數(shù)學(xué)建模案例在高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

梁國岐 肖靜波

【摘要】數(shù)學(xué)建模案例是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的橋梁，本文基于數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，探討在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中適當(dāng)融入數(shù)學(xué)建模思想的重要性及原則，并通過具體數(shù)學(xué)建模案例來闡述如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)引入數(shù)學(xué)建模案例.

【基金項(xiàng)目】本文系2019年吉林省職業(yè)教育與成人教育教學(xué)改革研究課題“雙高建設(shè)背景下以創(chuàng)新人才培養(yǎng)為導(dǎo)向的高等數(shù)學(xué)改革”（項(xiàng)目批準(zhǔn)號：2019ZCY145），2018年吉林工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院第二批課程改革課題“以應(yīng)用為主數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為輔的高等數(shù)學(xué)課程改革”和2019年吉林工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院院級課題“基于數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的教學(xué)改革”的階段性研究成果之一

引 言

高等數(shù)學(xué)是高職院校工科專業(yè)重要的一門公共基礎(chǔ)課程，發(fā)揮著為后續(xù)專業(yè)課程服務(wù)、培養(yǎng)學(xué)生思維能力、解決生活實(shí)際問題的作用.傳統(tǒng)的課程講授基本上是從概念講解到定理證明，再到例題、習(xí)題講練，一味灌輸，這很難與高職院校學(xué)生基礎(chǔ)知識薄弱、自主學(xué)習(xí)能力差、數(shù)學(xué)思想不強(qiáng)、學(xué)習(xí)興趣不足的學(xué)情相匹配，因此難以發(fā)揮高等數(shù)學(xué)的課程作用.

將數(shù)學(xué)建模案例應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)教學(xué)中能夠有效改善教學(xué)效果，巧用數(shù)學(xué)建模案例不僅可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自主性，還可以改變“數(shù)學(xué)無用”的傳統(tǒng)觀念.在不影響數(shù)學(xué)原有的理論知識體系的前提下，教師要以“案例”為中心組織課堂教學(xué)，讓枯燥、乏味的數(shù)學(xué)理論生活化、趣味化，這樣既能改善課堂的教學(xué)效果，又能提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

1 高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模案例的原則

1.1 貼近現(xiàn)實(shí)生活，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的距離

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更要遵循學(xué)生的心理規(guī)律，它強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷將數(shù)學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程.數(shù)學(xué)建模案例的選取應(yīng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的，并能將學(xué)生帶入生活，使其能確實(shí)地感受到數(shù)學(xué)在生活中的原形，這樣才能讓學(xué)生真正地理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué).

1.2 符合知識背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模案例的輔助作用

數(shù)學(xué)建模案例的引入應(yīng)和講授的數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系，并要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模案例的輔助作用.教師必須精心選擇數(shù)學(xué)建模案例，案例不僅要起到推廣數(shù)學(xué)知識應(yīng)用價(jià)值的作用，還要能挖掘出知識的文化價(jià)值.案例的安排要充分考慮到內(nèi)容生活性和文化性，這樣會(huì)給學(xué)生帶來耳目一新的感覺，也能夠緩解課堂相對沉悶的氣氛，并能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

1.3 內(nèi)容簡明、易懂，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

在教學(xué)過程中引入案例主要是為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，起到拋磚引玉的作用.案例的內(nèi)容應(yīng)該簡明、易懂，使其能夠在較短時(shí)間內(nèi)被講解完.引入數(shù)學(xué)建模案例是為了讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，而不是用“數(shù)學(xué)建模案例”的內(nèi)容搶占高等數(shù)學(xué)的陣地.

2 高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模案例的方式

2.1 課前導(dǎo)入中引入數(shù)學(xué)建模案例

課前導(dǎo)入關(guān)乎課程講授效果，在課前導(dǎo)入中引入案例對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、改變學(xué)習(xí)態(tài)度起到了至關(guān)重要的作用.如教師在講解定積分前，提問學(xué)生不規(guī)則區(qū)域的面積如何求解，商人如何安全渡河，變速直線運(yùn)動(dòng)的路程如何求解等問題，這些都是現(xiàn)實(shí)生活中的常見問題，引入這些問題能夠引起學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心，既能活躍課堂氣氛，又能開闊學(xué)生的視野.本文以微分方程為例，介紹如何在課前導(dǎo)入中引入案例，具體如下：

案例1 牛頓冷卻定律指出：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比，現(xiàn)將牛頓冷卻定律應(yīng)用于刑事偵查中死亡時(shí)間的鑒定.當(dāng)一次謀殺發(fā)生后，尸體的溫度按照牛頓冷卻定律從原來的37℃開始下降，如果兩個(gè)小時(shí)后尸體溫度變?yōu)?5℃，并且假定周圍空氣的溫度保持20℃不變，試求出尸體溫度H隨時(shí)間t的變化規(guī)律.如果尸體發(fā)現(xiàn)時(shí)的溫度為30℃，時(shí)間是下午4點(diǎn)整，那么謀殺是何時(shí)發(fā)生的？

案例講解：設(shè)尸體的溫度為H（t）（t從謀殺后計(jì)），根據(jù)題意，尸體的冷卻速度dHdt與尸體溫度H和空氣溫度20℃之差成正比，即

dHdt=-k（H-20），

其中常數(shù)k>0，且當(dāng)t=0時(shí)，H=37.

根據(jù)案例1中物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比可以列出含有函數(shù)及微分的關(guān)系式，進(jìn)而導(dǎo)出微分方程的重要性，揭開微分方程學(xué)習(xí)的序幕.

2.2 講解數(shù)學(xué)概念時(shí)引入數(shù)學(xué)建模案例

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，是教師對基礎(chǔ)知識和基本技能進(jìn)行教學(xué)的核心，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)知識的前提.數(shù)學(xué)概念的抽象性使得數(shù)學(xué)概念的教學(xué)相對棘手，引入數(shù)學(xué)建模案例能將復(fù)雜的概念變得明白、易懂，使學(xué)生覺得自然親切、趣味盎然.本文以回歸分析概念為例，介紹如何在講解概念時(shí)引入數(shù)學(xué)建模案例，具體如下：

案例2 有一個(gè)同學(xué)開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷量的影響，收集了部分?jǐn)?shù)據(jù).經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到了賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比圖表（表1及圖1）：

教師在講授概念時(shí)適當(dāng)引入典型的數(shù)學(xué)建模案例，可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

2.3 理論證明中引入數(shù)學(xué)建模案例

數(shù)學(xué)定理與數(shù)學(xué)建模案例完美結(jié)合，能夠搭建起枯燥無味的定理與豐富多彩的外部世界的橋梁，進(jìn)而起到事半功倍的效果.本文以零點(diǎn)存在定理為例，介紹如何在理論證明中引入數(shù)字建模案例，具體如下：

案例3 四條腿一樣長的椅子一定能在不平的地面上放平穩(wěn)嗎？

（1）模型假設(shè)

①椅子的四條腿一樣長，椅子腳與地面的接觸處視為一個(gè)點(diǎn)，四腳連線呈正方形;

②地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷，即視地面為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;

③地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地.

（2） 模型建立

設(shè)椅子腳的連線為正方形 ABCD，對角線 AC與 x軸重合，坐標(biāo)原點(diǎn) O在正方形ABCD中心，當(dāng)椅子繞 O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，對角線 AC變?yōu)?A′C′，A′C′與 x軸的夾角為θ，如圖2所示.由于正方形的中心對稱性，記 A，C兩腳與地面的距離之和為f（θ），B，D兩腳與地面的距離之和為g（θ）.已知連續(xù)函數(shù)f（θ）≥0，g（θ）≥0且f（θ）g（θ）=0，則至少存在一個(gè)θ0，使得f（θ0）=g（θ0）=0.

3 高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模案例的效果

3.1 改變學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，增強(qiáng)主觀學(xué)習(xí)動(dòng)力

對于高職院校學(xué)生來說，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式已經(jīng)給他們留下了深深的烙印，筆者在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的不是“教師怎樣教，學(xué)生如何學(xué)”的問題，而是學(xué)生“想不想學(xué)”的問題.引入數(shù)學(xué)建模案例，可以吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生解決問題、挑戰(zhàn)自我的熱情，講解案例可以讓學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，并開啟主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的新歷程.

應(yīng)用化工技術(shù)專業(yè)的學(xué)生曾體會(huì)到：“引入數(shù)學(xué)建模知識讓我對數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識，從小到大我不知道學(xué)數(shù)學(xué)到底有什么用，也沒有在課堂上像現(xiàn)在一樣思考過問題，現(xiàn)在我開始喜歡數(shù)學(xué) .”

3.2 重塑“具體——抽象——具體”的思維過程，提升學(xué)生的思維能力

傳統(tǒng)理論教學(xué)在過去有著不可或缺的作用，其方式是先講授理論，再解決問題，其思維方式是先抽象再具體.但目前高職院校學(xué)生的學(xué)情有了新的變化，因此教學(xué)也面臨新的挑戰(zhàn).數(shù)學(xué)建模案例的引入，讓學(xué)生不斷思考、推理，使其重拾解決問題的鑰匙，尋求解決問題的原理，進(jìn)而達(dá)到提升學(xué)生思維能力的目的.

曾獲數(shù)學(xué)建模競賽國家二等獎(jiǎng)的學(xué)生體會(huì)到：“生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)建模案例，讓我有勇氣和興趣學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)理論，也讓我形成了遇到事情善于分析、善于思考的習(xí)慣，并讓我體會(huì)到思維能力提升給我?guī)淼目鞓?”

3.3 建立數(shù)學(xué)與專業(yè)學(xué)習(xí)的銜接點(diǎn)，為后續(xù)專業(yè)課服務(wù)

通過對數(shù)學(xué)建模案例的探究、思考、推廣，學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與專業(yè)相輔相成，也認(rèn)識到高等數(shù)學(xué)對以后專業(yè)課學(xué)習(xí)的重要性.

電氣專業(yè)學(xué)生曾體會(huì)到：“數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)深深地吸引我，讓我喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也讓我收獲期末考核幸福的100分，讓我在電氣專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中知道數(shù)學(xué)無處不在.”

結(jié) 語

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入豐富多彩、貼近生活的數(shù)學(xué)建模案例，不僅可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還可以讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也能提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，最終實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)協(xié)同專業(yè)課程共同為專業(yè)發(fā)展服務(wù)的目標(biāo).

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