中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的策略

范連眾

摘要：直觀想象是發(fā)現(xiàn)、提出、解決問題的重要方法，是進行數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的思維基礎(chǔ)，是中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的靈魂。中考復(fù)習(xí)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要利用教科書中的典型題，豐富直觀想象的“數(shù)學(xué)表象”;合理設(shè)計問題變式，錘煉直觀想象的基本路徑;抓住學(xué)生思維的閃光點，善用一題多解，激發(fā)學(xué)生直觀想象的興趣。

關(guān)鍵詞：直觀想象;中考;數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中關(guān)于“直觀想象”有這樣的描述與要求：“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中，“直觀想象”是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的的六個維度之一。

“直觀想象”是數(shù)學(xué)思維的基本形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的形象化特征，它不僅存在于幾何學(xué)習(xí)之中，而是存在于普遍性的數(shù)學(xué)思維中?！爸庇^想象”是學(xué)生進行數(shù)學(xué)推理和建構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)，有利于學(xué)生形成數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析與邏輯推理的思路;是抽象數(shù)學(xué)結(jié)論和進行邏輯推理的思維加工機制，對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成都有影響。從當(dāng)前對核心素養(yǎng)的研究現(xiàn)狀看，仍存在著理論分析研究多，典型案例分析和課堂行動研究少;共性研究多，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的“個性研究”少;針對小學(xué)研究多，面向中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究少的問題。從另一方面看，直觀想象與邏輯推理存在比較高的相關(guān)性，顯著影響學(xué)生的數(shù)學(xué)成績。下面就結(jié)合中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段的教學(xué)，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)初中學(xué)生的直觀想象能力。

一、厘清課程標(biāo)準(zhǔn)表述的變化，明確直觀想象的由來

依據(jù)古德萊德對課程的分類，課程可以分為理想的課程、文件（正式）的課程、理解的課程、實施的課程和經(jīng)驗的課程五個層次。正確理解直觀想象在國家文件課程中的內(nèi)涵，是做好課程實施的前提。新中國成立七十年以來，共進行過八次課程改革，頒布實施了十幾個中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱），這里選取了十次比較典型的課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱），對直觀想象的提出過程進行厘清。（如表1，表2）

通過比較可以發(fā)現(xiàn)，隨著國家對教育目標(biāo)定位的變化，幾何教育的主要目標(biāo)之一從培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，變化到培養(yǎng)學(xué)生空間觀念和幾何直觀，最后變化到培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)教育目標(biāo)從知識傳授，到發(fā)展智能，到大眾數(shù)學(xué)，到最后培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的變化軌跡?？臻g想象能力側(cè)重于直接感知事物，建立二維平面以及三維空間內(nèi)對圖形性質(zhì)的理解，指向能力層面的要求?？臻g觀念是在新世紀(jì)課程改革后提出的，不僅僅是一種觀念，也反映出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的變化。幾版課程標(biāo)準(zhǔn)（教學(xué)大綱）對空間觀念的界定雖然在不斷變化，但都是在建立空間想象的基礎(chǔ)上，更注重在分析和抽象層次上的表現(xiàn)，要求學(xué)生根據(jù)圖形的特征在邏輯上對圖形關(guān)系進行分析和操作，利用直觀進行思考。幾何直觀是一種思維形式，是指通過圖形、圖形之間的關(guān)系、圖形的運動變化等直接理解問題的本質(zhì)、得到解決問題的思路、形成推斷問題的結(jié)論。直觀想象是在空間觀念和幾何直觀的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，主要包括空間想象、直觀洞察、數(shù)形結(jié)合，是利用空間形式理解和思考問題的思維方式，是適應(yīng)未來社會應(yīng)必備的一種關(guān)鍵能力。

二、追溯直觀與想象的根源，把握直觀想象的精髓

“空間想象能力”“空間觀念”“直觀”“想象”在心理學(xué)界并不是地位并列的概念。能力是心理學(xué)中的名詞，是指一種心理特征，是順利實現(xiàn)某種活動的心理條件。能力既是掌握知識與技能的基礎(chǔ)，又是掌握知識與技能的結(jié)果?？臻g想象能力是人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析、認(rèn)知的抽象思維能力。在數(shù)學(xué)、地理等學(xué)科體現(xiàn)得比較明顯。

對“觀念”的概念解釋，在辭海中有“思想，有時亦指表象或客觀事物在人腦中留下的概括的形象”的釋義?！翱臻g觀念”與心理學(xué)中“空間知覺”的概念比較接近，空間知覺、時間知覺和運動知覺都是知覺，空間知覺是指大腦對物體的空間關(guān)系的認(rèn)識，包括形狀知覺、大小知覺、深度與距離知覺、方位知覺與空間定向等。

我國著名數(shù)學(xué)家徐利治認(rèn)為：“直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識?！睎|北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為：“直觀借助基因和大腦而存在，是先天存在，又借助后天經(jīng)驗表達(dá)出來。幾何直觀就是利用圖形、圖形的關(guān)系、圖形的變化和運動的軌跡等思維經(jīng)驗直接認(rèn)識問題，理解問題的本質(zhì)，找到解決問題的思路，推斷出問題的結(jié)論。”在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，幾何直觀具體表現(xiàn)為實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀等四種形式。

思維是人腦對輸入的刺激進行更深次的加工，是人類認(rèn)識的高級活動。思維可以從不同的角度進行分類，其中一類可以分為直觀動作思維、形象思維和邏輯思維。直觀動作思維面臨的思維任務(wù)具有直觀的形式;形象思維則指人們利用大腦中的具體形象（表象）來解決問題;邏輯思維則需要運用概念、理論知識來解決問題。思維也可以分為直覺思維、靈感與邏輯思維，直覺是一種沒有經(jīng)過嚴(yán)密推理與論證而徑直地猜度問題關(guān)鍵的思維，常表現(xiàn)為一種大膽的猜想、預(yù)測。而靈感則是一種頓悟性的思維。直覺和靈感都具有非分析性、非規(guī)則性、非程式化的特點。顯然，“直觀”與“思維”密不可分。直觀是直觀動作思維、形象思維的典型特征，也對直覺思維、靈感的形成有重要的促進作用。

“想象”是另一種高級的認(rèn)識活動，是在感知的基礎(chǔ)上，對頭腦中已有的表象進行加工改造，創(chuàng)造新形象的心理過程。由于想象主要處理圖形信息，而不是詞或符號，因此與“直觀”密不可分。日常生活中，當(dāng)人們在面對問題情境、需要尚未得到滿足時，頭腦中常常會出現(xiàn)需要得到滿足、問題得到解決的情境，這種情境是對現(xiàn)實的一種超前反應(yīng)，是對未來的一種預(yù)見。若問題的原始材料是已知的，解決問題的方向是明確的，那么解決問題的進程則主要服從于思維規(guī)律;反之，如果問題情境具有很大的不確定性，情境提供的信息不充分時，解決問題的進程將主要依賴于想象。想象可以跳過某些思維階段，具有黏合、夸張、典型化、聯(lián)想等幾種形式。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，本身具有鮮明的特性，如抽象、結(jié)構(gòu)、模式、數(shù)據(jù)、直覺。而數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)是某種美的意識或美感，其實是對數(shù)學(xué)對象間存在著的某種隱微的和諧性與秩序的直覺認(rèn)識。人的直覺更多的是來源于視覺，直觀為直覺的產(chǎn)生起到了關(guān)鍵的、不可替代的作用。在數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中，數(shù)學(xué)家的靈感往往發(fā)端于直觀。很多數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與解決，其結(jié)果都是先“看”出來的，而不是先“證”出來的。所謂的“看”是一種直接判斷，這種判斷是建立在長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上。而數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)之一就是幫助學(xué)生積累這方面的經(jīng)驗，包括感性經(jīng)驗和邏輯經(jīng)驗。

通過以上的分析可以看到，數(shù)學(xué)與直觀、想象有著密切的聯(lián)系，數(shù)學(xué)對象的直觀性和想象的心理過程對啟發(fā)人的思維，特別是對形象思維的發(fā)展有著重要的作用?！澳欠N創(chuàng)造發(fā)明的要素，那種起指導(dǎo)和推動作用的直觀要素，雖然常常不能用簡單的哲學(xué)公式來表述，但是它們卻是任何數(shù)學(xué)成就的核心，即使在最抽象的領(lǐng)域里也是如此”。反之，在“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論、方法或數(shù)學(xué)定理時，只有做到了直觀上懂才算‘真懂，所謂‘真懂的意思是指對數(shù)學(xué)的理論、方法或定理能洞察其直觀背景，并且看清楚它是如何從具體特例過渡到一般（抽象）形式的”。通過數(shù)學(xué)教育，可以培養(yǎng)學(xué)生的直觀和想象，從而具備適應(yīng)未來社會所必備的關(guān)鍵能力，直觀想象可以看成是運用形象思維來理解和解決數(shù)學(xué)問題時表現(xiàn)出來的一種素養(yǎng)。具體而言，就是指借助具有邏輯支撐的直覺，在頭腦里對已儲存的各種數(shù)學(xué)表象（圖形、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號、圖像、圖表以及公式、法則、基本結(jié)論等）進行類比、聯(lián)想等加工改造，在感知數(shù)量關(guān)系和空間形式的形態(tài)與變化中，獲得事物的新形象、新觀念或得出創(chuàng)新性的新結(jié)論。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)命題、探索解決問題思路的重要手段，是建構(gòu)數(shù)學(xué)抽象和進行邏輯推理的思維基礎(chǔ)。

很多教師在中考復(fù)習(xí)階段，仍存在著“僅從字面意義上理解直觀想象的現(xiàn)象，使直觀想象逐漸被窄化為一種識圖策略”的問題，并且由于考試評價的局限而沒有引起師生足夠的重視。也有很多教師對數(shù)學(xué)教學(xué)目的的認(rèn)識還是停留在傳統(tǒng)的“三大能力”的層面。教學(xué)中更多的都是側(cè)重于解題訓(xùn)練，單純的機械模仿、低效復(fù)習(xí)充斥著課堂，教學(xué)也離開了數(shù)學(xué)抽象的思維基礎(chǔ)。抓不住直觀想象這一核心，課堂就猶如失去了“靈魂”。

三、用好教科書中的基本習(xí)題，建立豐富的數(shù)學(xué)表象

想象是對表象的加工創(chuàng)造，直觀想象離不開豐富的“數(shù)學(xué)表象”。練習(xí)題是教科書的重要組成部分，是使學(xué)生理解概念、鞏固知識、學(xué)會應(yīng)用的必備構(gòu)件。數(shù)學(xué)教科書中的練習(xí)題設(shè)計注重循序漸進和情境運用，教師應(yīng)該充分重視。在要求學(xué)生正確解答的同時，應(yīng)深入挖掘基本習(xí)題的聯(lián)系和所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生認(rèn)識問題的本質(zhì)特征，豐富直觀想象所必需的數(shù)學(xué)表象。

如在復(fù)習(xí)“軸對稱圖形的性質(zhì)”時，應(yīng)以閱讀理解的方式將基本圖形進行組合，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)軸對稱圖形的共性和對稱軸的作用，并通過直觀想象發(fā)現(xiàn)解決問題的路徑，做到復(fù)習(xí)時“不炒冷飯”，不斷提升直觀想象素養(yǎng)。

第一步，情境回憶。

等腰（邊）三角形是常見的軸對稱圖形。利用圖形的對稱性，我們可以發(fā)現(xiàn)很多結(jié)論，也可以得到解決問題的思路。

如圖1，在△ABC中， AB=AC，D、E分別在AC、AB上，且AD=AE，容易發(fā)現(xiàn)△ABD和△ACE關(guān)于△ABC的對稱軸對稱，并且容易證得BD=CE。

如圖2，在△ABC中， AB=AC，D、E是邊BC上的點，且AD=AE，也容易發(fā)現(xiàn)△ABD和△ACE關(guān)于△ABC的對稱軸對稱，進而容易證得BD=CE。

第二步，問題探究。

如圖3，△ABC中，點D、F在邊AB上，點E在BC上，BD=BE，∠ADC=α，∠BEF=180°-2α，延長CA、EF交于點G，且GA=GF，求證AD=EF。

第三步，提升拓展。

如圖4，等邊△ABC中， D是AC上一點，連接BD，E為BD上一點，AE=AD，過點C作CF⊥BD交BD的延長線于F，∠ECF=60° ，若BE=a，DF=b，求DE的長（用含a，b的式子表示）。

閱讀材料將兩個典型圖通過強調(diào)對稱軸的作用而巧妙地聯(lián)系起來，并分別為后兩個問題的解決提供了圖形想象的基礎(chǔ)和思考方向，學(xué)生如果發(fā)現(xiàn)圖3與圖1存在著密切的聯(lián)系，將條件“BD=BE”與問題1中的“AD=AE”進行比較，就可以構(gòu)造等腰三角形，即要么在BC上取點H，使BH=BF，容易證得EF=DH;要么在BA的延長線上取點H，使BH=BC，容易證得EH=DC，進而發(fā)現(xiàn)解決問題的路徑。而問題4的圖形又與問題2的圖形聯(lián)系緊密，構(gòu)造與△ABE對稱的三角形成為解題的關(guān)鍵。可見，學(xué)生在復(fù)雜的圖形中能否發(fā)現(xiàn)基本圖形的 “影子”，成為能否解題的關(guān)鍵。上面的復(fù)習(xí)設(shè)計，既加強了對基本圖形的認(rèn)識，又發(fā)展了直觀想象素養(yǎng)。正可謂抓住了培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)這一靈魂，才抓住了中考復(fù)習(xí)的關(guān)鍵。

四、合理設(shè)計問題變式，錘煉直觀想象的基本路徑

變式教學(xué)是我國“雙基”教學(xué)的基本特征，其基本方法是用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征。幾何圖形變式在發(fā)展學(xué)生“雙基”方面的作用十分明顯。直觀的經(jīng)驗需要大量的實踐，想象需要類比、聯(lián)想和猜測，合理的問題變式不應(yīng)僅僅局限在發(fā)展學(xué)生 “雙基” 的層面，還應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生反思如何形成直觀，如何合理想象。

中考復(fù)習(xí)是在學(xué)生完成了九年義務(wù)教育的課程學(xué)習(xí)之后進行的，是在對所學(xué)知識進行梳理的基礎(chǔ)之上，使相關(guān)知識能融會貫通，并能解決問題，因此在選擇復(fù)習(xí)內(nèi)容時就要注意相關(guān)知識的聯(lián)系與綜合性，并通過科學(xué)的圖形變式，引導(dǎo)學(xué)生進行類比、聯(lián)想和猜想。例如，在復(fù)習(xí)等腰三角形和全等三角形時，可以先讓學(xué)生掌握人教版教材八年級上冊中66頁的第14題，再進行系列的圖形變化。

已知：在圖5中，△ABC是等邊三角形，D是AC邊的中點，延長BC到點E，使CE=CD。

求證：DB=DE。

此題的圖形由一個等邊三角形和一個等腰三角形構(gòu)成，要證明△DBE是等腰三角形，需要學(xué)生靈活運用等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定，因此方法也比較多。

在學(xué)生積累了基本習(xí)題的解題經(jīng)驗之后，可以先改變已知條件中“CE=CD”為“CE=AD”，看看結(jié)論是否成立。再改變點D的位置，讓學(xué)生獲得猜想后再尋找解題的方法。得到的變式如下：

已知△ABC是等邊三角形，E是AC邊上一點，F(xiàn)是BC邊延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF。

1.如圖6，若E是AC邊的中點，猜想BE與EF的數(shù)量關(guān)系為。

2.如圖7，若E是線段AC上的任意一點，其它條件不變，上述線段BE、EF的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明。

3.如圖8，若E是線段AC延長線上的任意一點，其它條件不變，上述線段BE、EF的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明。

第2問中點E的位置由線段的中點改變?yōu)锳C上任一點，圖形中沒有兩個三角形直接全等，學(xué)生自然會產(chǎn)生這樣的猜想，即構(gòu)造全等三角形來解決問題。利用已知條件，當(dāng)然就有了構(gòu)造與△ECF全等或與△ABE全等兩種解決問題的思路，然后再進行推理證明。而問題（3）中點E的位置由“線段上的點”變成了AC延長線的點，直觀上可以看出結(jié)論并沒有發(fā)生變化。學(xué)生既可以類比問題（2），也可以直接通過構(gòu)造法做出輔助線求解。

再如人教版教材八年級上冊56頁第9題和八年級下冊62頁第15題如下：

教材中兩道題的背景和題型雖然不同，但本質(zhì)都是利用等腰直角三角形和正方形等基本圖形的性質(zhì)，利用直角三角形全等的判定和性質(zhì)解決問題，對發(fā)展學(xué)生的“雙基”十分有益。在學(xué)生掌握了基本問題的解法之后，可以改變圖形的位置，通過直線AD繞等腰直角三角形的直角頂點旋轉(zhuǎn)，得到以下兩個變式練習(xí)。

變式1：如圖11，∠BAC=90° ，AB=AC，BE⊥AD，CD⊥AD，垂足分別為E，D，探究BE、CD、AD的數(shù)量關(guān)系并證明。在圖12中，條件不變，結(jié)論發(fā)生改變嗎？

變式2：如圖13，已知正方形ABCD，直線GH過點B，過點A、C、D分別作AE⊥GH于點E，CF ⊥GH于點F，DQ⊥GH于點Q，試判斷線段AE、DQ、CF三者之間關(guān)系。

將靜態(tài)的幾何圖形運動起來，通過平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等變換方式，可以得到系列的全等圖形，挖掘其中的不變規(guī)律，可以發(fā)展學(xué)生的直觀想象和學(xué)習(xí)興趣，加深對圖形的深刻認(rèn)識。而對圖形的變式不止是橫向的水平變式，還應(yīng)進一步進行深度挖掘，并通過從特殊到一般等數(shù)學(xué)思考過程，進一步提升學(xué)生的想象能力和思維能力。在學(xué)生對上題有了系列認(rèn)識之后，還可以為他們提供如下的變式練習(xí)。

變式3 ：如圖14，已知正方形ABCD的邊長為2，E是線段AB上一點（含端點），作射線DE，分別過點A，B，C作DE的垂線，垂足分別為F，G，H，求AF+BG+CH的最值。

變式4 ： 如圖15，已知平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60° ，E是線段AB上一點（含端點），作射線DE，分別過點A，B，C作DE的垂線，垂足分別為F，G，H，求AF+BG+CH的最大值。

學(xué)生有了變式1、變式2的解題經(jīng)驗，對正方形和全等三角形有了進一步的認(rèn)識，也能得到三條線段長度之間的關(guān)系，但并不一定能引起對圖中所蘊藏的相似三角形的關(guān)注。變式4是求三條線段和的最值，發(fā)現(xiàn)圖中的四個直角三角形都是相似的，就可以找到解決問題的方法。同時，通過對圖形運動的研究，想象特殊位置的情況，也可以得到解決問題的方程。而變式5則將正方形改為平行四邊形，體現(xiàn)了在從特殊到一般的變化過程中，蘊含著不變的規(guī)律。

參考文獻：

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（責(zé)任編輯：楊強）