xué)生的已有經(jīng)驗與認知水平，從學(xué)生已有的能力水平出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的認知傾向，著眼于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能. 在教學(xué)目標中突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，根據(jù)《標準》的要求，與教材內(nèi)容結(jié)合，關(guān)注素養(yǎng)發(fā)展的連續(xù)性，引導(dǎo)學(xué)生整體理解所學(xué)內(nèi)容，促進學(xué)生素養(yǎng)的提升.

3. 教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點：弧度制的背景，弧度制的本質(zhì)，能進行弧度與角度的互化.

教學(xué)難點：弧度制的本質(zhì)，建立角的集合與實數(shù)集的一一對應(yīng)關(guān)系.

三、教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)引入

問題情境1：公元六世紀，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多在創(chuàng)新制作正弦表時，發(fā)現(xiàn)了一個問題. 在等式sin 30° = 0.5中，等號左邊的角度數(shù)是六十進位制，等號右邊的三角函數(shù)值是十進位制.

問題1：你能計算30° + sin 30°嗎？

【設(shè)計意圖】通過數(shù)學(xué)文化問題情境的創(chuàng)設(shè)引發(fā)學(xué)生思考. 以前學(xué)的運算都是封閉的，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)“角度”的正弦值是一個“實數(shù)”，進而提出問題“角度與角度的正弦值可以進行運算嗎？”引導(dǎo)學(xué)生的思維方向，認識到30°角的單位是度，而sin 30°是一個實數(shù)，發(fā)現(xiàn)30°與sin 30°不能相加，引發(fā)學(xué)生的認知沖突，進而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和思考問題的能力.

問題2：初中學(xué)過哪些度量角的單位？

生：角度制的單位有度、分、秒.

追問1：度、分、秒的進位制是怎樣的？

生：1度 = 60分，1分 = 60秒，是六十進位制.

追問2：1°的角是如何定義的？

生：1°的角等于周角的[1360].

角度制的概念：角可以用度為單位進行度量，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.

問題3：度量長度有哪些不同的單位制？它們的進位制是怎樣的呢？

生：度量長度的單位制有米、英尺和碼等，它們是十進位制.

問題情境2：角的度量能否用不同的單位制呢？能否像度量長度那樣，用十進位制的實數(shù)來度量角的大小呢？

【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)初中所學(xué)角的單位及進位制，讓學(xué)生清晰地認識到度量角的單位制是度，度、分、秒之間是六十進位制，而度量長度的單位制有多種，是用十進位制的實數(shù)表示. 類比長度的不同單位制及不同單位制之間可以互相轉(zhuǎn)換，激發(fā)學(xué)生對新的角度單位制的興趣，體會引入弧度制的必要性. 此環(huán)節(jié)用類比的方法和聯(lián)系的觀點引入新的問題情境，建立知識之間的聯(lián)系，有助于提高學(xué)生概括和類比推理的能力.

2. 探索新知，形成概念

探究活動：想用十進位制的實數(shù)來度量角的大小，我們先回到任意角的定義來思考角度的大小與哪些量有關(guān)系.

如圖1，射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)到射線OB形成角α. 在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OA上的點P（不同于端點O）的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對應(yīng)于圓心角α.

問題4：這個旋轉(zhuǎn)過程涉及哪些量？它們之間有何關(guān)系？

生：涉及圓心角、弧長和半徑這三個量. 當半徑一定時，圓心角越大，弧長越長.

追問1：設(shè)α = n°，OP = r，點P所形成的圓弧[PP1]的長為l，圓心角、弧長和半徑這三個量之間的關(guān)系能否用以前學(xué)過的數(shù)學(xué)公式表示出來？

生：[l=nπr180].

追問2：結(jié)合弧長公式繼續(xù)研究，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，角度的大小與哪些量有關(guān)？

生：由[l=nπr180]，得[n=180π ? lr]. 可知角度的大小和弧長與半徑的比值有關(guān).

問題5：如圖2，在射線OA上任取一點Q（不同于點O），OQ = r1. 在旋轉(zhuǎn)過程中，點Q所形成的圓弧[QQ1]的長為l1. l1與 r1的比值是多少？你能得出什么結(jié)論？

生：由[l1=nπr1180]，得[n=180π ? l1r1]. 由點Q的任意性可得：圓心角α所對的弧長與半徑的比值只與α的大小有關(guān)，當圓心角α確定時[lr]也唯一確定. 我們可以利用圓的弧長與半徑的比值度量圓心角.

結(jié)論：可以用[lr]來度量角的大小，這里[lr]是一個實數(shù).

這就是度量角的另一種單位制——弧度制.

我們規(guī)定：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度（radian）的角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度. 我們把半徑為1的圓叫做單位圓. 如圖3，在單位圓O中，若[AB]的長等于1，則∠AOB就是1弧度的角.

【設(shè)計意圖】通過探究與思考引導(dǎo)學(xué)生探尋影響圓心角大小的因素，通過問題4及追問調(diào)動學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗來研究弧長、半徑與圓心角之間的關(guān)系，進而通過問題5中點Q的任意性，得出一般性結(jié)論，抽象出問題的本質(zhì)，引出弧度的定義. 此環(huán)節(jié)用聯(lián)系的觀點從任意角的定義引出新的問題情境，引導(dǎo)問題的研究逐步深入，最后抽象出弧度概念的本質(zhì)，有助于提高學(xué)生分析和解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3. 關(guān)注本質(zhì)，建立聯(lián)系

文化情境滲透：公元六世紀，印度人在制作正弦表時，曾用同一單位度量半徑和圓周，孕育著最早的弧度制概念. 1748年，歐拉在他的一部劃時代著作《無窮小分析概論》中，提出把圓的半徑作為弧長的度量單位，使一個圓周等于[2π]弧度，1弧度等于周角的[12π]. 這一思想將線段與弧的度量統(tǒng)一起來，簡化了三角公式及其計算.

問題情境3：根據(jù)弧度的定義知[lr]是正實數(shù)，那么任意角的弧度該如何表示？任意角的弧度與實數(shù)集有什么關(guān)系？

問題6：任意角都可以用[lr]表示嗎？

生：根據(jù)弧度的定義，因為[lr]是正實數(shù)，所以[lr]的值可以表示正角，也可以表示角的絕對值.

追問1：正角、負角和零角的弧度該如何確定呢？

根據(jù)規(guī)定，在半徑為[r]的圓中，弧長為[l]的弧所對的圓心角為α rad，那么[α=lr]. α的正、負由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定.

追問2：用弧度制度量的角與實數(shù)集有什么關(guān)系？

一般地，正角的弧度數(shù)是一個正實數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負實數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

用弧度制度量角的集合與實數(shù)集之間建立了一一對應(yīng)，如圖4所示.

【設(shè)計意圖】通過文化情境的滲透強化學(xué)生對弧度概念本質(zhì)的理解. 通過問題情境的設(shè)置引發(fā)學(xué)生對任意角的弧度的問題進行思考，由特殊推廣到一般，進一步鞏固弧度制的定義，加深對弧度本質(zhì)的理解. 通過追問，讓學(xué)生進一步認識到用弧度制度量的角的集合與實數(shù)集是一一對應(yīng)的關(guān)系，進一步提高學(xué)生分析問題、解決問題和歸納概括的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

問題情境4：角度制和弧度制都是度量角的單位制. 可以想象，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系. 你能找到這種聯(lián)系嗎？

問題7：你認為可以以哪個角為橋梁建立角度制和弧度制之間的聯(lián)系？由此你能得到角度和弧度的換算公式嗎？

學(xué)生利用周角獲得關(guān)系：360° = 2π rad，180° = π rad，0° = 0 rad，得到圖5.

【設(shè)計意圖】通過問題情境的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生運用類比思想展開思考，由特殊到一般展開對角度和弧度換算關(guān)系的探究，加深對角的度量制——角度制和弧度制的認識，并建立兩者之間的聯(lián)系，達到精致概念的效果. 通過思考，歸納出弧度和角度的互化公式，提高學(xué)生分析問題和邏輯推理的能力.

4. 學(xué)以致用，深化認知

例1? 根據(jù)下列要求，把67°30′化成弧度.

（1）精確值；

（2）精確到0.001的近似值．

例2? 填寫特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表，如表1所示.

例3? 利用弧度制證明扇形的下列公式：[l=αR]；[S=12αR2]；[S=12lR]. 其中R是扇形的半徑，[l]是弧長，[α 0<α<2π]是圓心角，S是扇形的面積.

反思和總結(jié)：角度制下的扇形公式有[l=nπR180]，[S=nπR2360]. 弧度制下的扇形公式有[l=αR]，[S=12αR2]. 對比角度制與弧度制下扇形的弧長公式和面積公式，發(fā)現(xiàn)弧度制下的公式明顯簡潔得多.

【設(shè)計意圖】通過例1和例2使學(xué)生熟練掌握角度與弧度的轉(zhuǎn)化，為后續(xù)學(xué)習(xí)積累知識，并提高學(xué)生解決問題的能力. 通過例3總結(jié)弧度制下扇形的弧長公式和面積公式，提高學(xué)生的觀察和概括能力. 同時，讓學(xué)生再次體會引入弧度制的方便.

5. 當堂檢測，鞏固提升

練習(xí)1：把下列角度化成弧度：-210°；1 095°.

練習(xí)2：把下列弧度化成角度：[4π3]；-[7π6].

練習(xí)3：-2 rad是第幾象限的角？

練習(xí)4：與1°的角終邊相同的角的集合是（? ? ）.

（A）[αα=k · 360°+π180，k∈Z]

（B）[αα=k · 360°+π180°，k∈Z]

（C）[αα=2kπ+π180，k∈Z]

（D）[αα=2kπ+π180°，k∈Z]

【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識，根據(jù)學(xué)生解決問題的情況及時評價學(xué)生的學(xué)習(xí)效果. 在知識應(yīng)用中提升學(xué)生解決問題的能力，并引導(dǎo)學(xué)生感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想，增強應(yīng)用意識.

6. 歸納小結(jié)，知識升華

問題情境5：本節(jié)課是如何研究弧度制的？你有哪些收獲？

研究路徑：認識度量角的新的單位制的需要—探尋影響角的大小的量的內(nèi)在聯(lián)系，并確定新的度量標準—抽象概念—建立角與實數(shù)之間的關(guān)系—不同單位制的換算—應(yīng)用創(chuàng)新.

研究內(nèi)容：用表格呈現(xiàn)，如表2所示.

思想方法：長度不同的單位制和度量之間的換算引發(fā)了關(guān)于弧度制的思考，運用了類比的思想方法. 我們從任意角（形）出發(fā)，結(jié)合弧長公式（數(shù)）探究弧度制概念的本質(zhì)，并在弧度制的表示中運用了數(shù)形結(jié)合的思想方法；在角的兩種度量制之間的換算、弧度制下角的集合與實數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系的探究中，運用了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法；在對弧度制概念和任意角的弧度制的探究過程中運用了從特殊到一般的思想方法. 同時，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生經(jīng)歷了抽象、歸納、推理和運算等過程，隨著問題情境的不斷深入，提升了學(xué)生分析和解決問題的能力.

【設(shè)計意圖】通過歸納總結(jié)，讓學(xué)生梳理研究路徑、思考研究方法、形成思維經(jīng)驗，進一步鞏固所學(xué)內(nèi)容，整體把握所學(xué)知識，提高歸納概括能力和邏輯推理能力，有助于學(xué)生在豐富研究經(jīng)驗的同時發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、教學(xué)反思

有效的學(xué)習(xí)活動源于學(xué)生不竭的思維動力，而思維的起點是提出接近學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)的問題情境.在進行教學(xué)設(shè)計時，教師要基于學(xué)情和研究內(nèi)容的本質(zhì)創(chuàng)設(shè)恰當?shù)膯栴}情境，提出適切的和遞進式的問題，引發(fā)學(xué)生不斷深入思考與研討，促進學(xué)生深度思考的發(fā)生，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng). 反思本節(jié)課問題情境的設(shè)計，主要有以下幾方面的思考.

1. 重視文化情境，激發(fā)興趣，引導(dǎo)思考

數(shù)學(xué)教育哲學(xué)家鄭毓信曾說過，如果教學(xué)始終停留在知識和技能層面，那么教師就只能算是一個“教書匠”；如果教學(xué)能夠很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維，那么教師就是一個“智者”，給學(xué)生帶來了真正的智慧；如果數(shù)學(xué)教學(xué)能給學(xué)生無形的文化熏陶，那么教師就是一個真正的大師. 數(shù)學(xué)文化能拓寬學(xué)生的視野，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生更好地認識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的理性精神. 教學(xué)設(shè)計要關(guān)注知識產(chǎn)生的背景及其歷史發(fā)展過程，在設(shè)置問題情境時，要圍繞學(xué)習(xí)內(nèi)容的知識本質(zhì)選取恰當?shù)奈幕榫常⒁源藶槌霭l(fā)點激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，結(jié)合情境提出恰當?shù)膯栴}，引導(dǎo)學(xué)生思考. 本節(jié)課設(shè)置的情境，讓學(xué)生通過文化浸潤體會到了學(xué)習(xí)新知的必要性，加深了學(xué)生對弧度制的理解，發(fā)展了學(xué)生的文化素養(yǎng)，增強了學(xué)生的人文底蘊.

2. 重視內(nèi)在關(guān)聯(lián)，層層遞進，深化思維

對于遞進式問題的設(shè)計，既要關(guān)注問題本身的邏輯性和探究性，還要關(guān)注問題與問題之間的邏輯性和探究性. 要整體把握教學(xué)內(nèi)容設(shè)置問題情境，結(jié)合學(xué)生的認知水平深挖問題產(chǎn)生的背景、與研究內(nèi)容的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和延伸的方向，最終通過問題解決指向目標達成. 問題與問題之間的邏輯體現(xiàn)了問題間的遞進關(guān)系，往往是在前一個問題的解決中引發(fā)了新的思考，發(fā)現(xiàn)了新的問題，進而提出新問題，促進問題探究由淺入深，展現(xiàn)出知識發(fā)展過程的合理性，促進學(xué)生的思維逐漸趨于高階. 本節(jié)課設(shè)置了5個問題情境，以及由7個問題組成的問題串和多個追問，問題的設(shè)置以知識的發(fā)生、發(fā)展為主線，層層深入. 問題情境與問題串循序漸進地呈現(xiàn)，給了學(xué)生充分思考和展示思維過程的空間，促進學(xué)生的思維不斷深化. 學(xué)生通過對問題的探究、思考與交流，認識知識本質(zhì)，形成思維經(jīng)驗，促進了高階思維的發(fā)展，提升了科學(xué)精神.

3. 重視數(shù)學(xué)思想，積累經(jīng)驗，發(fā)展素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想蘊含在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動的結(jié)果，需要在“做”和“思考”的過程中積淀.設(shè)計有效的探究活動，使學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的全過程，是讓學(xué)生感悟思想和積累經(jīng)驗的重要途徑. 本節(jié)課設(shè)計探究活動“想用十進位制的實數(shù)來度量角的大小”，設(shè)計問題4、問題5、問題6及相關(guān)追問，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的探究過程：類比長度的不同單位制引發(fā)思考；從任意角的定義出發(fā)，數(shù)形結(jié)合地探索影響角的大小的因素；探究角與其影響因素之間的關(guān)系；形成數(shù)學(xué)表示；從特殊到一般進行研究；抽象出本質(zhì)；形成弧度制的概念；進一步一般化到任意角的弧度；實現(xiàn)用十進位制的實數(shù)來度量角. 小結(jié)時引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課整體的研究過程進行反思，形成完整的研究路徑，感悟數(shù)學(xué)思想方法在各環(huán)節(jié)的引領(lǐng)作用，豐富學(xué)生的研究經(jīng)驗，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］徐品方，張紅，寧銳. 中學(xué)數(shù)學(xué)簡史［M］. 北京：科學(xué)出版社，2007.

收稿日期：2022-08-05

基金項目：河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項目——基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中學(xué)數(shù)學(xué)典型課例研究（JCJYB19030022）.

作者簡介：鮑聰曉（1974— ），女，中小學(xué)正高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.