綜合素質(zhì)培養(yǎng)融入教學(xué)案例設(shè)計探索

李婭 苑佳 李美生 薛玉梅

摘?要：作為數(shù)學(xué)教師，其職責(zé)不僅僅是教會學(xué)生數(shù)學(xué)知識，更重要的是通過教學(xué)過程，使學(xué)生建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，引導(dǎo)他們主動探索和思考，鍛煉分析問題、解決問題、理論和實踐相結(jié)合等能力，從而培養(yǎng)出國家建設(shè)迫切需要的多層次創(chuàng)新型人才。通過一個案例在各個教學(xué)環(huán)節(jié)的應(yīng)用與拓展，精心設(shè)計問題與解決方法，潛移默化訓(xùn)練學(xué)生的各方面能力，使他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合素質(zhì)得到均衡發(fā)展和逐步提高。

關(guān)鍵詞：數(shù)列;單調(diào)有界定理;導(dǎo)數(shù);變量可分離方程;種群模型

中圖分類號：O172??文獻(xiàn)標(biāo)識碼：C

1?概述

經(jīng)典的高等數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)分析教材中，在數(shù)列的極限部分，通常會采用數(shù)學(xué)實例引入數(shù)列及其極限的定義[12]，然后講解數(shù)列相關(guān)知識，而此后相關(guān)的例題大多為純粹的數(shù)學(xué)問題。而在整個微積分的教學(xué)過程中，除函數(shù)的極值最值問題以及積分的物理應(yīng)用和幾何應(yīng)用部分之外，也很少涉及與其他領(lǐng)域或者實際問題有關(guān)的應(yīng)用性問題。

本文以一個具有生物背景的應(yīng)用性問題為例，詳細(xì)介紹此問題在數(shù)列和微分方程應(yīng)用的教學(xué)設(shè)計。通過這樣的案例設(shè)置，一方面從廣度上，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的同時拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，讓學(xué)生了解科學(xué)研究的最前沿方向以及數(shù)學(xué)在其中發(fā)揮的重要作用;另一方面，在解決問題的過程中，鍛煉學(xué)生的邏輯分析能力和實踐動手能力，啟發(fā)學(xué)生積極思考和勇于探索，培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)的能力，順應(yīng)國家現(xiàn)代化建設(shè)所需的多層次創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的需求。

2?案例設(shè)計

設(shè)計所采用的案例具有生物上的應(yīng)用背景，根據(jù)研究對象的不同分別表現(xiàn)為離散形式和連續(xù)形式。兩種形式下的案例均可結(jié)合高等數(shù)學(xué)各個階段的教學(xué)重點知識進(jìn)行研究和探索，故本案例將貫穿整個高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，多次引用和拓展深入，在分析問題和解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生多方面的能力。

2.1?數(shù)列極限的案例設(shè)計和教學(xué)目標(biāo)

例1[3]?有些昆蟲種群的生長規(guī)律可以用如下的遞推公式表示：pn+1=kpn（1-pn），其中0

1表示第n代種群的數(shù)量占環(huán)境所能容納的最大種群數(shù)量的比例，k為單位種群的自然增長率。

步驟一：取p0=0.5，分別取k=0.5，1.5，3.2，3.45，38，用Mathematica軟件繪制數(shù)列{pn}，學(xué)生觀察：數(shù)列{pn}是否有極限？若有，極限值是多少？若沒有，數(shù)列{pn}是否有一定的變化規(guī)律？

觀察可得：當(dāng)k=0.5，1.5時極限存在，其中一個極限為0，一個極限非零;當(dāng)k=3.2，3.45時極限不存在，但數(shù)列取值呈現(xiàn)周期性變化的趨勢;當(dāng)k=3.8時極限不存在，且數(shù)列的值隨機變化。

步驟二：學(xué)生思考：對于極限存在的情況，是否可以用理論推導(dǎo)的方式求極限？如何求？

方法：利用單調(diào)有界定理證明極限存在性，然后求極限（板書或PPT展示過程）。

步驟三：取k=3.8，將p0的值作一個微小的擾動（例如減少0.001），用Mathematica軟件繪制數(shù)列pn，學(xué)生觀察：與步驟一中同一參數(shù)對應(yīng)的數(shù)列的圖像進(jìn)行比較，觀察圖像如何改變，是否有一定規(guī)律。

觀察可得：此數(shù)列對初始值的選取非常敏感。

知識拓展及理論類比：混沌理論。

此時數(shù)列所表現(xiàn)出來的隨機性和對于初值的敏感性等特點，表明此種群系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)?；煦缋碚撌且环N兼具質(zhì)性思考與量化分析的方法，用以探討動態(tài)系統(tǒng)中無法用單一的數(shù)據(jù)關(guān)系，而必須用整體，連續(xù)的數(shù)據(jù)關(guān)系才能加以解釋及預(yù)測之行為。在混沌系統(tǒng)中，初始條件十分微小的變化，經(jīng)過不斷放大，對其未來狀態(tài)會造成極其巨大的差別。蝴蝶效應(yīng)是混沌現(xiàn)象的典型例子，一只蝴蝶今天在北京扇動翅膀，可能在大氣中引發(fā)一系列事件，從而導(dǎo)致某個月紐約一場暴風(fēng)雨的發(fā)生。

步驟四：學(xué)生思考：從觀察和推導(dǎo)的數(shù)學(xué)結(jié)論能得出關(guān)于昆蟲種群生長的什么結(jié)論？

分析可得：數(shù)列pn的變化趨勢即代表種群數(shù)量的變化趨勢。當(dāng)種群的自然增長率比較低（k=0.5）時，最終種群數(shù)量會逐漸縮小直至種群消失;當(dāng)自然增長率增加（k=1.5）時，種群數(shù)量最終趨向于固定規(guī)模;當(dāng)自然增長率繼續(xù)增大（k=3.2，3.45）時，種群數(shù)量呈現(xiàn)周期性變化的趨勢;自然增長率增大到一定程度（k=3.8）時，種群數(shù)量呈隨機變化的趨勢。從本例看出，實際問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后利用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行研究，然后將研究結(jié)果與實際問題去對應(yīng)，從而解決實際問題。

總結(jié)：本例具有很強的應(yīng)用背景，通過本例的展示，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的交叉和應(yīng)用，也使得相對枯燥的數(shù)學(xué)知識更加有趣，激發(fā)學(xué)生的積極性。本案例充分體現(xiàn)了科學(xué)研究的基本思路和方法：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，主動思考，分析問題，解決問題。借助引導(dǎo)式、啟發(fā)式的教學(xué)方法，幫助學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，循序漸進(jìn)地發(fā)現(xiàn)問題并一一解決，是對學(xué)生科學(xué)研究能力的基本訓(xùn)練，同時也提高了學(xué)生的自信心，堅定他們不畏困難、勇闖難關(guān)的信念。同時本案例的展示，為學(xué)生提供了多樣化的現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生充分利用計算機的優(yōu)勢輔助解決問題。對混沌知識的拓展，擴大了學(xué)生的知識視野，多維度地展現(xiàn)一個豐富多彩的世界。

2.2?常微分方程的案例設(shè)計和教學(xué)目標(biāo)

例2?在某些種群數(shù)量研究中，如果種群生長和繁殖不同于昆蟲種群具有按季節(jié)或者年份的規(guī)律，則可將種群的生長看作是連續(xù)的，此時可將種群數(shù)量看作是關(guān)于時間t的函數(shù)。記x（t）為時刻t時的種群數(shù)量占環(huán)境所能容納的最大種群數(shù)量的比例，則由導(dǎo)數(shù)定義，種群的增長率可表示為x′（t）。通過對影響種群增長的因素進(jìn)行分析，一般可用如下方程表示種群的變化：x′（t）=kx（1-x），k為單位種群的自然增長率，這個方程在種群動力學(xué)中稱為Logistic模型，是研究連續(xù)變化的種群增長規(guī)律的最基本模型。

步驟一：學(xué)生思考：如何研究種群數(shù)量隨時間變化的趨勢？

分析：轉(zhuǎn)化為常微分方程求解。

求解方法1：軟件數(shù)值求解。設(shè)x（0）=a，取a=0，0.5，1，k=0.5，1.5，3.8，用Mathematica軟件求解對應(yīng)的微分方程初值問題并繪制解的圖像。

a=0

a=1

a=0.5

此模型所對應(yīng)的微分方程初值問題，并根據(jù)結(jié)果分析種群變化趨勢。

從上述結(jié)果可以看到，若初始時刻種群數(shù)量為0，則后續(xù)種群數(shù)量也為0，此結(jié)果從生物角度上看也是顯然的;若初始時刻種群數(shù)量為環(huán)境所能容納的最大值（a=1），則種群數(shù)量保持不變;若初始時刻種群數(shù)量介于0和最大值之間，則最終種群數(shù)量將增至最大值，其趨勢不隨自然增長率的取值不同而不同。

求解方法2：理論求解。板書或PPT展示利用變量分離法求解得到：x（t）=aekt1-a+aekt。

則種群的變化趨勢可以通過研究limt→+

x（t）=0，若a=0或k<0，

a，若k=0，

1，若a>0且k>0.

理論求解和數(shù)值求解的優(yōu)缺點比較：理論求解得到的結(jié)論更加系統(tǒng)全面，可以將所有參數(shù)取值可能出現(xiàn)的情況一一列舉;數(shù)值求解的優(yōu)越性體現(xiàn)在其結(jié)果更直觀，計算速度更快，特別是對于一些無法用理論求解的方程，數(shù)值求解是研究解的性質(zhì)的最常用工具。

步驟二：知識拓展。

數(shù)學(xué)建模的思路拓展：本案例從函數(shù)導(dǎo)數(shù)的物理意義出發(fā)，將種群數(shù)量隨時間變化的變化率用函數(shù)表示，建立微分方程并研究解的性質(zhì)，從而間接得到種群數(shù)量關(guān)于時間變化的規(guī)律。研究結(jié)果在生態(tài)保護(hù)、害蟲防治、人口控制等方面均有重要的理論和實用價值。除種群模型外，科學(xué)家們還利用類似的方法研究其應(yīng)用性問題，如彈道與飛機軌跡、電子裝置設(shè)計、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、傳染病傳播等等。

例如，很多傳染病具有這樣的特點，易感者從染病之后到發(fā)展到有癥狀可以傳播傳染病之前，存在一個潛伏期，因此可根據(jù)傳染病特點建立S（易感人人群）E（潛伏期人群）I（感染者人群）R（康復(fù)者人群）傳染病模型：

dSdt=-rβSIN，

dEdt=rβSIN-aE，

dIdt=aE-γI，

dRdt=γI.

通過對模型的研究，可以深入了解流行病學(xué)基本參數(shù)，如基

本再生數(shù)、平均潛伏期、平均傳染期、非典型患者占比和流

行趨勢，包括流行時間、疫情拐點、流行規(guī)模等，其結(jié)果對

傳染病的傳播、控制和免疫提供有力的理論支撐。

連續(xù)系統(tǒng)的混沌拓展：美國氣象學(xué)家Lorenz在研究大氣運動的時候，通過對對流模型簡化，建立了如下模型，我們稱之為Lorenz模型[7]：

dxdt=σ（y-x），

dydt=ρx-y-xz，

dzdt=xy-βz.

Lorenz模型也是混沌領(lǐng)域的經(jīng)典模型，系統(tǒng)中選擇合適的參數(shù)，系統(tǒng)會進(jìn)入混沌狀態(tài)，表現(xiàn)出和離散系統(tǒng)類似的對初值的敏感性（見下圖）。

x（0）=-16，y（0）=-21，???z（0）=33???x（0）=-16，y（0）=-21，?z（0）=33.00001

總結(jié)：

本案例與上一案例類似，也是研究生物種群生長這一應(yīng)用問題，均為通過數(shù)學(xué)建模的方法，將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并利用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行研究，但由于種群生長特點不同，從而體現(xiàn)出的形式也由離散形式轉(zhuǎn)化為連續(xù)形式。采用微分方程建模，然后利用數(shù)學(xué)工具研究種群變化規(guī)律是種群動力學(xué)的主要研究方法。本例所討論的Logistic模型，是種群動力學(xué)中最基礎(chǔ)的模型，由此可以進(jìn)一步延拓，根據(jù)所研究的重點，構(gòu)造新的模型進(jìn)行研究。因此本例的作用除用作一個典型的變量可分離方程的例題之外，更重要的是透過此例向?qū)W生介紹最新最前沿的數(shù)學(xué)研究方向和研究方法，開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高他們的學(xué)習(xí)熱情。而在知識拓展部分，介紹了連續(xù)系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，與上一例中離散系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象相呼應(yīng)，進(jìn)一步拓寬了學(xué)生的知識面。此外，向?qū)W生介紹利用數(shù)學(xué)工具對疾病的傳播以及免疫隔離措施的評估等方面所取得的進(jìn)展，培養(yǎng)學(xué)生的國際視野。

結(jié)論

國家的現(xiàn)代化建設(shè)需要學(xué)校培養(yǎng)出優(yōu)秀的高層次創(chuàng)新型人才，因此教育工作者在知識的傳授過程中，不應(yīng)拘泥于教會學(xué)生課本的知識，而是需要將理論知識和實際應(yīng)用相結(jié)合，將經(jīng)典理論和前沿方法相結(jié)合，在教學(xué)過程中鍛煉學(xué)生的自主思考、自主探索和靈活利用所學(xué)知識解決問題的能力，這樣培養(yǎng)出來的學(xué)生才能更加適應(yīng)未來的學(xué)習(xí)和工作的多方面需求。種群動力學(xué)模型是數(shù)學(xué)在其他學(xué)科的一個典型應(yīng)用，里面涉及的一些研究方法是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，故在整個教學(xué)過程中的不同知識點講授部分以這樣的模型作為例子，相比一般的理論性題目更為生動有趣，提高了學(xué)生的積極性。通過精心的教學(xué)設(shè)計和安排，循序漸進(jìn)、分重點、分層次地訓(xùn)練學(xué)生多方面的能力，最終達(dá)到綜合素質(zhì)的提升。

參考文獻(xiàn)：

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[7]Larence?Perko.Differential?equations?an?dynamical?systems[M].2版.New?York：Springer，1996.

作者簡介：李婭（1978—?），女，山東聊城人，博士，副教授，從事生物數(shù)學(xué)研究;苑佳（1981—?），女，河南周口人，博士，副教授，從事偏微分方程和調(diào)和分析研究;李美生（1964—?），女，北京人，博士，副教授，從事神經(jīng)動力系統(tǒng)研究;薛玉梅（1968—?），女，福建福清人，博士，教授，從事符號動力系統(tǒng)和分形研究。