立足數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 分析中考壓軸題

【摘 要】 本文用核心素養(yǎng)的三個(gè)水平分析壓軸題，建議數(shù)學(xué)試題命制中可融入核心素養(yǎng)制作多維細(xì)目表，用核心素養(yǎng)三個(gè)水平來調(diào)控試題的難度，也可評定結(jié)構(gòu)不良試題的得分.啟發(fā)教師在教學(xué)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)正遷移能力，精準(zhǔn)把握學(xué)情，來逐層落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 核心素養(yǎng);三個(gè)水平;正遷移;逐層

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出發(fā)展學(xué)生的六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，切實(shí)提升思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力.中考數(shù)學(xué)最后一題，又稱為壓軸題，有區(qū)分選拔功能.筆者立足這六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)來分析2018—2020這三年的陜西省數(shù)學(xué)中考最后一題（第25題），揭示命題特點(diǎn)，給出命題建議和教學(xué)建議.

1 相關(guān)概念知識(shí)

喻平教授[1]分析了布魯姆評價(jià)模型、PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價(jià)框架、SOLO分類評價(jià)理論，提出將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分為三個(gè)水平，從低到高依次是知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新.同時(shí)，參考李先東老師和吳增生老師[2]對初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三個(gè)水平的劃分標(biāo)準(zhǔn)，對各試題進(jìn)行素養(yǎng)觀察.數(shù)學(xué)抽象A、邏輯推理R、數(shù)學(xué)建模M、數(shù)學(xué)運(yùn)算C、直觀想象I、數(shù)據(jù)分析D，A1，A2，A3分別對應(yīng)數(shù)學(xué)抽象的三個(gè)水平，其他素養(yǎng)類似.

2 對近三年陜西省數(shù)學(xué)中考第25題評析

2.1 2018年第25題試題呈現(xiàn)及分析

問題提出

（1）如圖1，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，則△ABC的外接圓半徑R的值為;（2分）

問題探究

（2）如圖2，⊙O的半徑為13，弦AB=24，M是AB的中點(diǎn)，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求PM的最大值;（3分）

問題解決

（3）如圖3，AB，AC，BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中，AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，BC所對的圓心角為60°.新區(qū)管委會(huì)想在BC路邊建物資總站點(diǎn)P，在AB，AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E，F(xiàn).也就是，分別在BC、線段AB和AC上選取點(diǎn)P，E，F(xiàn).由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點(diǎn)間按P→E→F→P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸，因此，要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE，EF和FP.為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段PE，EF，F(xiàn)P之和最短，試求PE+EF+FP的最小值.（各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì)）（7分）

核心素養(yǎng)水平分析：

（1）如圖4，能畫出外接圓，則達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平1的要求;三步演繹推理出結(jié)果，標(biāo)定為邏輯推理素養(yǎng)水平1.分值標(biāo)定為I1-1，R1-1.

（2）如圖5，能發(fā)現(xiàn)當(dāng)射線MO與⊙O相交時(shí)，PM最大，則達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平2的要求;能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣撟C為什么此時(shí)MN最大，則達(dá)到邏輯推理素養(yǎng)水平2的要求.分值標(biāo)定為I2-2，R2-1.

（3）如圖6，若能在陌生情境中跨學(xué)科聯(lián)想到物理中的“光行最短”原理，將邊AB和AC看作平面鏡，點(diǎn)光源P發(fā)出的光線經(jīng)過兩次反射回到點(diǎn)P，進(jìn)而在BC上找一點(diǎn)P，構(gòu)造將軍飲馬模型，且發(fā)現(xiàn)當(dāng)連接AO時(shí)AP最小，如圖7，此時(shí)線段MN最小，則達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平3和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平3的要求，其中也考查了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平3;能嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明為什么線段MN是PE+EF+PF的最小值，和證明為什么當(dāng)連接AO時(shí)AP最小，則達(dá)到邏輯推理素養(yǎng)水平3的要求;能在較復(fù)雜的情境中選擇合適的運(yùn)算方法，并體會(huì)代數(shù)推理，則達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平3的要求.分值標(biāo)定為I3-2，A3-1，R3-1，M3-1，C3-2.

2.2 2019年第25題試題呈現(xiàn)及分析

問題提出

（1）如圖8，已知△ABC，試確定一點(diǎn)D，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請畫出這個(gè)平行四邊形;（2分）

問題探究

（2）如圖9，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在該矩形中作出一個(gè)面積最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求滿足條件的點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離;（5分）

問題解決

（3）如圖10，有一座草根塔A，按規(guī)定，要以塔A為對稱中心，建一個(gè)面積盡可能大的形狀為平行四邊形的草根景區(qū)BCDE.根據(jù)實(shí)際情況，要求頂點(diǎn)B是定點(diǎn)，點(diǎn)B到塔A的距離為50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一個(gè)滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)BCDE？若可以，求出滿足要求的平行四邊形BCDE的最大面積;若不可以，請說明理由.（塔A的占地面積忽略不計(jì)）（5分）

核心素養(yǎng)水平分析：

（1）能在熟悉的情境中畫出平行四邊形，則達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平1的要求.分值標(biāo)定I1-2.

（2）如圖11，能構(gòu)造出以邊BC為直徑的圓，則達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平2的要求;如果能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言演繹推理出所有滿足條件的點(diǎn)P，且論證在OB>AB的條件下，⊙O一定與AD相交于點(diǎn)P，則達(dá)到邏輯推理素養(yǎng)水平2的要求.分值標(biāo)定為I2-3，R2-2.

（3）能由平行四邊形的性質(zhì)推理出∠BE′D=60°，且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣撟CEF≤E′A，標(biāo)定為邏輯推理素養(yǎng)水平2;構(gòu)造出⊙O，如圖12，發(fā)現(xiàn)當(dāng)E′為中點(diǎn)時(shí)，面積最大，標(biāo)定為直觀想象素養(yǎng)水平3;計(jì)算得到結(jié)果，則達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平2的要求.分值標(biāo)定為R2-1，C2-2，I3-2.

2.3 2020年第25題試題呈現(xiàn)及分析

問題提出

（1）如圖13，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC>BC，∠ACB的平分線交AB于點(diǎn)D.過點(diǎn)D分別作DE⊥AC，DF⊥BC.垂足分別為E，F(xiàn)，則圖1中與線段CE相等的線段是;（3分）

問題探究

（2）如圖14，AB是半圓O的直徑，AB=8.P是AB上一點(diǎn)，且PB=2PA，連接AP，BP.∠APB的平分線交AB于點(diǎn)C，過點(diǎn)C分別作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分別為E，F(xiàn)，求線段CF的長;（4分）

問題解決

（4）如圖15，是某公園內(nèi)“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)示意圖.已知⊙O的直徑AB=70m，點(diǎn)C在⊙O上，且CA=CB.P為AB上一點(diǎn)，連接CP并延長，交⊙O于點(diǎn)D.連接AD，BD.過點(diǎn)P分別作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分別為E，F(xiàn).按設(shè)計(jì)要求，四邊形PEDF內(nèi)部為室內(nèi)活動(dòng)區(qū)，陰影部分是戶外活動(dòng)區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū).設(shè)AP的長為x（m），陰影部分的面積為y（m2）.

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

②按照“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長度為30m時(shí)，整體布局比較合理.試求當(dāng)AP=30m時(shí).室內(nèi)活動(dòng)區(qū)（四邊形PEDF）的面積.（5分）

核心素養(yǎng)水平分析：

（1）能在熟悉的幾何情境中寫出證明過程，則達(dá)到邏輯推理素養(yǎng)水平1的要求.分值標(biāo)定R1-3.

（2）如圖16，能根據(jù)求解需要，由PB=2PA想到連接OP，則達(dá)到直觀想象素養(yǎng)水平2的要求;能將（1）結(jié)論遷移，推理出其他元素的關(guān)系，標(biāo)定為邏輯推理素養(yǎng)水平2;在較復(fù)雜的圖形中，能結(jié)合元素間關(guān)系和數(shù)據(jù)選擇合適的運(yùn)算方法，則達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平2的要求.分值標(biāo)定為I2-2，R2-1，C2-1.

（3）如圖17，能在復(fù)雜的情境中，用圖形旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化陰影面積，標(biāo)定為直觀想象素養(yǎng)水平3;能嚴(yán)謹(jǐn)論證陰影面積轉(zhuǎn)化前后不變，探索并用準(zhǔn)確的語言推理圖形間的數(shù)量關(guān)系，標(biāo)定為邏輯推理素養(yǎng)水平2;能在較復(fù)雜的幾何圖形中建立二次函數(shù)模型，標(biāo)定為數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平3;其中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)運(yùn)算，為水平2.分值標(biāo)定為I3-1，R2-1，M3-1，C2-2.

2.4 總體評析

（1）指向核心素養(yǎng)

由表1得：①這三年的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算三個(gè)素養(yǎng)的權(quán)重較大，原因是第25題主要是“圖形與幾何”內(nèi)容，在幾何直觀和空間想象的基礎(chǔ)上進(jìn)行有邏輯地思考，涉及部分代數(shù)推理，兼有數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2019年數(shù)學(xué)運(yùn)算權(quán)重增加，平衡代數(shù)和幾何的比例.

②數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模考查較少.僅2018年問題（3）從跨學(xué)科的視角考查了數(shù)學(xué)抽象.三個(gè)試題第（3）問雖都以現(xiàn)實(shí)問題為背景，但給出了對應(yīng)的幾何圖形，免去了從實(shí)際問題抽象出幾何圖形的過程，可能由于脫離幾何圖形來描述現(xiàn)實(shí)情境容易產(chǎn)生歧義.2020年問題（3），若題目中不給定變量x和y，直接讓求陰影面積的最大值，則要求考生在體會(huì)圖形的形成過程中，來找到?jīng)Q定陰影面積的關(guān)鍵量是線段AP的長度，自己引入變量來列關(guān)系式，這樣會(huì)考查到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（2）關(guān)注內(nèi)在遷移

這三道壓軸題的五個(gè)核心素養(yǎng)水平2的總權(quán)重為50%，考查知識(shí)遷移最多.2018年問題（1）中頂角為120°的等腰三角形的線段和角之間的數(shù)量關(guān)系是解決（3）要用到的.問題（2）中圓內(nèi)部一點(diǎn)到圓上的距離，什么時(shí)候最短或最長：該點(diǎn)和圓心的連線與圓的交點(diǎn)就是最短位置或最長位置，點(diǎn)在圓外也是一樣的，這樣（2）的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可以來解決（3）.2019年問題（1）中根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)畫圖，（2）中尋找并求出△BCP面積最大值的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可以遷移解決（3）.2020年問題（2）、（3）均用到了（1）的圖形和結(jié)論，（2）中圓周角定理的推論也是求解（3）要用到的.每個(gè)試題的三問之間考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)遷移能力.試題的三問從易到難，層層遞進(jìn)，是一個(gè)有機(jī)的整體.考查考生是否能識(shí)別三問之間的共同要素逐步求解問題（3）.

在設(shè)計(jì)各小問時(shí)，如果后一問用到前一問的結(jié)論，考查較簡單;若后一問用到前一問的解題思路和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，相對提升了難度，整個(gè)圖形的元素關(guān)系發(fā)生較大改變，相應(yīng)的核心素養(yǎng)水平要求更高.

3 命題建議

3.1 融入核心素養(yǎng)制作多維細(xì)目表

這三個(gè)試題主要載體是特殊四邊形和三角形內(nèi)容，蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想，指向直觀想象和邏輯推理;2020年增加了函數(shù)，指向數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算.可見，“四基”影響著核心素養(yǎng)的內(nèi)容（即考查哪個(gè)核心素養(yǎng)）.由于核心素養(yǎng)的三個(gè)水平分別對應(yīng)知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新三種不同的能力，可以用三個(gè)水平來調(diào)控試題的難度和區(qū)分度.一般地，同一個(gè)知識(shí)內(nèi)容，核心素養(yǎng)水平級越高，考查的素養(yǎng)類別越多，試題難度就越大.如2018年的第25題第（3）問是這三個(gè)試題中難度最大的，考查了五個(gè)素養(yǎng)，且均為水平3.基于以上分析，可以制定表2，保證壓軸題的綜合性和區(qū)分度.

3.2 用“三個(gè)水平”評價(jià)結(jié)構(gòu)不良試題

可命制結(jié)構(gòu)不良試題[3]，如當(dāng)試題的問題部分的內(nèi)容缺失或冗余時(shí)，讓考生通過補(bǔ)充問題或刪減多余的問題內(nèi)容，來提出新問題并解答;或讓考生改變題目條件，寫出能產(chǎn)生的新結(jié)論.對于結(jié)構(gòu)不良試題的評分，可分析所提出的新問題或新結(jié)論是對應(yīng)核心素養(yǎng)的哪個(gè)水平，水平越高賦分越高.

4 教學(xué)啟示

4.1 “逐層”落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

初中數(shù)學(xué)分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計(jì)”和“綜合與實(shí)踐”四個(gè)領(lǐng)域，具體地，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域主要指向數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、代數(shù)推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算;“圖形與幾何”內(nèi)容主要指向直觀想象和邏輯推理;“概率與統(tǒng)計(jì)”主要指向數(shù)據(jù)分析.而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)被劃分為知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新三個(gè)水平層次，教師應(yīng)針對每個(gè)領(lǐng)域知識(shí)，系統(tǒng)地分析教材內(nèi)容，依托數(shù)學(xué)內(nèi)容環(huán)環(huán)相扣的特點(diǎn)來循序漸進(jìn)地逐層發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教師在備課中應(yīng)分析學(xué)生已有的與該章節(jié)內(nèi)容有關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平級情況，再結(jié)合每節(jié)教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)一步思考應(yīng)設(shè)置怎樣的學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)任務(wù)，讓學(xué)生達(dá)到相應(yīng)的核心素養(yǎng)的哪個(gè)層級，最終提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平.4.2 培養(yǎng)數(shù)學(xué)正遷移能力[4]

一方面，當(dāng)學(xué)習(xí)A和學(xué)習(xí)B有共同要素時(shí)，遷移就能發(fā)生.學(xué)習(xí)者能否識(shí)別概括出共同要素很關(guān)鍵，故可通過提高學(xué)習(xí)者的概括能力來培養(yǎng)數(shù)學(xué)正遷移能力.另一方面，當(dāng)學(xué)習(xí)者大腦中有一個(gè)穩(wěn)定清晰的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)時(shí)，面對新任務(wù)，就能喚醒已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來解決問題.如2018年第25題，對于最短路徑，初中階段數(shù)學(xué)相關(guān)依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”，物理中有“光行最短”原理，在“將軍飲馬”模型的構(gòu)造中關(guān)聯(lián)著等腰三角形的性質(zhì).考生若能將以上知識(shí)及其關(guān)系清晰地有邏輯性地存儲(chǔ)在大腦中，形成自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，題目便能求解.教師應(yīng)挖掘知識(shí)間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，把知識(shí)點(diǎn)放在知識(shí)結(jié)構(gòu)中去認(rèn)識(shí)，基于單元整體乃至整個(gè)初中學(xué)段的課程的角度設(shè)計(jì)教學(xué)案例，來完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

參考文獻(xiàn)

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[2]李先東，吳增生.核心素養(yǎng)視角下對數(shù)學(xué)測評的研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（5）：36-43.

[3]任子朝，趙軒.數(shù)學(xué)考試中的結(jié)構(gòu)不良問題研究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（2）：1-3.

[4]喻平.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2018：108-111.

作者簡介 成鳴娟（1988—），女，陜西渭南人，中教一級，碩士;參與完成兩項(xiàng)西安市教育規(guī)劃課題，主持完成一項(xiàng)陜西省教育規(guī)劃課題“初中生數(shù)學(xué)遷移能力的培養(yǎng)研究”，多次被評為“希望杯”全國數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀輔導(dǎo)員;發(fā)表多篇論文.

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