直觀想象妙解題 數(shù)學(xué)運算見真功

【摘 要】 探究二次函數(shù)動態(tài)問題時，重點研究變中不變的量，抓住問題本質(zhì)，嘗試畫示意圖進(jìn)行直觀想象，整體感知圖形變化的趨勢，會從“數(shù)”“形”兩個角度對函數(shù)進(jìn)行探究，突出數(shù)形結(jié)合思想，形成符合學(xué)生認(rèn)知的自然解法，通過理性思維減少運算量.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合;分離變量;整體感知1 試題呈現(xiàn)

（2021年南京中考）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（-2，1），（2，-3）兩點.

（1）求b的值;

（2）當(dāng)c>-1時，該函數(shù)的圖象的頂點的縱坐標(biāo)的最小值是________;

（3）設(shè)（m，0）是該函數(shù)的圖象與x軸的一個公共點.當(dāng)-1

2 試題解讀

2.1 立足教材，基于標(biāo)準(zhǔn)

試題以蘇科版九年級下“5.3用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式”為命題導(dǎo)向，基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》的“通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)”能力目標(biāo)要求，將圖形的運動與二次函數(shù)進(jìn)行深度融合，從而實現(xiàn)以形助數(shù)，以數(shù)解形.從三點確定拋物線的視角出發(fā)，試題中的拋物線經(jīng)過兩個定點，因此拋物線隨著第三個點的變化而變化，拋物線的圖象隨著第三個點的確定而確定.本題以遞進(jìn)的形式對動態(tài)問題進(jìn)行考查，三個小問關(guān)注了二次函數(shù)表達(dá)式的系數(shù)a，b，c對拋物線圖象特征的影響，以“數(shù)和形”的互相轉(zhuǎn)化加深對函數(shù)的研究，體現(xiàn)了試題對學(xué)生幾何直觀、運算能力和推理能力的培養(yǎng).

2.2 關(guān)注過程，積累經(jīng)驗

知識的主要載體是課本，智慧則形成于獲得經(jīng)驗的過程中，形成于經(jīng)歷的活動中[1].課堂教學(xué)要關(guān)注學(xué)生的體驗和操作，關(guān)注學(xué)生對于試題的探索過程和解題經(jīng)驗的積累.試題中的二次函數(shù)經(jīng)過（-2，1），（2，-3）兩個定點，條件c=-1和m=-1是等價的，這個位置是三點共線的狀態(tài)，經(jīng)過這個位置之后拋物線的形狀有什么變化？平時研究a的正負(fù)和大小對拋物線的形狀和大小的經(jīng)驗在本題中可以遷移，函數(shù)性質(zhì)的探究可以借助于圖象的直觀.在解決的過程中，關(guān)注學(xué)生對于問題的表征并深入思考，重點關(guān)注形的變化，輔以得到數(shù)的變化，突出數(shù)形結(jié)合的思想，發(fā)展幾何直觀和歸納抽象的能力.同時，從特殊到一般，再到特殊的數(shù)學(xué)研究方法體現(xiàn)在解決問題的過程中，探究問題也遵循這個套路.

2.3 以小見大，凸顯素養(yǎng)

試題的小體現(xiàn)以下三個方面：首先題干簡潔短小，通俗易懂;其次解答過程簡短，要求明晰，不需要書寫繁雜的過程，也是學(xué)生和教師最愛的試題類型之一;最后就是思考過程的精煉，只要想明白圖象的運動過程，輔以簡單運算，答案輕松獲得.小的背后也蘊含了大，首先題干對于a，b，c的多角度探究，考查全面，區(qū)分度高;其次直接寫答案呈現(xiàn)的方式對思維要求較高，不足之處是得分率會有所下降;最后，數(shù)形結(jié)合百般好，對學(xué)生理解問題提出較高要求，幾何直觀能力凸顯.如果形的直觀弱一些，可以用數(shù)的精準(zhǔn)來替代，不過對方法的選擇、運算能力都是一次大的挑戰(zhàn).

一道好的試題應(yīng)該秉持以小見大的精神，做一題，會一類，通一片是我們的追求，正如章建躍博士所言：教好的數(shù)學(xué)就是落實核心素養(yǎng).對于筆者而言，選擇一道試題、激發(fā)一點靈感、講好所有困惑，這就是在落實素養(yǎng).試題從數(shù)到形經(jīng)歷了數(shù)學(xué)抽象、直觀想象，再從形到數(shù)發(fā)展了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力，最終形成學(xué)生的核心素養(yǎng).

3 試題解析

3.1 頂點最值.

下面對第（2）問進(jìn)行研究.

解法1 以形助數(shù).

由于三點確定拋物線，已知函數(shù)的圖象經(jīng)過兩個定點，此時拋物線不能確定，當(dāng)限定c的范圍時，可以對拋物線進(jìn)行定性和定量研究.利用圖象對拋物線進(jìn)行探究，“形”會使得“數(shù)”更加直觀，我們不妨從圖形運動的角度來探究.

當(dāng)c=-1時，此時（-2，1），（0，-1），（2，-3）三點共線，無法構(gòu)成拋物線.

當(dāng)c>-1時，圖象經(jīng)過（-2，1），（2，-3）兩點，嘗試畫草圖，如圖1、圖2，圖象開口方向必向下，并且頂點的縱坐標(biāo)隨著c的變化而變化，由于圖象過（-2，1），所以頂點的縱坐標(biāo)≥1.

如果頂點的縱坐標(biāo)等于1，此時頂點為（-2，1），故設(shè)二次函數(shù)y=a（x+2）2+1.將（2，-3）代入，可得16a+1=-3，所以a=-14，因此二次函數(shù)表達(dá)式為：y=-14（x+2）2+1.此時c=0符合題意，故該函數(shù)的圖象的頂點的縱坐標(biāo)的最小值是1.

5.3 解法要利于素養(yǎng)發(fā)展

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的靈魂，它是從具體數(shù)學(xué)知識中提煉和概括起來的，在解題時應(yīng)盡力去挖掘和提煉題目中所蘊含的的思想方法，數(shù)學(xué)思想能把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗.通過這樣的體驗，讓學(xué)生去感悟、體驗其中的數(shù)學(xué)味道，從而加強學(xué)生理解數(shù)學(xué)的能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)，促進(jìn)思想的內(nèi)化，從而落實素養(yǎng)，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識通往數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的橋梁.試題的解法從整體視角認(rèn)識函數(shù)零點，思路清晰，過程簡潔，但背后是對圖形運動過程的深刻認(rèn)識和歸納，使得數(shù)形結(jié)合、一般與特殊的轉(zhuǎn)化思想得以滲透.拓展研究體現(xiàn)了對于問題本質(zhì)深層次的認(rèn)識，使得直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等素養(yǎng)得到不斷深化和提升.

參考文獻(xiàn)

[1]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]劉生根.建構(gòu)適切情境，彰顯知識自然生長——以“探索確定位置的方法”教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2020（06）：21-24.

作者簡介 王強（1987—），男，江蘇南京人，中學(xué)高級教師;榮獲伊犁州優(yōu)秀援疆教師，伊寧市優(yōu)秀教師，南京市優(yōu)秀青年教師，南京市秦淮區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人;獲江蘇省初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎.

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