淺談數(shù)學(xué)中的變與不變

劉海燕

摘要：本文簡要闡述柯西不等式，并借助其四種形式來闡述數(shù)學(xué)中變與不變，再以規(guī)范正交基為例，解析數(shù)學(xué)的教學(xué)，最后提出關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)三點(diǎn)建議。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué);柯西不等式;變與不變

萬物皆變，不變之中蘊(yùn)含著變，變化之中又包含著不變，這是哲學(xué)的基本理念。在自然界中，等量關(guān)系和不等量關(guān)系普遍存在。描述等量關(guān)系用等式，描述不等量關(guān)系用不等式。不等式在各個學(xué)科中均應(yīng)用廣泛，在數(shù)學(xué)各個分支中更是應(yīng)用之廣?？挛鞑坏仁皆跀?shù)學(xué)的各個分支里有著極其廣泛的應(yīng)用，它在不同的領(lǐng)域里有著不同的表現(xiàn)形式：

柯西不等式表現(xiàn)形式多樣，但又極其相似，命題的左右兩邊結(jié)構(gòu)以及各變量之間涉及到的運(yùn)算均非常的對偶，最終在向量空間中得到統(tǒng)一。

數(shù)學(xué)是一個有機(jī)整體，它的生命力依賴于各部分的聯(lián)系.數(shù)學(xué)關(guān)注一件事物的本質(zhì)、多種事物的共性、一系列事物的規(guī)律、不同事物的聯(lián)系，作為數(shù)學(xué)教員，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，需要關(guān)注知識間的聯(lián)系，即數(shù)學(xué)的變與不變。

以規(guī)范正交基概念講解為例，談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)中，如何把握數(shù)學(xué)的變與不變。線性代數(shù)是一門抽象的課程，而給學(xué)員講明白為什么，是什么，怎么做非常重要。對于3維向量空間，幾何與代數(shù)的聯(lián)系是空間直接坐標(biāo)系，其中任意向量的坐標(biāo)分解式用到三個單位向量，此三個向量滿足兩兩垂直，每個向量是單位向量，且任意3維向量能夠由這三個向量唯一線性表示。這三個向量相當(dāng)于一個空間直角坐標(biāo)系，即是說要建立空間直角坐標(biāo)系，只需找到滿足這些條件的3個向量。數(shù)學(xué)研究數(shù)與形，從具體到抽象，到算律。數(shù)學(xué)是一步一步逐級抽象的過程，抽象程度越高，涵蓋內(nèi)容越多。我們可以研究2維、3維向量，自然可以研究n維向量，規(guī)范正交基應(yīng)運(yùn)而生。于是要講清楚規(guī)范正交基，只需要講清楚3維空間中的三個單位向量，講清本質(zhì)，由兩兩垂直、每個向量單位且任意向量能夠由這個向量組唯一線性表示這一不變的共性，引導(dǎo)講解n維與3維的不同，在已有知識架構(gòu)上增添新知，即是鞏固又是拔高。

數(shù)學(xué)關(guān)注本質(zhì)、共性、規(guī)律、聯(lián)系?？蓺w結(jié)為不變性。不變性從數(shù)的觀點(diǎn)去看，就是不變量。公式、定理、法則等數(shù)學(xué)結(jié)論，是不變性。世界一直在變，但最本質(zhì)的部分是不變的。正所謂動中有靜、變中有恒、亂中有序、異中有同、萬變不離其宗。數(shù)學(xué)教學(xué)必須抓住變與不變，構(gòu)建知識框架，引導(dǎo)學(xué)員主動發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)，融會貫通，以不變應(yīng)萬變。

基于上述論述，此處給出數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)淺薄建議：一、概念闡述時(shí)，明確因果。二、新知講解須建立在已有知識的架構(gòu)上。三、教員注重引導(dǎo)學(xué)員主動發(fā)現(xiàn)變與不變，自主總結(jié)共性進(jìn)而拓展。如線性代數(shù)中，線性方程組的解與向量組的線性表示及相關(guān)性間的變與不變;最大無關(guān)組、基礎(chǔ)解系、向量空間的基間的變與不變;矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)間的變與不變;實(shí)數(shù)運(yùn)算與矩陣運(yùn)算間的變與不變。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱超武，淺談柯西不等式的價(jià)值，青海師專學(xué)報(bào)，2005年第4期

[2]郭曉菲，不等式在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用及探究（上），科技信息，2011年13期;

（武警警官學(xué)院 四川成都 610000）