如何利用零點情況求解參數(shù)值或取值范圍

莊靜

【摘要】零點現(xiàn)象是高中數(shù)學(xué)中獨樹一幟的情況，“根據(jù)函數(shù)零點的情況，討論參數(shù)的范圍”是當(dāng)代高考對考生的考查重點之一.零點同時聯(lián)系了不等式、函數(shù)、方程等不同模塊的知識內(nèi)容，靈活運(yùn)用這些知識往往容易成為解答零點問題的關(guān)鍵.通過對一定數(shù)量例題的分析總結(jié)我們不難發(fā)現(xiàn)，零點現(xiàn)象常常和參數(shù)求解問題同時存在.對于如何利用零點情況求解參數(shù)的具體值或取值范圍，我們不妨從這三種不同角度，即數(shù)形結(jié)合、方程思想與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)出發(fā)思考并解題，這不僅可以提升同學(xué)們的解題能力，還可以以此培養(yǎng)同學(xué)們的綜合素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】參數(shù)范圍;零點情況;數(shù)形結(jié)合;方程思想;導(dǎo)數(shù)

一、解題思路

函數(shù)的零點求解中的點，本質(zhì)上是函數(shù)圖像與橫軸交點的橫坐標(biāo)，但在實際數(shù)學(xué)應(yīng)用中，橫坐標(biāo)的這種“跨界性”更具探究意義，因此函數(shù)的零點就簡化為用橫坐標(biāo)來進(jìn)行零點的表述.關(guān)于函數(shù)的零點，常見的問題設(shè)計有：連續(xù)函數(shù)零點存在性的確立;連續(xù)函數(shù)零點個數(shù)的判斷;用二分法求函數(shù)零點的近似值等.由于函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，問題的解決途徑也可以轉(zhuǎn)化為方程形式.近兩年高考試題中函數(shù)零點的相關(guān)問題展現(xiàn)出數(shù)學(xué)中的劃歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，以及導(dǎo)數(shù)解題思想，我們可以從中感受到數(shù)學(xué)思想方法的魅力.

二、數(shù)形結(jié)合求解

數(shù)形結(jié)合與“零點”的結(jié)合，可謂是“錦上添花”的組合，主要過程是將已知方程一分為二轉(zhuǎn)化為y=g（x）和y=h（x），以這兩個函數(shù)所對應(yīng)圖像的交點來體現(xiàn)方程根的情況，進(jìn)而結(jié)合圖像求解題干中未知參數(shù)的具體值.對問題中的方程“一分為二”時，要注意等號兩邊應(yīng)是容易畫出圖像的函數(shù)解析式，作圖時要充分利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，還要在圖中標(biāo)注每個函數(shù)圖像的最高點、最低點等一些特殊點.

例1 已知函數(shù)f（x）=2x，0≤x≤1，

1x，x>1，若關(guān)于x的方程f（x）=-14x+a（a∈R）恰好有兩個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍為.

思考 利用數(shù)形結(jié)合求解零點問題時，首先解讀問題中的已知條件，把方程恰好有兩個實數(shù)解轉(zhuǎn)化為y=f（x）和y=-14x+a（a∈R）的函數(shù)圖像在x的取值范圍內(nèi)有兩個交點進(jìn)行求解，隨后在同一個直角坐標(biāo)系中畫出y=f（x）和y=-14x+a分別對應(yīng)的圖像，最后應(yīng)對y=-14x+a圖像進(jìn)行上下平移和分析，當(dāng)兩個函數(shù)圖像有兩個交點時，確定對應(yīng)y的取值范圍，這樣才能求出函數(shù)中未知數(shù)a的取值范圍.由于已知f（x）是分段函數(shù)，因此同學(xué)們在作圖時應(yīng)注意對應(yīng)函數(shù)區(qū)間端點的取值，避免在后面解題的過程中出現(xiàn)錯誤的判斷.

解 由題意可得，關(guān)于x的方程f（x）=-14x+a（a∈R）恰好有兩個不同的實數(shù)解可轉(zhuǎn)化為y=f（x）和y=-14x+a（a∈R）的函數(shù)圖像有兩個不同的交點.

在同一個直角坐標(biāo)系中分別作出f（x）=2x，0≤x≤1，

1x，x>1和y=-14x+a（a∈R）的函數(shù)圖像，如圖所示.

當(dāng)一次函數(shù)y=-14x+a（a∈R）的圖像經(jīng)過分段函數(shù)f（x）=2x，0≤x≤1，

1x，x>1圖像中的一個頂點（1，2）時，可以得出a=94;當(dāng)直線y=-14x+a（a∈R）經(jīng)過分段函數(shù)f（x）=2x，0≤x≤1，

1x，x>1的另一個頂點（1，1）時，可以得出a=54.

由圖像易知，當(dāng)a∈54，94時，分段函數(shù)y=f（x）和一次函數(shù)y=-14x+a圖像有兩個不同交點，即方程有兩個不同的實數(shù)解;

當(dāng)直線y=-14x+a（a∈R）與反比例函數(shù)y=1x，x>1的圖像相切時，方程1x=-14x+a只有一個實數(shù)解，即ax-14x2-1=0，Δ=a2-1=0，解得a=1或a=-1（舍去），此時方程f（x）=-14x+a有兩個不同實數(shù)解.其他情況均不滿足題意.

綜上所述，a的取值范圍為54，94∪{1}.

三、方程思想求解

函數(shù)中有關(guān)零點的求參數(shù)取值范圍的問題的求解方式，不僅可以從函數(shù)圖像方面以數(shù)形結(jié)合的思路考慮，利用函數(shù)圖像之間的交點來進(jìn)行分析解答，還可以從方程求解方面找到問題之間的聯(lián)系進(jìn)行進(jìn)一步求解.方程思想的運(yùn)用，具體是指把求解零點數(shù)值的問題轉(zhuǎn)化為求解方程得到實數(shù)根的問題，借助方程實數(shù)根的解題思路以及相關(guān)的知識點列出含有參數(shù)的等式或不等式，進(jìn)而進(jìn)行分析求得題中所需的具體答案.借助方程實數(shù)根的解題思路對零點問題進(jìn)行求解恰恰與數(shù)形結(jié)合的解題思路相反，如果說數(shù)形結(jié)合運(yùn)用的是“一分為二”的解題方法，那么方程思想這種 “合二為一”的解法也能夠有效解答零點參數(shù)求值范圍的問題.

例2 已知c≠0，函數(shù)f（x）=-cx2+cx，g（x）=x3-cx2+cx，如果函數(shù)f（x）與函數(shù)g（f（x））有相同的零點，則c的取值范圍是.

思考 利用方程思想進(jìn)行零點參數(shù)取值范圍的解題時，首先對問題中的函數(shù)f（x）進(jìn)行分析整理，易知函數(shù)f（x）的零點為x1=1，x2=0，根據(jù)問題中對函數(shù)有零點的要求，先令g（f（x））=0可得到f（x）=0或f2（x）-cf（x）+c=0，但x1=1，x2=0明顯不是方程f2（x）-cf（x）+c=0的解，在這個條件下函數(shù)f（x）與函數(shù)g（f（x））有相同的零點的設(shè)想是無法成立的，因此函數(shù)f（x）與函數(shù)g（f（x））有相同的零點這個結(jié)論成立的充要條件是方程f2（x）-cf（x）+c=0無實數(shù)根，隨后對方程f2（x）-cf（x）+c=0進(jìn)行綜合分析，便能求得參數(shù)c的取值范圍.

解 令f（x）=0，解得x1=1，x2=0.

令-x2+x=t，t∈-∞，14，將題干中的函數(shù)進(jìn)行換元以及代入.

∴f（x）=ct，g（f（x））=c3t3-c3t2+c2t.

解方程g（f（x））=c3t3-c3t2+c2t=0，可得t=0或ct2-ct+1=0.

當(dāng)t=0時，求得x=1或x=0;

當(dāng)ct2-ct+1=0時，∵c≠0，∴t2-t+1c=0，∵t=0不是該方程的解，∴t2-t+1c=0在t∈-∞，14內(nèi)無解，即t=14時t2-t+1c>0，可求得0

綜上所述，c的取值范圍是0，163.

四、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求解

零點情況與導(dǎo)數(shù)往往有著密切的聯(lián)系，在導(dǎo)數(shù)中零點和函數(shù)的極值更能畫上等號，利用導(dǎo)數(shù)中的零點情況求解參數(shù)具體值或取值范圍，也是同學(xué)們經(jīng)常能見到的一種解題思路.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解題，實際是通過對函數(shù)解析式進(jìn)行求導(dǎo)，憑借導(dǎo)數(shù)討論并分析已知區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性，判斷求導(dǎo)函數(shù)與x軸是否有交點，以此求得參數(shù)的具體值或取值范圍.解題時可能會對函數(shù)多次求導(dǎo)，同學(xué)們還需要注意區(qū)分每一次求導(dǎo)的解析式和意義，避免出現(xiàn)混淆導(dǎo)致答案錯誤.

例3 已知函數(shù)f（x）=aln x+2x-ex-1x2（a∈R，a為常數(shù)）在（0，2）內(nèi)有兩個極值點x1和x2，且x1

思考 先對題中所求的問題進(jìn)行分析解讀與整理，可以把函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)有兩個極值點轉(zhuǎn)化成f′（x）在（0，2）內(nèi)有兩個零點的問題進(jìn)行求解，其次還需要對f′（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到f″（x），對a的值進(jìn)行分類討論，求得對應(yīng)的f″（x）值和f′（x）的單調(diào)性，綜合判斷求出f（x）滿足（0，2）內(nèi)有兩個極值點條件的參數(shù)取值范圍即可.

解 對f（x）求導(dǎo)可得，f′（x）=a1x-2x2-ex-1（x-2）x3=（ex-1-ax）（2-x）x3，x>0，

記ex-1-ax=h（x），x>0，由題意可得，h（x）在（0，2）上存在2個零點.

∵h(yuǎn)′（x）=ex-1-a，∴當(dāng)a≤1e時，h′（x）>0，h（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，至多有1個零點，不符合題意，

當(dāng)a>1e時，令h′（x）=0，得x=1+ln a.

①當(dāng)1+ln a<2且h（2）>0，即1e

當(dāng)1e

當(dāng)10，且當(dāng)x靠近0時，h（x）趨近于1e>0.從而h（x）在（0，1+ln a）和（1+ln a，2）上各有一個零點，

∴h（x）在0，2上存在2個零點.

②當(dāng)1+ln a<2且h（2）≤0，即e2≤a

③當(dāng)1+ln a≥2，即a≥e時，h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，h（x）至多有1個零點，不符合題意.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是1，e2.

總之，零點情況在不同知識模塊中有著不同的表達(dá)意義，利用不同情況下的零點意義可以高效解答參數(shù)相關(guān)問題：在函數(shù)圖像中可以用兩個函數(shù)圖像交點表示;在方程中針對實數(shù)根進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換;在導(dǎo)數(shù)中也可以是極值意義.這些零點情況的表達(dá)方式，恰恰證明了零點現(xiàn)象的重要性，也在提醒同學(xué)們應(yīng)該重視零點現(xiàn)象的靈活運(yùn)用，以此提高思維能力和解題效率.對于函數(shù)零點題目求解而言，解題思路隨著題型的不同運(yùn)用的解題技巧也是有所差別的，不同類型的零點問題，其方法也不盡相同，甚至?xí)粌H僅運(yùn)用其中一種方法進(jìn)行求解，也有時不一定有解.在具體的解題過程中，應(yīng)根據(jù)題干所給出的條件，對解題方法進(jìn)行科學(xué)的選取，以保證解題結(jié)果的正確性，這對學(xué)生在解題中的思維靈活性以及數(shù)學(xué)知識的掌握程度都有一定要求.

總 結(jié)

高中階段對函數(shù)零點的考查主要集中在這兩個方面：一是結(jié)合函數(shù)零點的存在性，運(yùn)用函數(shù)定理以及函數(shù)圖像，對函數(shù)是否存在零點以及零點的個數(shù)進(jìn)行判斷，進(jìn)而判斷零點所在的區(qū)間，即零點的取值范圍;二是利用零點（方程實根）的存在求相關(guān)參數(shù)的值以及取值范圍.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合是數(shù)形結(jié)合、方程思想、導(dǎo)數(shù)求值這三種解題思路中較難的.學(xué)生應(yīng)理解函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)圖像與直角坐標(biāo)系中x軸有交點的等價性質(zhì)，掌握零點的存在性定理.教師要注重培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及等價轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用意識，使其在零點問題的解題過程中能夠靈活運(yùn)用.

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