高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合解題技巧

王獲

【摘要】隨著教育改革的逐步深入，培養(yǎng)、加強(qiáng)學(xué)生的思維思考能力變得十分重要.在學(xué)習(xí)中利用數(shù)學(xué)思想解答各類問題越來越受學(xué)生喜愛.數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中十分重要的數(shù)學(xué)思想之一，借助數(shù)形結(jié)合思想解題有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，擴(kuò)展解題思路與解題技巧，提高分?jǐn)?shù).因此，本文將從“集合問題”“函數(shù)問題”“不等式、方程問題”三個(gè)方面展開探討，淺談數(shù)形結(jié)合思想在這幾個(gè)內(nèi)容中應(yīng)用的技巧.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合思想;解題技巧

一、了解數(shù)形結(jié)合思想，如何利用

數(shù)形結(jié)合是一種常見的數(shù)學(xué)問題解決方法，也是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)中的重要思想;在高中，“數(shù)”和“形”是我們數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)基本對(duì)象.“數(shù)形結(jié)合”即是數(shù)字與圖形結(jié)合.

“以形助數(shù)”可以將復(fù)雜的問題步步簡(jiǎn)單化、讓抽象的問題內(nèi)容具體化;能夠把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言變?yōu)橹庇^的圖形語(yǔ)言、把抽象的數(shù)學(xué)思維變?yōu)橹庇^的形象思維.“以數(shù)助形”有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從根本上找到解決問題的方法.

如下圖：

二、借助數(shù)形結(jié)合思想，解答集合問題

集合問題的處理是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要的內(nèi)容，無論是簡(jiǎn)單的數(shù)量集合還是復(fù)雜的應(yīng)用題，高中生在解答時(shí)都很容易造成答案的錯(cuò)誤.所以教師在教學(xué)時(shí)就可以借助數(shù)形結(jié)合思想，引入文氏圖，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想的引導(dǎo)下解答有關(guān)幾何的問題.

例1 在某地區(qū)農(nóng)戶抽樣調(diào)查中，電冰箱的擁有率是49%，電視機(jī)的擁有率是85%，且有44%的農(nóng)戶擁有洗衣機(jī)，有63%的農(nóng)戶至少擁有上述三種電器中的兩種以上，有25%的農(nóng)戶三種電器都齊全，那么一種電器也沒有的貧困戶所占的百分比是多少？

解 設(shè)調(diào)查了100戶，全集U={被調(diào)查的100戶農(nóng)戶}，A={100戶中擁有電冰箱的農(nóng)戶}，B={100戶中擁有電視機(jī)的農(nóng)戶}，C={100戶中擁有洗衣機(jī)的農(nóng)戶}.

接著，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目中的已知條件，畫出相應(yīng)的文氏圖，如圖1.

通過觀察可知：三種電器至少擁有一種的農(nóng)戶有49+85+44-63-25=90（戶）.

∴一種電器也沒有的貧困戶所占的百分比是10%.

三、借助數(shù)形結(jié)合思想，解答函數(shù)問題

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重中之重，學(xué)生在解答函數(shù)問題的過程中，需要考慮到多方面的因素，尤其是定義域、最值以及零點(diǎn)的內(nèi)容的求解，需要根據(jù)實(shí)際情況展開相應(yīng)的討論分析，借助數(shù)形結(jié)合思想，可以全面考慮問題，從而完成問題的解答.在例2、3這類題目的解答過程中，教師需要讓學(xué)生注重函數(shù)圖像，仔細(xì)觀察圖像和數(shù)據(jù)，將形轉(zhuǎn)化為數(shù)，從而得出一定的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行有效計(jì)算得出題目答案.

例2 從二月一日起的300天內(nèi)，圖2表示西紅柿的市場(chǎng)售價(jià)P和上市時(shí)間t的關(guān)系;圖3表示西紅柿的種植成本Q和上市時(shí)間t的關(guān)系.求市場(chǎng)售價(jià)和上市時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，以及種植成本和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.

解 根據(jù)圖2，可得市場(chǎng)售價(jià)和上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P=300-t，0≤t≤200，2t-300，200

根據(jù)圖3，可得種植成本與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=1200（t-150）2+100，0≤t≤300.

例3 函數(shù)f（x）=|x-2|-ln x在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

解析 由題意可知f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），我們將這個(gè)函數(shù)拆開看可以得到：

A函數(shù)：y1=|x-2|（x>0），

B函數(shù)：y2=ln x（x>0），

畫出兩個(gè)函數(shù)圖像如圖4所示，

由圖可知函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故填2.

數(shù)形結(jié)合的思想就是在遇到一些難以解決的代數(shù)問題時(shí)，引入圖形來解決，既直觀又準(zhǔn)確.這樣做可以使學(xué)生全面考慮題目的各種情況，保證解題的完整性.

四、借助數(shù)形結(jié)合思想，解答不等式、方程問題

除了集合、函數(shù)問題以外，不等式和方程問題也是數(shù)學(xué)高考常考的熱點(diǎn)內(nèi)容，因此，教師同樣要培養(yǎng)學(xué)生在不等式、方程問題中的數(shù)形結(jié)合思想.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中，開展不等式和方程的教學(xué)，十分有利于提高學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的思維能力以及數(shù)學(xué)解題能力.所以，高中數(shù)學(xué)教師需要讓學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，借助圖形展示不等式或者方程之間的數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問題的有效解答.在例4、5的解題過程中，教師就需要引導(dǎo)學(xué)生采取分段函數(shù)的方式解不等式，同時(shí)，根據(jù)分段函數(shù)畫出相應(yīng)的圖像，使問題能夠得到有效解答.

例4 已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|.

（1）解不等式f（x）>2.

（2）求函數(shù)y=f（x）的最小值.

解 先將函數(shù)分成三個(gè)部分：x<-12，-12≤x<4，x≥4得f（x）=-x-5x<-12，

3x-3-12≤x<4，

x+5（x≥4），畫出圖形，如圖5所示.

（1）根據(jù)圖形及解析式，令3x-3=2，解得x=53，令-x-5=2，解得x=-7，所以不等式f（x）>2的解集是xx>53或x<-7

（2）由圖5知y=f（x）的最小值是-92.

注：分段時(shí)不應(yīng)遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值.

例5 若關(guān)于x的方程|x|=a-x只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析 首先引領(lǐng)學(xué)生將方程拆開得到：

函數(shù)y=|x|與y=a-x，

畫出圖像，如圖6所示.由圖像知當(dāng)a>0時(shí)，

方程|x|=a-x只有一個(gè)解.

故填（0，+∞）.

總之，在不等式、方程等問題的求解過程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生借助相應(yīng)的圖像，分析不等式或者方程的相對(duì)應(yīng)的圖形，使得代數(shù)問題幾何化，從而利用圖像實(shí)現(xiàn)問題的高效準(zhǔn)確解答.

五、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，雖然高中數(shù)學(xué)知識(shí)錯(cuò)綜復(fù)雜，但是在許多題目中都可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法.數(shù)形結(jié)合的解題技巧能夠有效拓寬學(xué)生解題的思路，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)各類問題中的解題能力與解題效率.因此，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)的過程中不斷總結(jié)和探究，使得學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)的過程中，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，真正掌握數(shù)形結(jié)合的精髓，不斷加強(qiáng)思維思考能力.

【參考文獻(xiàn)】

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