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    初中幾何動點(diǎn)問題解題策略

    2021-05-07 17:49:52徐曉丹
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化

    徐曉丹

    【摘要】幾何動點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn),這一類問題通常需要學(xué)生畫出運(yùn)動過程中某一時(shí)刻或某段時(shí)間上的圖形,比較抽象,是學(xué)生難以把握的問題之一.這類問題的解決策略是將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題,尋找問題中的不變量,把抽象問題具體化,教師需引導(dǎo)學(xué)生探索變化后的圖形特征.解決幾何動點(diǎn)問題的關(guān)鍵在于確定動點(diǎn)運(yùn)動過程中的圖形,用運(yùn)動的觀點(diǎn)看問題,定格到靜止?fàn)顟B(tài)解決問題,動靜結(jié)合.

    【關(guān)鍵詞】幾何動點(diǎn);數(shù)學(xué)思想方法;界點(diǎn);轉(zhuǎn)化

    “幾何動點(diǎn)問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動點(diǎn),通過點(diǎn)帶動圖形的運(yùn)動,從而探究圖形的有關(guān)性質(zhì)和圖形之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系等.這類問題把觀察、操作、探究、計(jì)算融合在一起,蘊(yùn)含著函數(shù)、方程、分類、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.中考中對這類問題的考查,可以很好地鍛煉學(xué)生的探究能力,增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

    一、幾何動點(diǎn)問題常見的考查方式及解決方法

    1.求動點(diǎn)運(yùn)動過程中隨時(shí)間變化的線段長.解決這類問題常利用勾股定理、面積橋、三角函數(shù)或相似.

    2.當(dāng)動點(diǎn)落在某條邊上或兩點(diǎn)重合時(shí),求動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間.此時(shí)可以利用新構(gòu)成的特殊幾何圖形,如:直角三角形、等腰三角形、平行四邊形等,找到特殊幾何圖形各邊之間的聯(lián)系,從而求解.

    3.求多邊形面積或重疊部分面積或周長的函數(shù)關(guān)系式.解決的關(guān)鍵在于找到界點(diǎn)正確分類,直接利用圖形面積公式或圖形間作差、作和表示函數(shù)關(guān)系式.

    4.求動點(diǎn)在特殊位置上的運(yùn)動時(shí)間,如某個(gè)動點(diǎn)落在三角形的角平分線上,三角形一邊的垂直平分線上,三角形的一條中線上,等等.或者是線段把某多邊形面積分成特定比時(shí)的運(yùn)動時(shí)間.這類問題的解決通常要利用三角函數(shù)或構(gòu)造相似.學(xué)生解決這類問題時(shí)覺得很困難,這就要用到轉(zhuǎn)化的思想方法,把特殊位置時(shí)的線段關(guān)系找到,轉(zhuǎn)化成線段的比來列方程求解.

    5.求點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度或線段運(yùn)動過程中掃過的圖形面積.解決的方法是找到運(yùn)動開始和終止時(shí)的圖形,再結(jié)合中間的運(yùn)動趨勢來判斷軌跡或掃過圖形的形狀,最后計(jì)算.常見的軌跡有以下幾種:(1)動點(diǎn)到定直線距離保持不變,軌跡是一條直線;(2)動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離保持不變,軌跡是圓弧;(3)動點(diǎn)到定點(diǎn)鉛直距離與水平距離的比保持不變,軌跡是一條直線.

    下面以2020年長春市中考數(shù)學(xué)試題第23題為例來說明如何解決幾何動點(diǎn)軌跡問題,此題分值為10分.

    例 (2020年長春市中考數(shù)學(xué)試題第23題)如圖1,在△ABC中,∠ABC =90°,AB=4,BC=3.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線AB-BC以每秒5個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動,同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā),沿CA以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動.點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P,D同時(shí)停止運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A,C重合時(shí),作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)Q,連接PQ,交AC于點(diǎn)E,連接DP,DQ.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t秒.

    (1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),求t的值.

    (2)用含t的代數(shù)式表示線段CE的長.

    (3)當(dāng)△PDQ為銳角三角形時(shí),求t的取值范圍.

    (4)如圖2,取PD的中點(diǎn)M,連接QM,當(dāng)直線QM與△ABC的一條直角邊平行時(shí),直接寫出t的值.

    試題整體分析 這道幾何動點(diǎn)問題的圖形背景是邊長為3,4,5的直角三角形,屬于雙動點(diǎn)問題,點(diǎn)P的運(yùn)動路徑是折線段AB-BC,點(diǎn)D的運(yùn)動路徑是AC上的部分線段.由“兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P,D同時(shí)停止運(yùn)動”可知運(yùn)動終止時(shí)間為75秒.由“當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A,C重合時(shí)”可知運(yùn)動時(shí)間不能取0和75.試題前面兩問比較基礎(chǔ),但第(2)問由于點(diǎn)P改變路徑產(chǎn)生了分類討論的需要.試題最后兩問引入了圖形變換——軸對稱,增加了思維含量.第(3)問要將“銳角三角形”轉(zhuǎn)化成“直角三角形”尋找界點(diǎn).第(4)問“當(dāng)直線QM與△ABC的一條直角邊平行時(shí)”,由平行可構(gòu)造相似,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例轉(zhuǎn)化成線段的比求解.

    下面是本題的正確解答過程:

    解 (1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),AP=AB,5t=4,解得t=45.

    (分析:兩點(diǎn)重合問題,可以轉(zhuǎn)化成兩條線段相等的問題解決.)

    (2)當(dāng)0

    當(dāng)45

    (分析:用含變量t的式子表示線段長,需要用到分類的數(shù)學(xué)思想.當(dāng)動點(diǎn)的運(yùn)動路徑發(fā)生變化或者點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線之間的相對位置發(fā)生變化時(shí),都需要分類討論.表示線段長時(shí)通常用三角函數(shù).)

    (3)當(dāng)△PDQ是等腰直角三角形時(shí),PE=DE,

    當(dāng)P在線段AB上時(shí),3t=5-6t,∴t=59.(如圖4)

    當(dāng)P在線段BC上時(shí),285-4t=5t-215,∴t=4945.(如圖5)

    ∵△PDQ是銳角三角形,

    ∴t的取值范圍為0

    (分析:考查銳角三角形、鈍角三角形的問題都可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題,這是因?yàn)橹苯鞘卿J角和鈍角的臨界狀態(tài).又根據(jù)軸對稱可知△PDQ是等腰三角形,所以能判斷出△PDQ是等腰直角三角形,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,轉(zhuǎn)化成兩條線段相等的問題.)

    (3)t的值為518或65.

    思路 當(dāng)QM與AB平行時(shí)(如圖6),AD=4AE,∴5-2t=4×4t,

    ∴t=518;

    當(dāng)QM與BC平行時(shí)(如圖7),CD=4CE,∴2t=4×35(7-5t),∴t=65.

    (分析:由平行的條件容易得到全等和相似的結(jié)論,從而得到線段的比例關(guān)系,列方程時(shí)通常要選擇運(yùn)動路徑上的線段關(guān)系,這里選擇的都是線段AC上的線段的比.)

    二、解決幾何動點(diǎn)問題時(shí),學(xué)生存在的問題

    1.不重視畫圖.

    2.找不到界點(diǎn),不能正確分類.

    3.忽視對界點(diǎn)是否包含的判斷.

    4.求解析式過程中計(jì)算不準(zhǔn)確.

    5.不知道轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)化不徹底.

    6.易列出恒等式.

    三、針對學(xué)生存在的問題,教師在平時(shí)教學(xué)中可采用以下策略

    (一)教會學(xué)生畫圖.明確背景圖形和運(yùn)動圖形,在操作時(shí)建議:

    ①背景圖形用中性筆畫,運(yùn)動圖形用鉛筆畫,便于修正;

    ②不同時(shí)刻的圖形有干擾時(shí),一種情況畫一個(gè)圖形;

    ③分清主動點(diǎn)和從動點(diǎn),并判斷它們運(yùn)動的趨勢,必要時(shí)要知道從動點(diǎn)軌跡;

    ④按照圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系準(zhǔn)確畫圖,落在某些特殊位置時(shí),可逆序畫圖.

    (二)準(zhǔn)確找到界點(diǎn)分類.

    ①兩點(diǎn)之間的相對位置有變化時(shí),兩點(diǎn)重合為界點(diǎn).

    ②動點(diǎn)運(yùn)動路徑有轉(zhuǎn)折時(shí),路徑的交點(diǎn)為界點(diǎn).

    ③點(diǎn)穿過圖形邊界時(shí),落在邊界上的點(diǎn)為界點(diǎn).

    ④線段穿過圖形邊界時(shí),線段重疊時(shí)為界點(diǎn).

    (三)重視對界點(diǎn)是否包含的判斷,每次遇到界點(diǎn),都要單獨(dú)拿出來判斷并確認(rèn).

    ①重新審題,看題干中是否有條件限制,如點(diǎn)P不與A,C重合或S>0等條件.

    ②界點(diǎn)處圖形是否變化.

    ③明確關(guān)鍵詞含義,如內(nèi)部(不包含邊界).

    (五)轉(zhuǎn)化的應(yīng)用.

    ①所有面積的比都可以轉(zhuǎn)化成線段的比.

    ②特殊位置上的點(diǎn)產(chǎn)生相等線段.

    ③構(gòu)造相似得成比例線段,一般優(yōu)先選擇運(yùn)動路徑上的線段.

    (六)避免列恒等式.

    列方程時(shí)需要把握一個(gè)原則:同一個(gè)等量關(guān)系不能既用來表示線段長,又用來列方程.

    四、結(jié)束語

    總之,教師在引導(dǎo)學(xué)生解決動點(diǎn)問題時(shí),要引導(dǎo)學(xué)生主動觀察、分析、概括、推理,準(zhǔn)確畫圖,從中找出隱含的不變量和變量關(guān)系,把握運(yùn)動中的某些界點(diǎn)位置和特殊位置,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),并將其轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題,使問題有效解決.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1] 蔣亨強(qiáng),初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)路徑長的問題解決策略[J].福建基礎(chǔ)教育研究,2017(05):50-51.

    [2] 吳曉峰 ,對初中數(shù)學(xué)教學(xué)中動點(diǎn)問題的思考,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2017(08):141.

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