數(shù)學學科育人的內(nèi)涵特征與高考表達

劉師妤　周龍虎

【摘 要】經(jīng)由學科教學發(fā)揮學科育人功能是教師的根本使命，也是學科教學的根本旨趣。厘清學科育人的基本內(nèi)涵，凸顯學科育人的價值取向是“新課標、新教材、新高考”背景下數(shù)學教學研究的熱點問題。教考銜接下的數(shù)學學科育人特點是遵循課標精神，落實學科核心素養(yǎng);關(guān)注數(shù)學結(jié)構(gòu)，豐富數(shù)學研究對象;突出研究意識，培育探索及理性精神。

【關(guān)鍵詞】學科育人;內(nèi)涵特征;核心素養(yǎng);高考數(shù)學;數(shù)學本質(zhì)

一、引言

2022年高考數(shù)學已落下帷幕，試題多以真實情境為背景，既發(fā)揮了考試的教育功能和導向作用，又加強了關(guān)鍵能力考查，增強了選拔性。高考一直深刻觀照教與學的過程并致力于改進與完善。但是教如何促進素養(yǎng)落地，學如何提升思維品質(zhì)，教考如何銜接才能彰顯出有效性與考評的一致性，是高考的應(yīng)然啟示。對“教—學—評”三者關(guān)系的思考，本質(zhì)上是對學科教學和學科育人的聚焦及辨析，即如何通過學科教學實現(xiàn)學科育人的功能，讓高考測評更具準確性和針對性。學科教學立足于知識的授受過程，如何發(fā)展學生的學科核心素養(yǎng)是學科教學的目標及關(guān)鍵;學科育人則側(cè)重學科德育，強調(diào)通過學科學習活動培養(yǎng)良好的情感、態(tài)度及價值觀。要實現(xiàn)從學科教學向?qū)W科育人的轉(zhuǎn)變，就必須對學科育人的內(nèi)涵做深刻的解析并對育人的手段或路徑予以清晰的把握。

二、數(shù)學學科育人的內(nèi)涵解析

學科育人價值包括學科獨特的育人價值和跨學科的共性育人價值[1]，需要通過學科實踐活動得以實現(xiàn)。數(shù)學學科實踐活動內(nèi)涵豐富，不僅包括數(shù)學解題活動、數(shù)學探究活動等顯性活動，還包括冥思苦想、觀察聯(lián)想等一系列隱形的思維或心理活動。因此需要考察學科實踐的全過程，才能深刻理解學科育人的內(nèi)涵特征。

（一）根植學科核心素養(yǎng)，指向數(shù)學本質(zhì)的領(lǐng)悟

從“中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)培養(yǎng)”的發(fā)布到“學科核心素養(yǎng)”的凝練，學科的獨特育人功能得到彰顯?；跀?shù)學學科的高度抽象性、嚴密邏輯性以及廣泛應(yīng)用性等特點，史寧中將數(shù)學的基本思想概括為：抽象、推理及模型，并具化為六種數(shù)學學科核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。他將這些核心素養(yǎng)解讀為用數(shù)學的眼光觀察數(shù)學世界，用數(shù)學的思維分析現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達數(shù)學世界，既強調(diào)了學科核心素養(yǎng)作為構(gòu)建學科核心素養(yǎng)結(jié)構(gòu)發(fā)展模型的底層（或基礎(chǔ)）地位，又揭示了數(shù)學的本質(zhì)。對于“數(shù)學的本質(zhì)”雖未有統(tǒng)一的定義，但數(shù)學本質(zhì)必然是指數(shù)學內(nèi)容本身所固有的根本屬性，是區(qū)別于其他學科內(nèi)容的基本特質(zhì)[2]。如對數(shù)學核心概念的理解、對數(shù)學思想方法的把握、對數(shù)學美的鑒賞及對數(shù)學精神的追求。相較于培育學生的數(shù)學哲學觀念、滲透數(shù)學思想方法，基于數(shù)學核心素養(yǎng)的教學既充當抓手，又具體實用，并且易于落地。無論是從課程到主題，還是從單元到課時，基于數(shù)學核心素養(yǎng)的教學設(shè)計應(yīng)遵循以下教學邏輯流程：（1）確定培育哪些核心素養(yǎng)？這是對教學目標的大致設(shè)定，其受教學內(nèi)容以及教學設(shè)計思路的制約，一般至少有兩種。但應(yīng)盡可能關(guān)聯(lián)其他學科的核心素養(yǎng)，以教學內(nèi)容的開放性帶動核心素養(yǎng)培育的全面性[3]。（2）確定要培育的目標核心素養(yǎng)（群）應(yīng)達致何種水平？按照四個水平維度進行劃分，分別是情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思。（3）確定滲透了哪些數(shù)學思想方法，凸顯了什么數(shù)學哲學觀念？也就是對教學全過程做必要的思想方法和一般觀念的提煉。

不難看出，基于數(shù)學核心素養(yǎng)的教學活動皆指向?qū)?shù)學本質(zhì)的體悟，這與《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）所指出的基于數(shù)學核心素養(yǎng)的教學活動應(yīng)把握數(shù)學的本質(zhì)[4]不謀而合。因此，從數(shù)學本質(zhì)出發(fā)設(shè)計數(shù)學課堂教學成為一條可行的路徑。圍繞知識本質(zhì)，通過對數(shù)學知識的整體分析、對數(shù)學問題情境和問題鏈的合理設(shè)置、對知識邏輯關(guān)系的重新梳理與重構(gòu)，有利于發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)[5]。此外，教師應(yīng)積極地投入到促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力發(fā)展的行動研究中去，以合理的教學診斷為依據(jù)，開展精準的教學改進[6]。

（二）把握數(shù)學認知內(nèi)涵，構(gòu)建多維育人體系

數(shù)學認知是指通過數(shù)學的方式（觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理等）建構(gòu)數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的心理過程。該過程是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)與個體心理結(jié)構(gòu)相互作用的產(chǎn)物，需借由豐富的數(shù)學認知對象得以實現(xiàn)。認知對象的逐步抽象化和復雜化客觀上要求學生的認知水平與之協(xié)調(diào)一致，即實現(xiàn)由具體數(shù)字到抽象符號，由常量到變量，由有限到無限，由確定性到不確定性的觀念轉(zhuǎn)變和必然躍遷。沒有數(shù)學認知水平的躍遷，根本就談不上學科育人目標的實現(xiàn)。

認知數(shù)學知識的過程是重賦知識價值的過程。作為學科育人的最初樣態(tài)，知識的內(nèi)在屬性決定了知識的價值。知識是人類經(jīng)驗的總結(jié)，知識經(jīng)建構(gòu)生成，蘊藏著前人辛勤探索、不斷追求真理的艱辛歷程，知識學習是利用他人經(jīng)驗建構(gòu)、發(fā)展并完善個人經(jīng)驗的過程，知識只有經(jīng)由理解才能融入原有的認知結(jié)構(gòu)并獲得意義。知識的育人價值不僅體現(xiàn)在育智、育德、育美上，更在于精神意義?！叭恕被邮菍W科育人的邏輯起點[7]，通過與知識（包含隱性知識）的積極交互，學習者的經(jīng)驗、生活、興趣、情感全部融入其中并升格為能動性、創(chuàng)造性和意義感。

基本技能的學習與掌握是數(shù)學學習的第二層目的。數(shù)學技能的學習，是使“不會”變成“會”，“不熟練”變成“熟練”，是開展數(shù)學活動的必要條件。通過數(shù)學基本技能的學習，學生能習得必備的操作性技能和心智性技能，并為問題解決奠定基礎(chǔ)。數(shù)學基本技能的教學不僅要讓學生掌握技能操作的基本程序和步驟，還應(yīng)讓他們理解其中蘊含的道理。從學科技能學習到學科方法概括再到學科思想發(fā)掘，循序漸進地展現(xiàn)了技能育人的演進邏輯。

數(shù)學教學本質(zhì)上是數(shù)學活動的教學。數(shù)學活動是對數(shù)學教學諸要素地再組織與優(yōu)化整合的過程，學生親歷數(shù)學活動即是“做數(shù)學”的過程?！白鰯?shù)學”從具身體驗性出發(fā)，通過學生的感受、覺知、動手操作及“做中學”等不同方式，有助于數(shù)學基本經(jīng)驗的積累、學習體驗的延長及改善[8]。在數(shù)學活動推進過程中，教師要辯證地看待學生共同基礎(chǔ)和個體發(fā)展的差異，在活動的目標確定、內(nèi)容選擇、組織形式及評價等方面，始終貫徹“把方法教給學生，把時間還給學生”的育人理念，讓每個學生在經(jīng)歷有效數(shù)學活動的同時獲得不同的發(fā)展。

數(shù)學思想方法是對數(shù)學知識本質(zhì)特征的再次抽象與凝練，是知識的靈魂所在，理所當然也應(yīng)發(fā)揮其育人功能。數(shù)學思想方法非顯性數(shù)學知識，它往往內(nèi)蘊于運用數(shù)學方法分析及解決數(shù)學問題或現(xiàn)實問題中。因此，數(shù)學思想方法的“不可教性”決定了其教學路徑的封閉性。即使揭示了某種數(shù)學思想方法，深化與應(yīng)用的過程還是需要學生以多視角、多層次進行深度剖析和理解。為使學生更好地體驗、領(lǐng)悟數(shù)學思想方法，教師還應(yīng)以正確的數(shù)學思維方法示范并引導[9]。

綜上，建構(gòu)以數(shù)學知識、數(shù)學技能、數(shù)學活動及數(shù)學思想方法為有效抓手的學科多維育人體系，有助于學科教學循序漸進地展開，有利于學科教學本質(zhì)的應(yīng)然回歸。

（三）立足共同發(fā)展平臺，規(guī)劃分類分層育人設(shè)想

學科育人的基本定位是培養(yǎng)適應(yīng)未來發(fā)展的人，而非學科專業(yè)人才。因而，為學生發(fā)展構(gòu)建共同平臺是學科育人的第一要務(wù)。新課標對學生的數(shù)學學習提出了共同的發(fā)展要求，即要求學生在數(shù)學學習中掌握“四基”“四能”“三會”，并通過教師引導學生會學習、會思考、會應(yīng)用為可持續(xù)發(fā)展和終身學習奠定基礎(chǔ)[10]。

在構(gòu)建學生共同發(fā)展平臺的同時，為滿足不同學生的發(fā)展需求（如數(shù)學興趣發(fā)展、數(shù)學專業(yè)發(fā)展等），新課標也設(shè)置了必修、選擇性必修和選修三種課程類型，貫徹了因材施教的課程內(nèi)容設(shè)置原則。因材施教的基本含義是從學生的實際出發(fā)，照顧到學生的個體差異，實施不同的教育，包括不同的培養(yǎng)目標、不同的教育內(nèi)容、不同的教育要求、不同的教育方法，使每一個學生都能在自己原有的基礎(chǔ)上得到比較好的發(fā)展。在數(shù)學教學的具體實踐中，一般應(yīng)采用“分層教學”的施教策略。教育要實現(xiàn)立德樹人的教育目標，就應(yīng)做精準的學情分析，并對具體情況做具體分析和應(yīng)對之策，這是辯證唯物主義在教學中遵循的根本原則。盡管如此，學科育人目標仍要以培養(yǎng)“普通人”為取向的“學科普通育人目標”為主，并使教學目標、教學內(nèi)容和教學活動方式回歸學生的日常生活世界[11]。

三、數(shù)學學科育人的高考表達

高考作為教育的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，選拔是基本功能，育人才是核心功能。因而，衡量高考試題的質(zhì)量不能單靠信度和效度（難度以及區(qū)分度）等主要指標，還需要深挖試題背后的育人功能。高考數(shù)學的育人功能一般涵蓋三個層面：展現(xiàn)社會主義制度的優(yōu)越性，增強學生的愛國主義情懷和國家認同;結(jié)合我國數(shù)學研究成就和數(shù)學文化，增強學生民族自豪感與自信心;培育規(guī)則意識、探索與創(chuàng)新精神及辯證思想，增強理性精神[12]。為體現(xiàn)時代的發(fā)展需求，且兼顧高考試題的創(chuàng)新性原則，每年高考試題的育人重點都不盡相同。下面以2022年高考數(shù)學全國I卷為例進行分析。

（一）遵循課標精神，落實學科核心素養(yǎng)

高考數(shù)學命題無論是考查內(nèi)容范圍，還是要求層次都應(yīng)與課程標準保持高度一致。數(shù)學課程標準將數(shù)學教學核心理念凝練為學科核心素養(yǎng)，既體現(xiàn)了與時俱進的人才培育要求，又凸顯學科的獨特育人價值。2022年高考數(shù)學試題聚焦抽象、運算和模型等學科核心素養(yǎng)，遵循“課標是導向，素養(yǎng)是核心”的基本命題原則，踐行立德樹人的根本使命。

1.立足對象結(jié)構(gòu)，發(fā)展抽象概括能力

抽象是在感性抽象基礎(chǔ)上進行理性抽象的過程，高考試題對于學生數(shù)學抽象核心素養(yǎng)的考查一般包含兩個方面：（1）以具體、繁雜的數(shù)學對象為載體，發(fā)展結(jié)構(gòu)抽象素養(yǎng);（2）以抽象對象為載體，考查關(guān)系抽象能力。

例1 （2022年全國I卷第7題）設(shè)a=0.1e^0.1，b=[1/9]，c=-ln0.9，則（? ）

A.a

評析：無理式大小比較是一件不容易的事情，尤其當它們不具備“相似”的結(jié)構(gòu)（不能構(gòu)造函數(shù)，直接利用函數(shù)單調(diào)性比較大?。r，我們就需要從繁復的數(shù)式中擷取簡易的同性元素（如本題中的“0.1”），從而實現(xiàn)結(jié)構(gòu)抽象。具體地，構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，由此可得到a

2.融合“理”“法”，助推運算的優(yōu)化及自動化

算理和算法是運算的基礎(chǔ)，數(shù)學運算素養(yǎng)的提升得益于算理的明晰和算法的優(yōu)選?！岸嘞胍稽c少算，少想一點多算”的命題理念依然根植于高考。隨著數(shù)學研究的不斷深入，數(shù)學學習過程對理解運算對象、明確運算方向、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、掌握運算法則等方面都有了更高的要求，且指向計算思維的養(yǎng)成。計算思維的本質(zhì)是抽象和自動化，培育數(shù)學運算核心素養(yǎng)的最終目的是實現(xiàn)運算素養(yǎng)到計算思維的蛻變。

例2 （2022年全國I卷第8題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上。若該球的體積為[36π]，且3≤l≤[33]，則該正四棱錐體積的取值范圍是（? ）

評析：本題以正四棱錐及其外接球為載體，重點考查學生的數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng)。設(shè)正四棱錐的高為h，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此可確定正四棱錐體積的取值范圍。在運算過程中，得到正四棱錐的體積V=[13]Sh=[19l41-l236]后，可借助導數(shù)工具求最值，也可利用三元基本不等式求最值。因此，深刻剖析算理，靈活選擇算法是提升數(shù)學運算素養(yǎng)的關(guān)鍵舉措。

3.聚焦經(jīng)典素材，考查模型理解及建構(gòu)水平

通過建立數(shù)學模型，我們能覺知其直觀性、過程漸進性及本質(zhì)特征。運用數(shù)學模型思想的過程是借助已有數(shù)學模型建構(gòu)知識體系、解決未知問題甚至建構(gòu)新模型的過程，是促進學生數(shù)學理解的過程。

例3 （2022年全國Ⅰ卷第15題）若曲線y=（x+a）ex有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是? ? ? 。

評析：函數(shù)的切線問題是典型的數(shù)學模型，一般有兩種解決策略：一是直接設(shè)切點橫坐標為x0，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于x0的方程，根據(jù)此方程的實數(shù)根個數(shù)（對應(yīng)切線的條數(shù)），求得目標參數(shù)的取值范圍;二是通過函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)與形的內(nèi)在關(guān)系，可直觀得到目標參數(shù)的取值范圍。

（二）關(guān)注數(shù)學結(jié)構(gòu)，豐富數(shù)學研究對象

結(jié)構(gòu)是組成整體的各部分的有機搭配，結(jié)構(gòu)所傳遞的信息最為清晰有效?；\統(tǒng)地說，數(shù)學結(jié)構(gòu)一般分為代數(shù)結(jié)構(gòu)與幾何結(jié)構(gòu)。代數(shù)結(jié)構(gòu)的幾何化以及幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)化路徑能順暢地溝通兩者之間的關(guān)系，從而發(fā)揮結(jié)構(gòu)表征與轉(zhuǎn)化的最大效益。數(shù)學研究的對象，不僅包括概念、定理、思想方法，還包含數(shù)學結(jié)構(gòu)。這里的數(shù)學結(jié)構(gòu)并非是數(shù)學中狹義的群結(jié)構(gòu)、拓撲結(jié)構(gòu)等具體結(jié)構(gòu)，而是對數(shù)學對象間本質(zhì)特征的形式化描述?？陀^地說，數(shù)學結(jié)構(gòu)比其他數(shù)學對象更利于揭示命題的意圖，從而確定研究方向及思路。

例4 （2022年全國Ⅰ卷第18題）記[△ABC]的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知[cosA1+sinA=][sin2B1+cos2B]。

（1）若C=[2π3]，求B;（2）求[a2+b2c2]的最小值。

評析：本題立足于解三角形中邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化以及三角恒等變換，對代數(shù)變形技巧有較高的要求。本題的題眼[cosA1+sinA=][sin2B1+cos2B]，揭示了相似的數(shù)學結(jié)構(gòu)，即[cosA1+sinA=][cos（π2-2B）1+sin（π2-2B）]，故可構(gòu)造新函數(shù)f（x）=[cosx1+sinx]，通過弦切互化等變形手段，得到f（x）=[cosx1+sinx]=[tan（π4-x2）]。再結(jié)合角度范圍，得到A+2B=[π2]，后面的問題便迎刃而解。

例5 （2022年全國Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值。

（1）求a;

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列。

評析：鑒于本題中的目標函數(shù)f（x）與g（x）存在結(jié)構(gòu)上的相似關(guān)系（可借助換元同構(gòu)），故第（2）問轉(zhuǎn)化后的特殊方程的三個實數(shù)根存在對應(yīng)關(guān)系。第（2）問立足于特殊的幾何結(jié)構(gòu)直觀，需要將它轉(zhuǎn)譯為等價的代數(shù)關(guān)系。即當b>1時，方程ex-x=b有兩個不同的實數(shù)根x1，x0（x1<0（三）突出研究意識，培育探索及理性精神

隨著數(shù)學課程改革的深入，提高學生的問題意識、研究意識已成為數(shù)學教學的緊要任務(wù)。濃厚的問題意識推動著探索的步伐，反過來，主動探索又能生發(fā)新的問題或方法，且能提高問題研究水平。數(shù)學學習的樂趣在于探索的樂趣及成就感的獲得，因此，具有一定挑戰(zhàn)性和思辨性的數(shù)學試題能有效考查學生的綜合素質(zhì)和理性精神。

例6 （2022年全國Ⅰ卷第16題）已知橢圓C：[x2a2+y2b2=1]（a>b>0），C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為[12]。過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點，[DE]=6，則[△ADE]的周長是? ? ? ?。

評析：面對形式復雜、綜合性較強的解析幾何問題，應(yīng)遵循“定義—幾何性質(zhì)—常見結(jié)論— 一般方法”的思考邏輯順序。這一思考邏輯順序應(yīng)經(jīng)由學生在平時的學習中探究概括得到，否則難以成為學生認知結(jié)構(gòu)中的可隨時調(diào)用的經(jīng)驗。結(jié)合本題中[△ADE]的一般性，可聯(lián)想到利用橢圓定義及圖形的對稱性簡化運算過程。

例7 （2022年全國Ⅰ卷第21題）已知點A（2，1）在雙曲線C：[x2a2-y2a2-1=1]（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0。

（1）求l的斜率;

（2）若tan[∠]PAQ=[22]，求[△]PAQ的面積。

評析：本題的設(shè)問方式簡潔、精煉，沒有過多的鋪陳和修飾，且形式新穎。該題第（1）問屬于平時教學中的典型問題，即當過圓錐曲線上某定點的兩直線的斜率之和（或積）為定值時，那么動點連線所在直線的斜率為定值或過定點。作為第（1）問的一般性推廣，解決第（2）問需要綜合條件“直線AP，AQ的斜率之和為0”及“tan[∠]PAQ=[22]”求出直線AP和直線AQ的斜率，再分別聯(lián)立直線AP、直線AQ與雙曲線方程求出點P，Q的坐標，即可得到直線PQ的方程以及PQ的長，由點到直線的距離公式求出點A到直線PQ的距離，即可得出[△]PAQ的面積。簡而言之，要解決第（2）問，需運用解析法（主要是夾角公式或到角公式）解三角形?；跀?shù)學知識整體觀進行問題研究，不僅有助于數(shù)學問題的快速解決，而且能讓學生形成整體性認知方式和數(shù)學理性精神。

四、結(jié)語

分析高考試題的命題特征及趨向性要立足學科育人這一根本邏輯出發(fā)點，以知育人、以行塑人是基本途徑。教師應(yīng)深入研究教學內(nèi)容，使學生領(lǐng)悟數(shù)學本質(zhì)，使核心素養(yǎng)在課堂教學中真正落地;教師應(yīng)重視結(jié)構(gòu)化教學，以知識認知構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，進而形成或完善認知結(jié)構(gòu);教師應(yīng)帶領(lǐng)學生積極開展探究性學習（尤其是主題探究活動），讓知識流動起來，讓學生的思維真正活起來。

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（責任編輯：陸順演）

【作者簡介】劉師妤，華中師范大學教育博士，湖北第二師范學院講師，曾榮獲武漢市優(yōu)質(zhì)課一等獎;周龍虎，華中師范大學數(shù)學教育博士，華中師范大學第一附屬中學數(shù)學骨干教師，華中師范大學考試研究院特聘研究員。

【基金項目】中國教育學會2021年度教育科研中小學德育專項課題“中小學數(shù)學學科德育教學：方法與路徑”（21DY090618ZB）