一類無窮級數(shù)和的概率方法求解

舒洪銘 許昌林

【摘要】本文是針對一類收斂無窮級數(shù)的求和問題的.本文通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ停瑢o窮級數(shù)的求和問題轉(zhuǎn)化本文隨機事件求概率的問題，最終利用相關(guān)概率知識，解決了無窮級數(shù)的求和問題，這為無窮級數(shù)的求和問題提供了一種新思路.

【關(guān)鍵詞】無窮級數(shù);求和;極限;概率模型

【基金項目】寧夏自然科學(xué)基金項目（2020AAC03217），國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目（S2020-11407-027G），北方民族大學(xué)統(tǒng)計學(xué)特色專業(yè)資助

一、引言

目前，對無窮級數(shù)收斂性的判斷以及求和的方法有很多，如定義法、函數(shù)項級數(shù)以及冪級數(shù)等方法.除了這些收斂級數(shù)求和方法之外，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ蛯σ恍?fù)雜無窮收斂級數(shù)進(jìn)行求和也是一種方法.為此，本文針對具體收斂的正項級數(shù)，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ鸵约斑\用相關(guān)概率知識對其進(jìn)行求和，并將這種方法推廣至更一般的正項級數(shù)求和問題中，由此解決了復(fù)雜級數(shù)的求和問題，為無窮級數(shù)的求和提供了一種新的求解方法.

二、無窮級數(shù)和的概率方法求解

對于下列無窮級數(shù)

S=1-12×13+1-12×1-13×14+…+1-12×1-13×1-14×…×1-1n+1×1n+2+… （1）

的求和問題，根據(jù)正項級數(shù)收斂的判定準(zhǔn)則，可以判定上述（1）式的級數(shù)是收斂的.為了利用適當(dāng)?shù)母怕史椒ㄇ蟪鲈摷墧?shù)的和，首先將（1）式轉(zhuǎn)化為

S=1-12S1，（2）

其中，S1=13+1-13×14+…+1-13×1-14×…×1-1n+1×1n+2+….

下面通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ颓蠼饧墧?shù)S1的和.

概率論模型一： 設(shè)一個裝置中放有1個白色、2個黑色共3個大小、形狀、質(zhì)量均相同的小球，現(xiàn)從裝置中每次有放回地隨機摸取1個小球.若取到白球，則試驗成功，停止試驗;若取到黑球，則把取出的黑球放回的同時，再向該裝置中加入1個黑球，重復(fù)上述摸球操作.求試驗成功的概率.

四、總結(jié)

本文主要通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，針對一類無窮級數(shù)求和問題給出了概率求解方法，這為無窮級數(shù)的求和問題提供了一種新的思路.除此之外，將概率方法應(yīng)用到其他領(lǐng)域（如重積分的求解等）將是我們進(jìn)一步的研究方向.

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