立足“落差”，巧妙設(shè)置問(wèn)題

張春曉

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)尤其關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的自主性、實(shí)踐性與開放性等. 實(shí)踐證明，真正意義上的深入、高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教學(xué)，必定少不了探究的成分. 巧妙地設(shè)置問(wèn)題是引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生探究行為的基礎(chǔ)，也是當(dāng)今課堂重要的組織形式. 文章認(rèn)為，尋找“落差”是合理設(shè)置問(wèn)題的前提，理解“落差”是科學(xué)設(shè)置問(wèn)題的基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化“落差”是巧妙設(shè)置問(wèn)題的關(guān)鍵.

[關(guān)鍵詞] 落差;問(wèn)題;數(shù)學(xué)思維

設(shè)置問(wèn)題是指在教學(xué)的關(guān)隘處，創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的疑問(wèn)，以激發(fā)學(xué)生思考與自主學(xué)習(xí)的一種教學(xué)手段. 問(wèn)題是聯(lián)系師生思維同頻共振的紐帶[1]. 陶行知認(rèn)為，“發(fā)明千千萬(wàn)，一問(wèn)是起點(diǎn)，智者問(wèn)得巧，愚者問(wèn)得笨.”可見問(wèn)題對(duì)教學(xué)有深遠(yuǎn)的影響，教師設(shè)計(jì)的每一個(gè)問(wèn)題都要問(wèn)得巧、問(wèn)得妙、問(wèn)得恰到好處，久而久之能有效地開啟學(xué)生的思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)課堂中存在一種現(xiàn)象，即學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度與知識(shí)本質(zhì)間存在一定的距離，簡(jiǎn)稱落差. 想要克服這種現(xiàn)象，需要教師設(shè)置合適的問(wèn)題，以縮短學(xué)生的理解與知識(shí)本質(zhì)間的落差. 鑒于此，設(shè)置問(wèn)題于這種“落差”處，是值得每個(gè)教師探討的話題.

[?] 尋找“落差”是合理設(shè)置問(wèn)題的前提

羅丹認(rèn)為，“世界上并不缺少美，而是缺少一雙發(fā)現(xiàn)美的眼睛.”數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生的理解與知識(shí)本質(zhì)間的落差一直存在，就看教師是否具備發(fā)現(xiàn)這種客觀存在的能力.

案例1 “集合間的基本關(guān)系”教學(xué).

有學(xué)生認(rèn)為 并非A的子集，出現(xiàn)這種認(rèn)識(shí)的理由為：若空集中沒(méi)有任何元素，那就不存在 中的元素屬于集合A，這與子集的定義不相符. 從學(xué)生所闡述的理由分析，可以看出學(xué)生在理解“空集為任何集合的子集”這句話上出現(xiàn)了認(rèn)知與知識(shí)實(shí)際間的“落差”. 面對(duì)這個(gè)落差，教師可作如下引導(dǎo)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并解決這個(gè)落差：

第一步：

問(wèn)題1：同一句話，常有不同的表達(dá)方式，現(xiàn)在我們來(lái)看看下面這幾句話是否為一個(gè)意思：①我們班的所有學(xué)生都待在教室里;②我們班沒(méi)有學(xué)生不待在教室里.

從這兩句話來(lái)看，學(xué)生很容易得出，這是同一句話的兩種表達(dá)方式，所表達(dá)的意思是等價(jià)的.

第二步：

問(wèn)題2：已知集合A為集合B的子集，也就是說(shuō)集合A中的任何元素均屬于集合B，模仿以上等價(jià)的表達(dá)方式，可以怎樣換一種說(shuō)法？

學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后提出：已知集合A為集合B的子集，也就是說(shuō)集合A中沒(méi)有元素不屬于集合B.

第三步：

問(wèn)題3：空集 和任何集合A， 中是否存在不屬于A的元素？（ 并不包含任何元素，固然沒(méi)有不屬于A的元素）

至此，學(xué)生頓時(shí)恍然大悟. 此處設(shè)置問(wèn)題的精妙之處就在于問(wèn)了學(xué)生在概念理解中缺乏“等價(jià)”而造成的“落差”，這些問(wèn)題就如同一個(gè)撬起學(xué)生思維的“支點(diǎn)”，學(xué)生的智慧大門隨之開啟，如此設(shè)計(jì)問(wèn)題的教學(xué)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越機(jī)械性記憶.

實(shí)踐證明，類似于此的現(xiàn)象在高中數(shù)學(xué)課堂中較為常見，關(guān)鍵就看教師是否擁有善于發(fā)現(xiàn)的慧眼. 如“幾何概型”的教學(xué)中，筆者就發(fā)現(xiàn)了不少學(xué)生存在的“落差”，如了解了幾何概型包含無(wú)限多的事件后，該怎樣“度量”這些事件發(fā)生的可能性呢？怎樣將這種度量自然地與區(qū)域測(cè)度（長(zhǎng)、面積與體積等）相關(guān)聯(lián)呢？……

結(jié)合學(xué)情分析，學(xué)生出現(xiàn)這些“落差”都是因?yàn)閷?duì)概念的理解缺乏深度或廣度，從而出現(xiàn)了“沒(méi)注意”或“沒(méi)想到”的情況. 從筆者的執(zhí)教經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，這些“落差”都是教師巧妙設(shè)置問(wèn)題的“點(diǎn)”，若以這些點(diǎn)帶面，則能讓學(xué)生更好地理解其中的“落差”，從根本上解決問(wèn)題.

鑒于此，教師設(shè)置問(wèn)題前要反復(fù)揣摩學(xué)生與教材，加深對(duì)學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容的理解程度，盡可能從學(xué)生的視角去發(fā)現(xiàn)并理解知識(shí)的本質(zhì)與學(xué)生認(rèn)知間存在的“落差”，這是將課堂提問(wèn)邁向“小而實(shí)”的基礎(chǔ)，也是合理設(shè)置問(wèn)題的基本前提.

[?] 理解“落差”是科學(xué)設(shè)置問(wèn)題的基礎(chǔ)

發(fā)現(xiàn)“落差”是合理設(shè)置問(wèn)題的前提，理解“落差”則是科學(xué)設(shè)置問(wèn)題的基礎(chǔ). 概念解讀體現(xiàn)了教師的專業(yè)水平，課堂中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的“落差”彰顯著教師敏銳的洞察力，而理解學(xué)生這些“落差”形成的原因以及采取應(yīng)對(duì)措施體現(xiàn)教師的教學(xué)能力. 因此，高屋建瓴地搞清楚數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，是獲得知識(shí)本質(zhì)的根本[2].

案例2 “直線的斜率”教學(xué).

本章節(jié)教學(xué)時(shí)，有一個(gè)容易被忽略的問(wèn)題：在已知傾斜角概念的情況下，已經(jīng)能刻畫出直線的傾斜程度，為什么還要研究斜率的概念呢？定義直線斜率時(shí)，用的是k=tanα，為什么不用k=sinα或k=cosα呢？

這是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的“落差”，從教材角度出發(fā)，可以做出如下解釋：通過(guò)復(fù)原斜率的形成過(guò)程，可發(fā)現(xiàn)直線上的動(dòng)點(diǎn)（x，y）和傾斜角（不變量）并不能建立直接的關(guān)系，而需代數(shù)化傾斜角，如此才能將變量（x，y）和不變量（斜率k）建立關(guān)系.

代數(shù)化傾斜角時(shí)，用正切而沒(méi)有用正弦或余弦，主要原因是正切函數(shù)具有單調(diào)遞增特征，也就是說(shuō)不論角為銳角還是鈍角，傾斜角越大，那么斜率則越大，而正弦、余弦這兩類函數(shù)無(wú)法達(dá)到如此的實(shí)際效果. 從長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度來(lái)看，后繼的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)，正切值其實(shí)就是直線的瞬時(shí)變化率，由此也能看出數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性與系統(tǒng)性.

若將設(shè)置問(wèn)題的目光瞄向這些小又確實(shí)存在“落差”的地方，緊扣這些“落差”進(jìn)行探究，繞到知識(shí)的本質(zhì)上去瞧一瞧，會(huì)讓學(xué)生感知這些“落差”后面的實(shí)質(zhì)，對(duì)學(xué)生的思維能起到重要的引導(dǎo)和促進(jìn)作用.

案例3 “四個(gè)命題”教學(xué).

“四個(gè)命題”的教學(xué)中，不少教師備課時(shí)對(duì)教材中所提及的問(wèn)題“原命題、否命題、逆命題、逆否命題的真假具有怎樣的聯(lián)系”感到有些棘手. 同樣，學(xué)生也不容易理解這部分內(nèi)容，遇到此問(wèn)題時(shí)，不少學(xué)生選擇了逃避的方式去對(duì)待，從而導(dǎo)致一知半解.

教參分析這個(gè)問(wèn)題時(shí)，建議學(xué)生結(jié)合已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教材中所呈現(xiàn)的例題，自主歸納、總結(jié)、提煉出：原命題和逆否命題同時(shí)是假的或同時(shí)是真的，逆命題和否命題同時(shí)是假的或同時(shí)是真的，也就是說(shuō)互為逆否命題的兩個(gè)命題是同真假命題.

實(shí)際教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)幾組例題的分析與研究，可以總結(jié)出：互為逆否命題的兩個(gè)命題的真假是一致的，這個(gè)結(jié)論雖然沒(méi)毛病，但從學(xué)生的角度來(lái)說(shuō)，確實(shí)有點(diǎn)突然，也有不少學(xué)生認(rèn)為這個(gè)結(jié)論來(lái)得不夠嚴(yán)謹(jǐn)，并沒(méi)有達(dá)到知其然且知其所以然的地步. 鑒于此，筆者思考：何不圍繞這個(gè)“落差”，引導(dǎo)學(xué)生探究一下這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)呢？于是帶著這個(gè)想法，進(jìn)行了如下教學(xué)：

源于此設(shè)置問(wèn)題，教師可作此解釋：從集合的角度來(lái)分析，命題“若p則q”，即滿足條件p的所有元素構(gòu)成集合A，滿足條件q的所有元素構(gòu)成集合B，若命題“若p則q”成立，則代表任何x∈A，必定x∈B，也就是A?B，因此若x?B，則必然x?A，即逆否命題“若非q則非p”必然成立.

同樣，以類似于集合的觀點(diǎn)，還可以描述后繼遇到的新內(nèi)容，如充分條件、必要條件、充要條件之間的關(guān)系. 由此及彼，只要徹底理解一類邏輯推理的規(guī)則與方法，即可形成一種系統(tǒng)的邏輯推理能力.

[?] 轉(zhuǎn)化“落差”是巧妙設(shè)置問(wèn)題的關(guān)鍵

課堂中的每個(gè)問(wèn)題并非隨隨便便就提出來(lái)的，問(wèn)題“這一棒”究竟該打在什么地方呢？實(shí)踐證明，設(shè)置問(wèn)題的“點(diǎn)”，應(yīng)該在學(xué)生對(duì)概念有所了解，卻無(wú)法利用概念去自行解決問(wèn)題，同時(shí)大部分學(xué)生在自主探究與教師的點(diǎn)撥下又能完成之處. 這也就是維果斯基最著名的最近發(fā)展區(qū)理論，將問(wèn)題設(shè)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，可讓學(xué)生“跳一跳，摘到桃”.

設(shè)置問(wèn)題的契機(jī)把握好了，就要教師去尋找創(chuàng)設(shè)問(wèn)題的難度與學(xué)生認(rèn)知間的“落差”點(diǎn)，一個(gè)充滿智慧的問(wèn)題，是學(xué)生思維的腳手架，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能沿著問(wèn)題的臺(tái)階拾級(jí)而上，對(duì)知識(shí)的理解越發(fā)深入、廣泛、透徹，為建構(gòu)完整的認(rèn)知體系奠定基礎(chǔ)[3].

教師掌握了學(xué)生的“落差”，也知道提問(wèn)勢(shì)在必行，但究竟該如何轉(zhuǎn)化問(wèn)題呢？相同的內(nèi)容，使用不同的提問(wèn)技巧，所形成的教學(xué)效果也是千差萬(wàn)別的. 陶行知先生認(rèn)為，發(fā)明千千萬(wàn)，起點(diǎn)為一問(wèn). 可見，這一問(wèn)何其重要.

案例4 “等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”教學(xué).

本章節(jié)是高中數(shù)學(xué)的重中之重，堪稱經(jīng)典教學(xué)內(nèi)容之一. 其中，錯(cuò)位相減法是推導(dǎo)數(shù)列求和公式的典型方法，也是數(shù)列求和問(wèn)題的基本解法之一. 教師都明白這部分知識(shí)的重要性，但教材是直接呈現(xiàn)錯(cuò)位相減法的，學(xué)生面對(duì)這部分知識(shí)，因缺乏一個(gè)深入理解的過(guò)程，呈現(xiàn)出了“落差”. 不少教師和學(xué)生都意識(shí)到了這個(gè)問(wèn)題，只是一時(shí)半會(huì)不知從何著手填補(bǔ)這個(gè)“落差”.

課堂中，大多數(shù)教師會(huì)在此處帶領(lǐng)學(xué)生嘗試應(yīng)用一定方法去探索錯(cuò)位相減法，筆者也有所嘗試，但效果并不十分理想. 因此，有些教師就放棄了引導(dǎo)學(xué)生探索的過(guò)程，依然采取直接告知的方式. 這種處理方式顯然過(guò)于粗暴，學(xué)生并沒(méi)有從本質(zhì)上理解這種推導(dǎo)方法，應(yīng)用時(shí)難免會(huì)錯(cuò)誤百出.

鑒于此，筆者通過(guò)查閱資料，并結(jié)合學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平與認(rèn)知特點(diǎn)，經(jīng)過(guò)多輪嘗試，取得了較好的成效，現(xiàn)整理如下：

問(wèn)題1：等比數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和S=a+a+…+a中，有n個(gè)未知量，我們可以怎么計(jì)算呢？

生：S=a+aq+…+aqn-1=a（1+q+q2+q3+…+qn-1）.

問(wèn)題2：怎么求B=1+q+q2+q3+…+qn-1？

……

問(wèn)題3：怎么將B=1+q+q2+q3+…+qn-1特殊化？

生：取公比q與項(xiàng)數(shù)n的一些特殊值，如q=1，則B=n.

問(wèn)題4：若q=2呢？假設(shè)T=1+2+4+…+2n-1，將n取特殊值，可得什么結(jié)果？

問(wèn)題5：能猜想出B=1+q+q2+…+qn-1=qn-1的結(jié)論嗎？（顯然q=3就不成立）

問(wèn)題6：如果D=1+3+32+…+3n-1，那么D和3n-1具有怎樣的關(guān)系呢？（猜想D=）

問(wèn)題7：當(dāng)q=2時(shí)，T=2n-1;當(dāng)q=3時(shí)，D=. 在一般情況下，B=1+q+q2+…+qn-1等于什么？是否可以考慮取q=4進(jìn)行嘗試？

生：當(dāng)發(fā)現(xiàn)Y=1+4+42+…+4n=時(shí)，猜想1+q+q2+…+qn-1=（q≠1），則S=a+aq+…+aqn-1=（q≠1）或S=（q≠1）.

師：通過(guò)以上問(wèn)題的解決，大家可以歸納出等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式了嗎？

生：目前還不行，以上問(wèn)題的解決過(guò)程，雖然獲得了一定結(jié)論，但都屬于猜想，至于其是否正確，還有待周密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明.

師：那我們?cè)趺醋C明以上公式是否成立呢？

生：當(dāng)q=1時(shí)，S=na是成立的;當(dāng)q≠1時(shí)，想要證明S=，需要證明S（1-q）=a（1-qn），想要證明此式，需要把等式S=a+aq+…+aqn-1①的兩側(cè)同時(shí)乘上公比q，得到qS=aq+aq2+…+aqn-1+aqn②，于是①-②=S（1-q）=a（1-qn），得Sn=.

師：式①右邊的“n-1”項(xiàng)和式②右邊的“n-1”項(xiàng)錯(cuò)位相同，兩式相減時(shí)，消除相同的“n-1”項(xiàng)，這就是本節(jié)課的重要內(nèi)容之一——錯(cuò)位相減法.

隨著“問(wèn)題串”的應(yīng)用，將知識(shí)逐步轉(zhuǎn)化，逐層引導(dǎo). 學(xué)生對(duì)錯(cuò)位相減法認(rèn)識(shí)上的“落差”，隨著一個(gè)個(gè)問(wèn)題的突破而化整為零. 同時(shí)，學(xué)生的思維也隨著循序漸進(jìn)的問(wèn)題而逐漸深入. 此過(guò)程中，問(wèn)題既為學(xué)生的思維提供了階梯，又充分展示了設(shè)置問(wèn)題的梯度與角度，有效地啟發(fā)了學(xué)生思維的寬度與廣度.

與之類似的“平面與平面平行的判定定理”教學(xué)，教材對(duì)此定理提出的要求為直觀感知與操作確認(rèn). 學(xué)生在實(shí)際操作、觀察與感知中，對(duì)于為什么該定理要強(qiáng)調(diào)兩條直線而不是一條直線，形成了認(rèn)知上的“落差”. 同時(shí)，這兩條直線為什么一定要相交呢？如果不相交可不可以呢？

基于以上幾個(gè)“落差”，筆者教學(xué)時(shí)提出了以下幾個(gè)問(wèn)題：①若一條直線和平面是平行的關(guān)系，是否可以判定面面平行？可以找出反例進(jìn)行驗(yàn)證嗎？②定理中強(qiáng)調(diào)了“兩條相交直線”，如果兩條直線不相交，可否判定面面之間是平行的關(guān)系呢？是否有反例可以證明？③通過(guò)前面反證法的應(yīng)用，現(xiàn)在是否可以證明該定理呢？

通過(guò)以上巧妙的問(wèn)題設(shè)置，為學(xué)生的思維打開了一扇智慧之門. 由此可見，理解并應(yīng)用好“落差”，往往能給教學(xué)帶來(lái)新的生命與活力.

總之，設(shè)置問(wèn)題即是一種教育技巧，也是一種教育藝術(shù). 一個(gè)好的問(wèn)題是課堂的潤(rùn)滑劑，亦是學(xué)生思維的催化劑. 因此，一線的數(shù)學(xué)教師，應(yīng)有意識(shí)地增強(qiáng)自身的設(shè)置問(wèn)題技巧，緊扣學(xué)生認(rèn)知上的“落差”，從不同的角度去轉(zhuǎn)化問(wèn)題，讓問(wèn)題具備細(xì)致、小巧、實(shí)用等特征.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 涂榮豹，王光明，寧連華. 新編數(shù)學(xué)教學(xué)論[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2006.

[2]? 羅增儒. 中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐[M]. 南寧：廣西教育出版社，2008.

[3]? 許興震. 設(shè)計(jì)有價(jià)值的問(wèn)題 促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)——以“兩角和與差的余弦”為例[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（01）：36-40.