性質(zhì)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)

李玲　李紅梅

[摘? 要] 數(shù)學(xué)性質(zhì)的教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體，本質(zhì)屬性的抽取，數(shù)學(xué)性質(zhì)的抽象概括、數(shù)學(xué)表達(dá)、數(shù)學(xué)應(yīng)用等環(huán)節(jié)都是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的良好契機(jī). 在數(shù)學(xué)性質(zhì)的課堂教學(xué)中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的策略有：利用直觀想象，將抽象過程可視化;歸納整理知識，將抽象結(jié)果結(jié)構(gòu)化;多維變式例題，將抽象結(jié)果理解深化.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)抽象;直觀想象;變式;數(shù)學(xué)性質(zhì)

問題提出

目前，數(shù)學(xué)教育仍存在短板，一定程度上導(dǎo)致教育發(fā)展不均衡，從而無法切實(shí)將“立德樹人”這一根本任務(wù)落到實(shí)處，為解決這一現(xiàn)狀，引入數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促使課堂教學(xué)從應(yīng)試教育向素質(zhì)教育過渡，打破僵硬、陳舊的教學(xué)[1]. 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是基本素養(yǎng)，也是核心素養(yǎng)，抽象作為基本思想，貫穿于數(shù)學(xué)概念和法則的教學(xué)[2]，而性質(zhì)教學(xué)是數(shù)學(xué)抽象內(nèi)容的一部分. 在義務(wù)教育階段，教授者應(yīng)指導(dǎo)學(xué)習(xí)者在性質(zhì)教學(xué)中學(xué)會抽象，能夠拓展數(shù)學(xué)抽象思維，為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成做鋪墊. 本文依據(jù)圖像探究，在性質(zhì)形成過程中對相關(guān)數(shù)學(xué)對象進(jìn)行抽象，進(jìn)一步提出對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)建議.

性質(zhì)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)性質(zhì)的學(xué)習(xí)屬于抽象性學(xué)習(xí)，學(xué)生對于這一塊的學(xué)習(xí)往往理解含糊，沒有敏捷的思維能力進(jìn)行分析，無法進(jìn)一步探究復(fù)雜多變的問題. 初中階段，由于學(xué)生還未形成正確的抽象意識，缺乏數(shù)學(xué)抽象思維，從而無法從基本圖像中抽象性質(zhì)屬性.

1. 知識結(jié)構(gòu)分析

“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”是人教版初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書九年級下冊第二十六章第一節(jié)“反比例函數(shù)”的內(nèi)容. 以該節(jié)課本主體內(nèi)容為例，通過性質(zhì)構(gòu)建過程的逐次遞進(jìn)，探析在教學(xué)中怎么培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)在反比例函數(shù)之前，學(xué)生接續(xù)已學(xué)知識，向前邁向新的一步，“接納”新函數(shù)，聯(lián)系一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)方法，通過類比慢慢轉(zhuǎn)接到對反比例函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，認(rèn)真體會新函數(shù)的內(nèi)涵，充分感受由“靜”到“動”的過程[3];再者，函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，包含了數(shù)形結(jié)合思想、建模思想，具有實(shí)踐性、探索性，為后續(xù)內(nèi)容聯(lián)系、應(yīng)用打下基礎(chǔ).

2. 性質(zhì)構(gòu)建過程

數(shù)學(xué)性質(zhì)形成過程中，學(xué)生應(yīng)在教師的引導(dǎo)下不斷分析問題，逐級抽象數(shù)學(xué)性質(zhì)，揭開數(shù)學(xué)知識的神秘面紗. 正比例函數(shù)是學(xué)生剛開始接觸的函數(shù)，也是突破函數(shù)性質(zhì)的第一關(guān)卡，為后續(xù)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)提供了有效的學(xué)習(xí)途徑. 正比例函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)大致通過這樣的性質(zhì)構(gòu)建過程：實(shí)際問題引入具體函數(shù)解析式→利用“描點(diǎn)”的方法作出圖像→觀察圖像并抽取函數(shù)本質(zhì)特征→采用文字語言歸納和總結(jié)性質(zhì)→講解例題促進(jìn)學(xué)生理解性質(zhì)[4]. 學(xué)生又先后學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)，具有一定的知識儲備，一是知道如何由數(shù)想形，以解析式為基礎(chǔ)，觀察、探析所畫函數(shù)圖像;二是探究函數(shù)性質(zhì)時，需要數(shù)形結(jié)合[5]，進(jìn)而抽象表達(dá)出性質(zhì);三是通過觀察不同函數(shù)的圖像，知道不同函數(shù)所生成圖像的特點(diǎn).

學(xué)習(xí)反比例函數(shù)性質(zhì)，學(xué)生可根據(jù)先前所獲經(jīng)驗(yàn)，在其性質(zhì)形成過程中對相關(guān)數(shù)學(xué)對象進(jìn)行抽象，以利于性質(zhì)的獲得. 在此以正比例函數(shù)性質(zhì)構(gòu)建過程為基礎(chǔ)，提出反比例函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)建過程：

以下將聯(lián)系反比例函數(shù)性質(zhì)構(gòu)建過程，分析教材內(nèi)容，基于教材展示數(shù)學(xué)探究活動，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的抽象過程[6].

（1）直觀感知，抽取本質(zhì)特征

例題1 畫出反比例函數(shù)y=與y=的圖像[7].

問題1：用什么方法能畫出上述函數(shù)的圖像？

對于課本中的例題2，先讓學(xué)生回顧正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，有利于學(xué)生進(jìn)行類比遷移. 根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，他們已知能由描點(diǎn)法進(jìn)行刻畫，也已知前幾類函數(shù)圖像的特征. 畫出反比例函數(shù)圖像后，學(xué)生可進(jìn)一步觀察、分析圖像特點(diǎn)，以達(dá)到利用圖像的可視化進(jìn)行外部刺激的效果，順利完成“辨別圖像刺激”;學(xué)生通過觀察兩個具體圖像，感知函數(shù)的性質(zhì)，確定圖像形狀與所分布象限，同時發(fā)現(xiàn)函數(shù)值y仍隨著自變量x的變化而變化，這是學(xué)生能從正比例函數(shù)圖像和二次函數(shù)圖像中遷移過來的特征，即滿足“分化函數(shù)圖像屬性”這一步.

（2）抽象概括，獲得數(shù)學(xué)性質(zhì)

問題2：觀察上述圖像，回答：

①每個函數(shù)的圖像所在象限？

②在每一個象限內(nèi)，y如何由x的變化而變化？根據(jù)解析式，你能說明理由嗎？

③對于反比例函數(shù)y=（k>0），考慮①和②，得出的結(jié)論是一樣的嗎？[7]

第一，類化與抽象. ①和②的設(shè)置，可以完成數(shù)學(xué)抽象過程中的“類化”與“抽象”. 觀察兩個函數(shù)圖像，函數(shù)y=與y=的圖像均分布于兩個象限，即第一象限和第三象限，分別分析兩個象限內(nèi)的函數(shù)值變化，圖像從左至右看，函數(shù)值從上到下逐漸減小. 此時利用圖形直觀的方式表現(xiàn)了k>0時反比例函數(shù)圖像的特點(diǎn)，得到他們的共同屬性：處于第一象限、第三象限與“減小”. 在類化函數(shù)圖像共同屬性的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步采取特殊到一般的方法，引導(dǎo)學(xué)生從具體例子中抽象出反比例函數(shù)y=（k>0）的基本性質(zhì).

第二，概括與表達(dá). 對于③，是為完成數(shù)學(xué)抽象過程中的“概括”與“符號表達(dá)”，通過比較、歸納具體實(shí)例，用文字語言將關(guān)鍵詞進(jìn)行串聯(lián)，概括表述性質(zhì)：引導(dǎo)學(xué)生將圖形語言轉(zhuǎn)換為自然語言，討論自變量x與其函數(shù)值y之間的關(guān)系. 對于例題2中反比例函數(shù)y=，學(xué)生學(xué)會用自然語言描述圖像，即“函數(shù)y=的圖像在這兩個象限內(nèi)，隨著x的增大，y減小”. 全體學(xué)生獲得了用文字語言描述數(shù)學(xué)性質(zhì)的能力，以此為基礎(chǔ)，教師需要教會部分學(xué)優(yōu)生用符號語言進(jìn)行表述. 利用數(shù)學(xué)符號，學(xué)優(yōu)生能夠描述反比例函數(shù)y=（k>0）性質(zhì)中“減小”這一特點(diǎn). 對于特殊函數(shù)y=，用符號語言表述“在每一個象限內(nèi)，任取兩數(shù)x，x，令x0時，反比例函數(shù)y=的圖像位于第一象限和第三象限，每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小”，對于全體初三學(xué)生而言，僅需掌握這一描述;而對于學(xué)優(yōu)生，教師還可以進(jìn)一步教會他們用符號語言表述這一定義“當(dāng)k>0時，反比例函數(shù)y=的圖像位于第一象限和第三象限，那么在每一個象限內(nèi)任取x，x，得y=，y=，當(dāng)xy”.

第三，類比與定義. 類比正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=（k>0）的性質(zhì)探究，采用同樣的方法，對于k<0的情況，教師可以同學(xué)生一起定義其性質(zhì)：“當(dāng)k<0時，反比例函數(shù)y=的圖像位于第二象限和第四象限，每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大”. 轉(zhuǎn)換為符號語言“當(dāng)k<0時，反比例函數(shù)y=的圖像分別位于第二象限和第四象限，那么在每一個象限內(nèi)任取x，x，得y=，y=，當(dāng)x0時的構(gòu)建過程去探究，也體會了類比方法的簡便性.

（3）歸納整理，表達(dá)數(shù)學(xué)性質(zhì)

一般地，反比例函數(shù)y=的圖像是雙曲線，它具有以下性質(zhì)：

①k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一象限與第三象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;

②k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二象限與第四象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大. [7]

教材歸納，是為達(dá)到數(shù)學(xué)抽象階段的“理論形成”，首先，將反比例函數(shù)圖像與雙曲線相結(jié)合，有益學(xué)習(xí)者聯(lián)系新知與舊知，并促進(jìn)其對知識的再認(rèn)知. 再者，通過上述階段的逐級抽象，最后得到一般性結(jié)論，闡述了反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及如何表達(dá)數(shù)學(xué)性質(zhì)，形成了完整的理論.

（4）例題變式，理解抽象結(jié)果

例題2 已知反比例函數(shù)y=圖像的一支（如圖5）. 問：①圖像的另一支在哪個象限？常數(shù)m的取值范圍是什么？②在圖像的一支上隨意取點(diǎn)A（x，y）和點(diǎn)B（x，y），若x>x，那么y和y有怎樣的大小關(guān)系？[7]

這個題目是為了了解學(xué)生對數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解與運(yùn)用程度. 對于問題①，學(xué)生通過討論圖像分布象限，探究m的取值范圍，實(shí)質(zhì)是對反比例函數(shù)中k的討論;對于問題②，學(xué)生已知圖像的分布，可直接根據(jù)性質(zhì)定義判斷得到在每一個象限任取x，x，當(dāng)x>x，都有y

變式1：已知反比例函數(shù)y=過點(diǎn)A（-2，-1），m的值是多少？圖像位于哪些象限？

變式2：點(diǎn)A（2，y），（5，y）在反比例函數(shù)y=上，比較y和y的大小.

變式3：已知反比例函數(shù)y=，問：①探究常數(shù)m的取值范圍，觀察此時函數(shù)圖像的分布情況. ②在圖像某一支上任取兩點(diǎn)M（x，y），N（x，y），若x

變式1簡單改變函數(shù)解析式，將例題中給出圖像變化變?yōu)榻o出點(diǎn)坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生通過點(diǎn)的坐標(biāo)求解問題;變式2通過判斷m2+3的值與0的關(guān)系確定圖像所在象限，再根據(jù)給出的不同x值對相應(yīng)y值進(jìn)行比較，需要注意此題無關(guān)具體關(guān)系式的求解;變式3需要學(xué)生綜合考慮，分類討論m-5的符號，進(jìn)而解答疑問.

例題及變式的設(shè)置，是為了“理解”與“應(yīng)用”. 學(xué)生學(xué)習(xí)新知，教師需要綜合教材內(nèi)容與學(xué)生學(xué)情，通過逐次遞進(jìn)的變式，引導(dǎo)學(xué)生探究知識的“來龍去脈”[8]. 兩個例題的設(shè)置均以反比例函數(shù)圖像性質(zhì)為中心，突出其本質(zhì)，利用性質(zhì)定義解題，學(xué)生能對學(xué)習(xí)內(nèi)容有更清晰的理解，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo). 再者，上述變式通過例2進(jìn)行衍生，促使學(xué)生更好地理解本節(jié)知識，更好地掌握抽象結(jié)果. 通過變式，學(xué)生在反比例函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)構(gòu)建過程中，多角度思考問題，知道在問題解決過程中從圖像出發(fā)，但不局限于用圖像解決問題，從而理解從圖像中所抽象出來的性質(zhì)，學(xué)會運(yùn)用性質(zhì)定義，同時，掌握相關(guān)數(shù)學(xué)方法，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).

教學(xué)建議

基于對性質(zhì)教學(xué)中具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的探析，筆者給出三個教學(xué)建議.

1. 利用直觀想象，將數(shù)學(xué)抽象過程可視化

直觀想象是數(shù)學(xué)抽象的基礎(chǔ)，采用直觀手段，學(xué)生進(jìn)一步借助直觀進(jìn)行想象，有利于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識. 通過數(shù)學(xué)抽象的過程，學(xué)生直觀感知，察看、分解問題，領(lǐng)會所學(xué)知識，解決問題：首先，積極思考，主動參與學(xué)習(xí)探究，分析所提供的直觀材料，從圖像中抽取事物的本質(zhì)特征;其次，結(jié)合信息技術(shù)教學(xué)，學(xué)生體會圖形的動態(tài)變化過程，簡化題設(shè)中的問題;最后，從數(shù)學(xué)抽象中明白將實(shí)質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，形成正確認(rèn)識. 教師應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生的直觀認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生有意識地利用直觀想象探究知識的產(chǎn)生與發(fā)展，使學(xué)生有效掌握抽象事物的形成過程，逐漸形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2. 歸納整理知識，將數(shù)學(xué)抽象結(jié)果結(jié)構(gòu)化

知識結(jié)構(gòu)展示了相關(guān)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，給予學(xué)生清晰的知識線，歸納整理知識結(jié)構(gòu)，有利于知識系統(tǒng)化、知識整體化、知識簡易化. 數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)蘊(yùn)含在豐富的教學(xué)內(nèi)容中，這就要求教師在教學(xué)中幫助學(xué)生厘清知識間的脈絡(luò)，獲得抽象方法，利用圖示促使學(xué)生理解記憶. 新知的學(xué)習(xí)是在舊知的鋪墊下進(jìn)行的，學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)會“讀”材料，“析”材料，注意抽象知識之間的層次分節(jié)，同化或順應(yīng)知識，表達(dá)數(shù)學(xué)抽象結(jié)果，納入相關(guān)知識系統(tǒng)，將其結(jié)構(gòu)化，促進(jìn)自身的思維訓(xùn)練，這有利于知識之間的正遷移，對其他具體數(shù)學(xué)內(nèi)容也能進(jìn)行逐級抽象. 如本文對反比例函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，接續(xù)對變量、函數(shù)的初步了解，以及對其概念的掌握，更深層次地基于圖像抽象性質(zhì)，為之后學(xué)習(xí)各類函數(shù)提供了基礎(chǔ)方法，同時，廣泛應(yīng)用于函數(shù)、方程、不等式中.

3. 多維變式例題，將數(shù)學(xué)抽象結(jié)果理解深化

例題構(gòu)成了教學(xué)內(nèi)容，是不可或缺的一部分，是對某一知識具體運(yùn)用的體現(xiàn)，較為集中地體現(xiàn)了其特點(diǎn)、思想和要領(lǐng)等，淺顯易懂地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前. 學(xué)生通過解答例題，能夠熟悉概念定義、公式定理等，明晰相關(guān)符號語言的表示意義，形成正確的知識體系，突出數(shù)學(xué)對象的本質(zhì). 對例題的變式，能夠加強(qiáng)知識間的關(guān)聯(lián)性，串聯(lián)零散的知識點(diǎn)，讓學(xué)生感受知識生長過程的同時，可以多維度強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識，感知數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提高認(rèn)識力，促進(jìn)他們對數(shù)學(xué)抽象結(jié)果的深化理解. 此外，進(jìn)行知識教學(xué)，應(yīng)避免“解題教學(xué)”，變式以例題為基準(zhǔn)，設(shè)計(jì)以本堂課中心內(nèi)容為主線、以學(xué)生理解抽象結(jié)果為目標(biāo)的問題，并非強(qiáng)調(diào)解題技巧、解題速度.

結(jié)束語

本文以反比例函數(shù)為例，利用直觀想象、歸納整理和例題變式等活動開展教學(xué)，將抽象過程可視化，抽象結(jié)果結(jié)構(gòu)化，使學(xué)生的數(shù)學(xué)理解深刻化，從而展現(xiàn)性質(zhì)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)過程. 這一知識構(gòu)建過程適用于數(shù)學(xué)性質(zhì)教學(xué)，如一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等. 當(dāng)然，根據(jù)實(shí)際教學(xué)情境的不同，具體教學(xué)設(shè)計(jì)也應(yīng)有所變化，例如在直觀想象的過程中，僅從圖像角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)有其局限性，抽象過程可視化的方法還有很多，還有待進(jìn)一步研究.

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