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    逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學(xué)中的應(yīng)用

    2022-03-28 11:09:08曹文棟童莉
    關(guān)鍵詞:核心素養(yǎng)

    曹文棟 童莉

    [摘? 要] 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng),“相交線與平行線”作為初中幾何學(xué)習(xí)的起始部分、嚴(yán)格證明的開端,其目標(biāo)在于幫助學(xué)生樹立幾何意識(shí),養(yǎng)成推理與證明的能力,但教學(xué)中學(xué)生往往在邏輯推理、證明過(guò)程書寫方面存在一定困難. 在初中“相交線與平行線”相關(guān)證明專題教學(xué)過(guò)程中引入“逆向推理”的思維方式,有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力,為之后幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定良好基礎(chǔ).

    [關(guān)鍵詞] 逆向推理;相交線與平行線;核心素養(yǎng)

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式,也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式[1],數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也將“邏輯推理”作為主要素養(yǎng)之一. “圖形與幾何”內(nèi)容的學(xué)習(xí)是培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)的有效方式,其中“相交線與平行線”部分作為初中“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的起始內(nèi)容、嚴(yán)格證明的開端,對(duì)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)尤為重要. 傳統(tǒng)教學(xué)中,教師往往直接給出固定的推理組合,讓學(xué)生進(jìn)行記憶訓(xùn)練,形成固定模式,這對(duì)解決基礎(chǔ)的推理題目有效,但對(duì)稍微復(fù)雜的推理問(wèn)題,學(xué)生就會(huì)找不到思路,特別是對(duì)于涉及作輔助線的推理問(wèn)題,學(xué)生感覺尤其困難.

    逆向推理的思維方式就是從問(wèn)題出發(fā)[2],先思考證明此問(wèn)題需要什么條件,再結(jié)合已知條件及相關(guān)定理,逐步找到所有的條件,形成嚴(yán)密的思維結(jié)構(gòu),再?gòu)囊阎獥l件到目標(biāo)問(wèn)題,書寫完整求證過(guò)程. 這樣可以有效幫助學(xué)生學(xué)會(huì)從問(wèn)題出發(fā),養(yǎng)成逐步化歸的思維方式,突破幾何題目、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維、形成邏輯推理核心素養(yǎng).

    初中“相交線與平行線”的內(nèi)容分析

    “相交線與平行線”內(nèi)容屬于初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”知識(shí)板塊,該板塊是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分,主要是運(yùn)用邏輯推理的方法來(lái)研究平面圖形性質(zhì)的學(xué)科內(nèi)容[3],它強(qiáng)調(diào)學(xué)生的邏輯思維和推理能力的培養(yǎng). 從初中幾何課程整體來(lái)看,在“相交線與平行線”部分才剛剛引入較為規(guī)范的證明過(guò)程,若掌握好進(jìn)行推理證明的思考步驟及思維方式,則有助于學(xué)生在更深入的圖形證明中進(jìn)行邏輯推理.

    在當(dāng)前主流的初中數(shù)學(xué)教材中,“相交線與平行線”在整個(gè)幾何內(nèi)容中的位置有一定的差異. 人教版將“相交線與平行線”一章設(shè)置在七年級(jí)下冊(cè)(第五章),它是繼七年級(jí)上冊(cè)(第四章)“幾何圖形初步”后,對(duì)圖形與幾何的更進(jìn)一步學(xué)習(xí). 北師大版將“相交線與平行線”設(shè)置在七年級(jí)下冊(cè)第二章(第八章),又在八年級(jí)上冊(cè)第七章(第十九章)專門設(shè)置了“平行線的證明”進(jìn)行證明過(guò)程的教學(xué). 華師大版將“相交線與平行線”一章設(shè)置在七年級(jí)上冊(cè)(第五章). 具體見表1.

    各教材“相交線與平行線”章節(jié)具體內(nèi)容也有略有差異. 在人教版教材中,該章不僅包括相交線以及平行線的判定與性質(zhì)等內(nèi)容,還專門設(shè)置了“命題、定理、證明”專題,引入“真命題”“假命題”以及“證明”的概念,開始進(jìn)行嚴(yán)格的證明教學(xué). 北師大版教材中,該章包括兩條直線的位置關(guān)系、探索直線平行的條件以及平行線的性質(zhì)等內(nèi)容,還設(shè)置了“為什么要證明”專題幫助學(xué)生樹立“要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確,必須進(jìn)行有根有據(jù)的證明”的觀點(diǎn). 在華師大版教材中,該章在小學(xué)通過(guò)觀察體會(huì)相交線與平行線的基本屬性的基礎(chǔ)上,通過(guò)數(shù)學(xué)說(shuō)理的方法從公認(rèn)的基本事實(shí)推導(dǎo)出了平行線的判定方法及性質(zhì),并在“平行線的判定”內(nèi)容后以“讀一讀”的拓展閱讀形式對(duì)“推理”的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了介紹,強(qiáng)調(diào)了“歸納推理”與“演繹推理”的區(qū)別,同時(shí)在章節(jié)“小結(jié)”中說(shuō)明了“演繹推理”在結(jié)論證明中的作用. 具體見表2.

    從表上可以看出,各類教材雖然對(duì)“相交線與平行線”的內(nèi)容設(shè)置方式不一,但都分為了兩個(gè)步驟,一是學(xué)習(xí)相交線以及平行線的判定與性質(zhì)的基本知識(shí);二是依托定理的學(xué)習(xí)進(jìn)行嚴(yán)格證明的教學(xué),特別是北師大版本將這兩個(gè)步驟做了嚴(yán)格的區(qū)分. 不同教材對(duì)“推理”和“證明”兩個(gè)概念的講解程度不同,但均表達(dá)了“推理和證明是有區(qū)別的”的觀點(diǎn),推理是證明過(guò)程中的組成部分,在“證明”的教學(xué)過(guò)程中重點(diǎn)是要讓學(xué)生理解證明的必要性和證明的過(guò)程. “相交線與平行線”章節(jié)的設(shè)置,承擔(dān)著進(jìn)行“證明”教學(xué)的功能,因此,在“相交線與平行線”的教學(xué)過(guò)程中,不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)二者概念的認(rèn)識(shí),還要幫助學(xué)生深入理解“推理”與“證明”,培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格證明的能力.

    逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

    1. 幫助學(xué)生銜接發(fā)展小學(xué)的推理方式

    初中幾何教學(xué)主要是引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)分析問(wèn)題,運(yùn)用所學(xué)知識(shí)從條件出發(fā)進(jìn)行分析和推導(dǎo),尋求各種推理所需的證據(jù),最終解決問(wèn)題[4]. 在“相交線與平行線”教學(xué)階段,學(xué)生剛剛經(jīng)歷完小學(xué)階段的學(xué)習(xí),邏輯推理能力較弱,才開始接觸“嚴(yán)格證明”的相關(guān)知識(shí),在“尋求各種推理所需的證據(jù)”的能力上還有待提高,對(duì)于邏輯推理和規(guī)范證明方面都存在較大問(wèn)題. 特別是小學(xué)階段對(duì)“圖形與幾何”的內(nèi)容更關(guān)注學(xué)生對(duì)內(nèi)容的“認(rèn)識(shí)”階段,更多采用觀察、操作、簡(jiǎn)單推理等方式進(jìn)行學(xué)習(xí),缺少了“嚴(yán)格證明”的步驟. 圖爾明關(guān)于推理的定義強(qiáng)調(diào)了要“注重考慮邏輯結(jié)構(gòu)的完整性和正確性”.[5]學(xué)生進(jìn)入初中階段后思考事物缺乏邏輯性,表現(xiàn)出的現(xiàn)象就是面對(duì)幾何題目缺乏整體思考,能看出結(jié)果但不會(huì)說(shuō)理由、能判斷求解但不會(huì)寫過(guò)程. 因此,在教學(xué)過(guò)程中采取必要手段引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)邏輯推理能力是非常有必要的.

    2. 有助于發(fā)展學(xué)生思考問(wèn)題的主動(dòng)性

    “逆向推理”的思維方式更關(guān)注于學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的過(guò)程,幫助學(xué)生從問(wèn)題出發(fā),尋找可以用于求證結(jié)論或求解問(wèn)題的條件. 尋找條件的過(guò)程就是化歸思想的體現(xiàn),將已知的問(wèn)題化歸為更容易探究或已經(jīng)解決的問(wèn)題[6],通過(guò)多次化歸,可以轉(zhuǎn)化至已知的條件.

    同時(shí),新課程改革要求學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中處于主體地位,教師通過(guò)交流和引導(dǎo)的方式參與到學(xué)習(xí)和探索的過(guò)程中. 此模式下,教師主要以引導(dǎo)式提問(wèn)啟發(fā)學(xué)生思考[7],這也使此方式成為落實(shí)學(xué)生的課堂主體地位、培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的有效途徑.

    逆向推理思維方式在初中“相交線與平行線”教學(xué)中的應(yīng)用案例

    逆向推理的思維方式在“相交線與平行線”部分的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

    1. 引導(dǎo)關(guān)注論證目標(biāo),積極關(guān)聯(lián)已知條件

    剛剛接觸幾何題目的學(xué)生面對(duì)眾多已知條件,常出現(xiàn)不知道該如何使用條件推導(dǎo)的情況. 通過(guò)逆向推理的方式,可以幫助學(xué)生從目標(biāo)出發(fā),尋找需要使用的條件. 在逆向推理的過(guò)程中,需要不斷引入新條件以轉(zhuǎn)化問(wèn)題,這樣便可以幫助學(xué)生充分運(yùn)用已知條件.

    案例1 如圖2,直線a‖b,點(diǎn)A在直線a上,點(diǎn)B,C在直線b上,且BA⊥CA,點(diǎn)D在線段BC上,連接AD,且AC平分∠DAF,試說(shuō)明∠3=∠5.

    分析 該題目涉及的知識(shí)點(diǎn)不多、難度不大,主要是利用垂直、平角、角平分線等定義,進(jìn)行平行的判定,在學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)幾何階段,逆向推理的解題思路能有效幫助學(xué)生理解已知條件的轉(zhuǎn)化. 如圖3所示的思維導(dǎo)圖,從結(jié)論出發(fā),思考時(shí)充分考慮等量代換,將無(wú)法直接求證的角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為另外的角的關(guān)系,從而轉(zhuǎn)化為可以解決的問(wèn)題. 經(jīng)此訓(xùn)練,學(xué)生能熟練進(jìn)行轉(zhuǎn)換,并且知曉無(wú)法求證時(shí)使用已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換,這大大提高了學(xué)生理解題目的效率.

    2. 探求定理形成原理,加深對(duì)定理的理解

    對(duì)于數(shù)學(xué)的命題而言,前提和結(jié)論都是已知的,因此基于數(shù)學(xué)命題驗(yàn)證的數(shù)學(xué)教學(xué),可以在驗(yàn)證過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生關(guān)于證明的邏輯思維能力[8]. 在教學(xué)過(guò)程中,往往就可以結(jié)合定理等內(nèi)容對(duì)“逆向推理”思維方式進(jìn)行引入,幫助學(xué)生理解定理的內(nèi)在邏輯,加深學(xué)生對(duì)定理的理解.

    案例2 定理教學(xué)“對(duì)頂角相等”. (如圖4,已知:直線a,b相交于點(diǎn)O,證明:∠2=∠3. )

    在教學(xué)過(guò)程中,“對(duì)頂角相等”是很直觀的,學(xué)生可以直接感受到,但如何證明,學(xué)生卻難以下手. 通過(guò)“逆向推理”的思維方式,可以有效幫助學(xué)生找到問(wèn)題所在,即要證明一組對(duì)頂角相等. 明確問(wèn)題后,學(xué)生便很容易知道要先找到一組對(duì)頂角,再對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)化,證明這組角相等.

    3. 激發(fā)思維的靈活性,規(guī)范書寫證明過(guò)程

    在圖形與幾何相關(guān)內(nèi)容的問(wèn)題解決中,解題方法往往不是唯一的,當(dāng)教師給出一種思路后,學(xué)生很難再思考其他解題思路. 在逆向推理的過(guò)程中,轉(zhuǎn)化問(wèn)題的方法也是多樣的,教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理時(shí),可以列舉多條路徑,讓學(xué)生對(duì)同一題目的多種解題思路進(jìn)行探索,同時(shí)學(xué)生可以通過(guò)對(duì)比感受哪一種思路是最簡(jiǎn)便的,從而激發(fā)學(xué)生思維的靈活性.

    案例3 如圖6,已知AD⊥BC于點(diǎn)D,EF⊥BC于點(diǎn)F,∠1=∠2,試說(shuō)明AB∥DG.

    分析 該題目是一道簡(jiǎn)單的利用平行線的判定方法進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的試題,在學(xué)生求解過(guò)程中,大多數(shù)都能運(yùn)用較為簡(jiǎn)單的方法,但教師在講解過(guò)程中,引入了一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的方法,這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)不太接受. 運(yùn)用逆向推理的思維方式,從目標(biāo)出發(fā)能自然而然地想到三種方法,在推理過(guò)程中也能讓學(xué)生明顯感受到不同解題方法的差異.

    同時(shí),學(xué)生在解題過(guò)程中,通過(guò)逆向推理能夠形成詳細(xì)的思維路徑,學(xué)生根據(jù)構(gòu)建的逆向推理思維過(guò)程,從思維導(dǎo)圖底部開始書寫證明過(guò)程,能夠清楚展示證明過(guò)程,使解題步驟條理清晰、具有邏輯性.

    通過(guò)對(duì)逆向思維導(dǎo)圖的反向書寫,可以使解答思路清晰、書寫步驟規(guī)范. 在此展示案例3的方法二(通過(guò)證明內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩直線平行的結(jié)論)的證明過(guò)程. 具體如下:

    因?yàn)锳D⊥BC,EF⊥BC,

    所以AD∥EF(同一平面內(nèi),垂直于同一直線的兩直線平行),

    所以∠1=∠BAD(兩直線平行,同位角相等).

    又因?yàn)椤?=∠2(已知),

    所以∠BAD=∠2(等量代換),

    所以AB∥DG(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).

    結(jié)語(yǔ)

    數(shù)學(xué)教育主要是教給學(xué)生數(shù)學(xué)思維,教師在講授幾何題目引入逆向推理的思維方式時(shí)要堅(jiān)持以學(xué)生為本,更多地關(guān)心學(xué)生的思維過(guò)程[8],主要以引導(dǎo)式的教學(xué)模式啟發(fā)學(xué)生自行挖掘條件、轉(zhuǎn)移已知內(nèi)容,切忌直接告訴學(xué)生下一步要找什么條件、應(yīng)該怎么做. 當(dāng)學(xué)生能熟練感知逆向推理的思維方式并嘗試獨(dú)立自主克服難題后,學(xué)生就能獨(dú)立自主地快速、規(guī)范、高效解題.

    參考文獻(xiàn):

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