初中數(shù)學教學中數(shù)學抽象素養(yǎng)發(fā)展的途徑探究

吳淑娟

[摘? 要] 數(shù)學是一門高度抽象的學科，在面向初中學生進行數(shù)學教學時，抽象往往意味著一對矛盾：從數(shù)學學科的角度來看，正是因為抽象，數(shù)學才能用最簡潔的語言與符號去描述最復雜的規(guī)律;從學生學習的角度來看，也正是因為抽象，學生才感覺到數(shù)學難學. 數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展路徑概括為：結(jié)合具體的教學內(nèi)容，研究學生的生活經(jīng)驗，選擇與學生生活關(guān)系密切的素材作為課程資源，讓學生在數(shù)學抽象的過程中，通過對數(shù)與形及其關(guān)系的研究，得到與學習內(nèi)容相一致的數(shù)學認識，且最終能夠用數(shù)學語言將這種認識表述出來.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學;數(shù)學抽象;數(shù)學抽象素養(yǎng);發(fā)展途徑

不可否認的一個事實是，數(shù)學是一門高度抽象的學科，數(shù)學所研究的數(shù)與形都是十分抽象的. 在面向初中學生進行數(shù)學教學時，這種抽象往往意味著一對矛盾：從數(shù)學學科的角度來看，正是因為抽象，數(shù)學才能用最簡潔的語言與符號去描述最復雜的規(guī)律. 事實上，小到一個人的生活，大到國計民生，都可以用各種各樣的數(shù)學模型去描述，而這正是數(shù)學抽象的最終產(chǎn)物，學生學習數(shù)學的過程本就應當是一個體會數(shù)學抽象的過程. 從學生學習的角度來看，也正是因為抽象，學生才感覺到數(shù)學難學. 初中學生的思維方式多數(shù)以形象思維為主，在面對抽象的數(shù)與形時，學生思維加工出現(xiàn)困難幾乎是必然的事情. 通過這樣一個矛盾的分析就可以發(fā)現(xiàn)，在初中數(shù)學教學中，數(shù)學教師的一個主要任務就是協(xié)調(diào)好這個矛盾，既要讓學生認識到數(shù)學必然是抽象的，又要讓學生體會到數(shù)學學習過程不完全是抽象的. 從形象到抽象，應當是建立數(shù)學概念或規(guī)律的一個基本途徑，而這本身就是一個數(shù)學抽象的過程. 當前的學科教學強調(diào)培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，數(shù)學教學當然就是為了培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 有人將數(shù)學核心素養(yǎng)界定為“學生通過學習要逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力”. 在數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素中，數(shù)學抽象名列第一，從某種程度上講，數(shù)學抽象實際上是數(shù)學學習的一個重要基礎(chǔ)，因此數(shù)學教師要想方設(shè)法去發(fā)展學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，而這顯然離不開一個具體的途徑.

數(shù)學抽象是初中數(shù)學教學的重要內(nèi)容

什么是數(shù)學抽象？從科學定義的角度來看，數(shù)學抽象是對空間形式和數(shù)量關(guān)系的抽象. 這樣一個定義與數(shù)學學科的基本特征是吻合的，因為數(shù)學教學原本就是研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的，而對這兩者的研究過程都是從形象走向抽象的過程. 一般認為，數(shù)學抽象大體經(jīng)由簡約階段、符號階段、普適階段等三個基本階段形成. 數(shù)學抽象是抽象的下位概念，以教學形態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學抽象，遵循數(shù)學抽象的一般規(guī)律，同時又具有實物抽象、半符號抽象、符號抽象和形式化抽象四種表現(xiàn)形式. 這樣的界定超越了一般的經(jīng)驗層面，對于數(shù)學教師可以引導其從經(jīng)驗走向?qū)W術(shù)、走向智慧，同時也為數(shù)學抽象的具體教學提供了數(shù)學學科前提和思維訓練的教育基礎(chǔ).

數(shù)學抽象是初中數(shù)學教學的重要內(nèi)容，是總“閥門”. 這既是因為數(shù)學抽象是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要組成要素，也是因為在學生數(shù)學學習的過程中，首先就是通過它去觸摸數(shù)學學科本質(zhì)的. 如同上面所指出的那樣，數(shù)學抽象體現(xiàn)著數(shù)學學科最基本的特征，如果離開了數(shù)學抽象去談數(shù)學學習，那么無異于構(gòu)造空中樓閣.

與此同時，學生學習數(shù)學，除為了積累數(shù)學學科知識外，還為了發(fā)展自身的能力、提升自身的學習品質(zhì)，就是新課程改革中所強調(diào)的“用數(shù)學教”. 那么能力與品質(zhì)怎樣得到提升呢？這就需要教師給學生創(chuàng)設(shè)一個能夠體驗數(shù)學抽象的空間，當結(jié)合具體的數(shù)學知識生成過程，讓學生體驗數(shù)學抽象時，學生眼中的“事物”就會抽象成“數(shù)”或“形”，“事物之間的聯(lián)系”就會抽象成“數(shù)的關(guān)系”或“空間‘形’式”. 如果能真正達到這個目的，那么數(shù)學抽象素養(yǎng)發(fā)展的途徑也就清晰了.

數(shù)學教學中數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展路徑

從學理的角度來看，數(shù)學抽象可以理解為數(shù)學的基本思想，是反映現(xiàn)實世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律的基本方式. 由于抽象的過程必然會剝離一些無關(guān)要素，只會留下與核心、本質(zhì)相關(guān)的要素，因此數(shù)學抽象在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨特的、不可替代的作用. 結(jié)合上述分析，可以將數(shù)學抽象素養(yǎng)的發(fā)展路徑概括為：結(jié)合具體的教學內(nèi)容，研究學生的生活經(jīng)驗，選擇與學生生活關(guān)系密切的素材作為課程資源，讓學生在數(shù)學抽象的過程中，通過對數(shù)與形及其關(guān)系的研究，得到與學習內(nèi)容相一致的數(shù)學認識，并且最終能夠用數(shù)學語言將這些認識表述出來.

例如，在“軸對稱”這一內(nèi)容的教學中，筆者注意到教材中通常會列舉一些自然景觀、藝術(shù)作品、建筑物、交通標志以及生活中的常見物品等，然后對這些例子具有的對稱特征進行分析. 分析教材這一設(shè)計思路，對教師的啟發(fā)就是：教學前，要找學生熟悉的、能形成良好的直覺感知的例子進行教學設(shè)計. 考慮到學生在生活中本身已建立起了對“對稱”的初步認識，因此筆者教學設(shè)計的第一個任務就是：請學生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗，尋找具有對稱特征的事物.

事實證明，初中學生對這個任務非常感興趣，他們會將目光投向自己的生活，投向自己眼前所看到的事物，然后就能指出很多鮮活生動的例子，比如人的外表、人的臉、黑板、長方形白紙、一雙鞋、一副手套……這些例子可以說是五花八門. 這里有一個非常重要的有價值的細節(jié)，那就是學生在指出這些例子時，會自發(fā)地進行討論，而討論又伴隨著一個去偽存真的過程. 比如有學生指出“衣服”的例子，就有學生提出有些衣服是“不對稱”的. 這實際上是一個拓展，意味著學生在大腦中同時加工對稱與不對稱兩種事物.

這里加工的既是一個數(shù)學抽象的過程，又是一個對比的過程，學生會下意識地將所舉出的例子進行簡化——這實際上就是去除非數(shù)學元素、留下數(shù)學元素的過程，也就是一個數(shù)學抽象的過程. 抽象到最后學生大腦中留下來的是簡化后的“形”，而通過對比又可以發(fā)現(xiàn)，這些“形”有的是對稱的，有的是不對稱的. 這時教師就可以追問：你判斷對稱或不對稱的依據(jù)是什么呢？這實際上就是將學生的直覺感知轉(zhuǎn)化為數(shù)學思考的過程，也伴隨著高度的數(shù)學抽象. 學生依然會通過抽象與對比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：生活中常說的對稱也就是對折后能夠完全重合，而不對稱就是對折后不能夠完全重合. 要知道這只是學生在數(shù)學抽象后運用自己的語言進行的概括，而這個概括事實上已經(jīng)高度接近于數(shù)學的軸對稱定義. 這也說明了上述學習過程是高效的！

在核心素養(yǎng)的背景下審視數(shù)學教學

很多的事實也確實能夠證明，只要給學生一個充分的思考空間，讓學生的思維有足夠形象的事物進行加工，再加上數(shù)學問題的驅(qū)動，那么學生在這樣的一個過程中，無論是有意識還是無意識，最終的學習過程與結(jié)果都會走向抽象. 因此從這個角度來看，初中學生的數(shù)學學習過程，對數(shù)學抽象的經(jīng)歷有著必然性.

數(shù)學抽象作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)的第一個組成要素，所體現(xiàn)出來的是其基礎(chǔ)性地位. 而今天的初中數(shù)學教學，顯然要在核心素養(yǎng)的背景下進行思考. 作為教師，既要尋找到有效的核心素養(yǎng)的培育途徑，又要根據(jù)學生的學習結(jié)果結(jié)合核心素養(yǎng)要素進行評價. 因此在核心素養(yǎng)的背景下審視當下的初中數(shù)學教學，應當意味著一些重要的變化必然會發(fā)生. 以數(shù)學抽象為例，教師就不能替代學生的思維與努力，而應當讓學生去經(jīng)歷一個充分的數(shù)學抽象過程. 大量的教學經(jīng)驗表明，只要學生有了這樣一個空間，能夠經(jīng)歷這樣一個過程，那么養(yǎng)成數(shù)學抽象素養(yǎng)就是有保障的.

總體而言，教學抽象實際上體現(xiàn)了人類活動的最基本的特征. 無論是從教學的角度來看，還是從教學研究的角度來看，初中數(shù)學教師都要從數(shù)學抽象的背景、產(chǎn)生、內(nèi)容、方法和形式等方面探究數(shù)學抽象活動的過程與結(jié)果、形式與實質(zhì)之間的思辨關(guān)系，而這正是深化數(shù)學教育理論研究的需要. 面向?qū)W生的數(shù)學學習，只有滿足了這種需要，才能讓初中數(shù)學教學真正置于核心素養(yǎng)的培育環(huán)境，才能為初中數(shù)學教學開辟出一條新的途徑. 這條途徑的一端連接著當下的初中數(shù)學教學，另一端指向數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地. 筆者對這條途徑的探索才剛剛邁出第一步，以上只是為數(shù)學學科核心素養(yǎng)中的數(shù)學抽象的發(fā)展做了最初步的探究，對于初中數(shù)學教學同行，希望能夠起到拋磚引玉的作用.