萬(wàn)變不離其宗，以不變應(yīng)萬(wàn)變

畢美好

[摘? 要] 新課程理念下，高三復(fù)習(xí)的主旋律是“優(yōu)效教學(xué)、減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)”. 變式題組的教學(xué)能優(yōu)化復(fù)習(xí)、提升教學(xué)效率. 文章主要探討了三種變式教學(xué)：對(duì)比性變式有的放矢，突破知識(shí)易錯(cuò)點(diǎn)效果立竿見影;強(qiáng)化性變式熟能生巧，有效提升熟練度;開放性變式拓展創(chuàng)新，提高學(xué)生思維的靈活性.

[關(guān)鍵詞] 變式;高三復(fù)習(xí);優(yōu)化;數(shù)列;通項(xiàng)

新課程理念下，高三復(fù)習(xí)課不搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，而是精選題、巧設(shè)計(jì)、精講題，以少勝多. 盡管高考的題目形式上是變化多端的，但其考點(diǎn)是明確的，有既定法則——通性通法可尋的. “萬(wàn)變不離其宗”，只要我們幫助學(xué)生練就一雙“慧眼”，識(shí)破其“宗”，便能“以不變應(yīng)萬(wàn)變”，笑傲于“高考”這個(gè)變幻莫測(cè)的“江湖”了.

變式題組的教學(xué)就是能幫助學(xué)生識(shí)破“宗”的有效教學(xué)策略. 教師在教學(xué)時(shí)，采用科學(xué)合理的手段，從不同的角度、層次、背景對(duì)知識(shí)點(diǎn)的非本質(zhì)條件進(jìn)行變換，保留其本質(zhì)、宗旨不變，揭示不同知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生抓住問題本質(zhì)這個(gè)不變的關(guān)鍵，提高課堂教學(xué)效率. 針對(duì)不同的教學(xué)效果有不同的變式方式對(duì)應(yīng)，對(duì)比性變式能很好地突破學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，糾正學(xué)生的潛意識(shí)錯(cuò)誤;強(qiáng)化性式變式有利于學(xué)生認(rèn)清并掌握一類題型;開放性變式有利于學(xué)生知識(shí)方法的拓展和遷移，梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的同時(shí)提升學(xué)生分析、解決問題的能力.

對(duì)比性變式有的放矢，以柔克剛

對(duì)比性變式突出差異，在學(xué)生的易混淆不清的概念、法則等知識(shí)點(diǎn)處命制變式題組，通過學(xué)生的碰錯(cuò)、質(zhì)疑、對(duì)比辨析、歸納總結(jié)，抓住不同概念、法則的本質(zhì)，區(qū)分好易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn). 這樣的變式題組設(shè)計(jì)猶如“化骨綿掌”，以柔克剛，輕松擊中學(xué)生要害，使學(xué)生險(xiǎn)處求生、印象深刻. 對(duì)比性變式能避免學(xué)生思維過于單一，教學(xué)效果立竿見影.

案例1：已知數(shù)列{a }中，當(dāng)n≥2時(shí)，a -a =3，a =-2，a =________.

變式1：數(shù)列{a }中，a -a =n，a =-2，a =________.

變式2：若b -b =2，b1=3，bn=_____.

變式3：若數(shù)列{a }各項(xiàng)為正數(shù)，且a =4， =2（n≥2，n∈N*），則a =________.

學(xué)生對(duì)于等差數(shù)列定義“從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù)”中的“常數(shù)”及“后項(xiàng)、前一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征”理解不好，容易出現(xiàn)學(xué)生犯錯(cuò)的借口“眼盲”，其實(shí)就是他們思維盲目，缺乏對(duì)概念的消化.

變式1針對(duì)定義中的“常數(shù)”理解進(jìn)行設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生理解帶有項(xiàng)數(shù)n這個(gè)變量就不符合定義中“常數(shù)”的要求了;變式2、3則是針對(duì)定義中“后項(xiàng)、前一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征”進(jìn)行設(shè)計(jì)，后項(xiàng)f（n）可以是b ， +3等與n有關(guān)的式子，前一項(xiàng)f（n-1）則是用n-1代入f（n）中的n，滿足式子結(jié)構(gòu)即可. 在此基礎(chǔ)上，教師可以讓學(xué)生進(jìn)一步舉例，從而歸納出：盡管其形式千變?nèi)f化，但不變的是其本質(zhì)，若f（n）-f（n-1）=常數(shù)（n≥2），則{f（n）}是等差數(shù)列. 此時(shí)，等比數(shù)列的本質(zhì)定義學(xué)生也能脫口而出了.

案例2：已知數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和S =n2+n+3，求a .

變式：已知數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和S =n2+n，求a .

此題組考查“利用Sn與a 的關(guān)系求通項(xiàng)”，學(xué)生不陌生，但容易漏了“求首項(xiàng)及檢驗(yàn)”環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)這樣的對(duì)比變式題組，使學(xué)生關(guān)注“首項(xiàng)、結(jié)果a 是否分段”兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn). 此題組還能提煉出：前n項(xiàng)和是無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)？圳數(shù)列為等差數(shù)列（d≠0），a 是一次函數(shù);前n項(xiàng)和是有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)？圳數(shù)列不是等差數(shù)列，a 是分段函數(shù).

強(qiáng)化性變式熟能生巧，巧能生慧

學(xué)生經(jīng)常感到很迷惑：“老師上課講的我都聽明白了，但課后自己做又不懂了.”究其原因，是學(xué)生理不清在什么特定條件下采用什么解決辦法，即對(duì)不同類型題目的本質(zhì)特點(diǎn)不能熟練掌握. 一節(jié)課的時(shí)間短，要提升學(xué)生的熟練度，巧妙解答，強(qiáng)化性變式非常適用. 教師局部調(diào)整問題的構(gòu)成要素，使問題雖形式多樣，但解題方法類似，通過這樣的強(qiáng)化訓(xùn)練，促使學(xué)生熟練掌握特定的解法，遇到此類題目能快速巧妙地完成解答，并逐漸編好數(shù)學(xué)方法這張網(wǎng).

案例3：已知數(shù)列{a }中，a =1，a =a +2n，求a .

變式1：已知a -a =3n+1，a =1，求a

變式2：已知a =a + （n≥2），a =1，求a .

變式3：已知a -a =ln （n≥2），a =1，求a

學(xué)生不難接受累加法求通項(xiàng)，但學(xué)生不能熟練地運(yùn)用，究其原因，是學(xué)生對(duì)其形式見得少，強(qiáng)化訓(xùn)練不夠，不能形成條件反射. 通過上述變式題組訓(xùn)練，使學(xué)生熟能生巧，巧能生慧，抓住累加法求通項(xiàng)的精髓：后項(xiàng)與前一項(xiàng)的差是一個(gè)可求和的式子，即a -a =g（n），g（n）是可求和的式子，用累加法. 有了這樣的認(rèn)識(shí)，學(xué)生易知累積法求通項(xiàng)的本質(zhì).

案例4：已知數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和S =3-3×2n，n∈N*，a =________.

變式1：S 為數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和，已知a >0，a +2a =4S +3，求{a }的通項(xiàng)公式.

變式2：若數(shù)列{a }滿足：a +3a +5a +…+（2n-1）·a =（n-1）·3n+1+3（n∈N*），則數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式a =________.

學(xué)生對(duì)于“利用S 與a 關(guān)系求通項(xiàng)”這個(gè)方法不陌生，知道a =S ，n=1，S -S ，n≥2，但是辨不清什么時(shí)候用. 上述例題，S 給出了具體的形式，學(xué)生很容易按照公式求出a . 對(duì)于變式1開始有點(diǎn)無(wú)所適從了，更難看出變式2其實(shí)與例題是一樣題型的題目了. 其實(shí)變式1是S 的抽象形式，變式2中“a +3a +5a +…+（2n-1）·a ”就是“S ”這個(gè)“和”的形式，只是它不是{a }的前n項(xiàng)和，而是{（2n-1）·a }的前n項(xiàng)和，但采用的解決方法是一樣的，因?yàn)樗彩恰昂团c項(xiàng)的關(guān)系”的題型. 通過設(shè)計(jì)層次遞進(jìn)的強(qiáng)化性變式題組，強(qiáng)化利用S 與a 關(guān)系求通項(xiàng)這個(gè)方法，使學(xué)生抓住問題的共同屬性，用相同的方法解決，以不變應(yīng)萬(wàn)變.

開放性變式拓展創(chuàng)新，常勝不敗

開放性變式指的是從一個(gè)題目出發(fā)，通過改變題目中的條件、結(jié)論，從而使題型得到深化或延伸. 一種利用同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)解決難度不同的問題，或含參待討論，或舍棄中間提示環(huán)節(jié)直奔主題等等;另一種是找到不同題目之間的潛在聯(lián)系，或方法相似或結(jié)構(gòu)相似等. 通過深化、延伸，從一類題目轉(zhuǎn)變成多種類型的題目，從而逐漸形成一個(gè)系統(tǒng)、完整的知識(shí)體系.

案例5：已知數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和為S ，a =1，S =2a ，求a .

變式1：已知數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和S =1+λa ，其中λ≠0，證明：{a }是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式.

變式2：已知數(shù)列{a }的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時(shí)，a 等于（? ? ）

A. 2n-1 B. n2

C.? D.

變式1是例題的深化，考查與例題相同的知識(shí)點(diǎn)a =S ，n=1，S -S ，n≥2，但變式1含有參數(shù)λ，解答過程涉及對(duì)λ取值的分析討論，對(duì)學(xué)生來(lái)說是很大的挑戰(zhàn)，不能與例題相提并論. 變式2改變條件由前n項(xiàng)“和”變?yōu)椤胺e”，是不同類型的題目，但是它們兩者又有潛在聯(lián)系，容易實(shí)現(xiàn)遷移，方法上由“作差”變?yōu)椤白魃獭奔纯山鉀Q. 開放性變式題組旨在提高學(xué)生的綜合實(shí)踐能力和知識(shí)遷移能力，這是學(xué)生靈活創(chuàng)新、常勝不敗的能力.

案例6：已知數(shù)列{a }滿足a =1，a =3a +1，證明：a + 是等比數(shù)列，并求{a }的通項(xiàng)公式.

變式1：設(shè)數(shù)列{a }滿足：a =1，a =3a +2，求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式.

變式2：在數(shù)列{a }中，a =1，a =3a +n，求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式.

變式3：已知數(shù)列{a }中，a =1，a =3a +2n，求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式.

變式4：已知數(shù)列{a }中，a =1，a =2a +2n，求數(shù)列{a }的通項(xiàng)公式.

例題是定義法求通項(xiàng)，為變式1搭建了“腳手架”，指引變式1改變遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)，使其能構(gòu)造出公比為3的等比數(shù)列，通過拆分“2”，滿足“a +A=3（a +A）”，然后用待定系數(shù)法求“A”. 變式2、3與變式1形式相似，引導(dǎo)學(xué)生參考變式1的解法進(jìn)行方法遷移，把“n”“2n”進(jìn)行拆分，構(gòu)造公比為3的等比數(shù)列，同樣是用待定系數(shù)法去解決，但難度較變式1大，等比數(shù)列的前后項(xiàng)形式的變化的把握是難點(diǎn)，是不同于變式1但又有聯(lián)系的題型. 對(duì)于變式4，學(xué)生基本會(huì)參考前面三個(gè)變式的解法用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，碰壁后在老師的幫助下梳理出“a =pa +qn”型的通性通法應(yīng)該是同除以“qn+1”后回歸到變式1的題型. 通過開放性變式題組可以實(shí)現(xiàn)知識(shí)整合、知識(shí)梳理，優(yōu)化了課堂的教學(xué)，提高了高三的復(fù)習(xí)效率.

荀子曰：“千舉萬(wàn)變，其道一也. ”莊子曰：“不離于宗，謂之天人. ”這兩句名言都是說某些事物盡管形式上變化多端，其本質(zhì)或目的是不變的. 在數(shù)學(xué)教學(xué)上亦是如此，教師應(yīng)抓住問題本質(zhì)，精選題、巧設(shè)計(jì)，利用對(duì)比性變式突破易錯(cuò)點(diǎn);利用強(qiáng)化性變式鞏固題型解法，提升知識(shí)熟練度;利用開放性變式梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，培養(yǎng)思維靈活度，幫助學(xué)生解決千變?nèi)f化的問題，以不變應(yīng)萬(wàn)變.