以題根研究促進(jìn)高中數(shù)學(xué)樣例教學(xué)

林巧攀

【摘要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生掌握一定的解題方法，提高學(xué)生的解題能力越來越被人們所關(guān)注.避免題海戰(zhàn)術(shù)，激發(fā)學(xué)生的解題積極性和效率，就必須加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的題根教學(xué)，使其掌握高中數(shù)學(xué)的解題技巧.

【關(guān)鍵詞】題根;高中數(shù)學(xué);樣例教學(xué)

【基金項(xiàng)目】

本文是福建省2019年度泉州市基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究課題《高中數(shù)學(xué)題根教學(xué)實(shí)踐研究》（編號(hào)：QJYKT2019-156）的研究成果之一

前 言

與傳統(tǒng)應(yīng)試教育方法不同，通過樣例加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的題根教學(xué)，是為了更好地讓學(xué)生學(xué)會(huì)融會(huì)貫通的解題方法.也就是說，當(dāng)學(xué)生掌握一組題目的題根所在之后，學(xué)生能夠針對(duì)這類題目實(shí)現(xiàn)舉一反三的思考，進(jìn)而提升解題能力.

高中數(shù)學(xué)是比較抽象和難懂的學(xué)科，但是對(duì)于很多數(shù)學(xué)題來說，它們表面上給出的已知條件雖然有所不同，或者問法相異，但在某種程度上，解題方法卻是相同的.所以在日常教學(xué)中，如果教師能夠抓住那些具有代表性的已知條件，并通過樣例解釋呈現(xiàn)給學(xué)生，那么當(dāng)學(xué)生面對(duì)成千上萬的數(shù)學(xué)題目時(shí)，便會(huì)覺得輕松自如而不是手足無措.如何讓學(xué)生抓住題根，掌握解題技巧？我們從以下幾個(gè)方面進(jìn)行樣例闡述.

一、樣例教學(xué)的概念闡述

樣例教學(xué)就是教師以典型例題為教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生通過解決例題中的各種問題，從而獲得一些解決問題的規(guī)則、方法的一種教學(xué)方式.樣例教學(xué)是相對(duì)于題海戰(zhàn)術(shù)而言的，它強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生通過對(duì)典型例題的學(xué)習(xí)、研究，可以更多元地掌握必要的知識(shí)點(diǎn)，并形成放射性、發(fā)散性的知識(shí)結(jié)構(gòu)模式.樣例教學(xué)反對(duì)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中采用題海戰(zhàn)術(shù)，因?yàn)檫@樣會(huì)讓學(xué)生疲于做題，從而抹殺了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力.所以樣例教學(xué)也是對(duì)高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的一種保護(hù)，它有助于培養(yǎng)學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使其通過更加科學(xué)的學(xué)習(xí)方式，掌握高中數(shù)學(xué)的各類知識(shí)點(diǎn).

二、樣例教學(xué)的有效策略

（一）從公式中掌握題根

高中數(shù)學(xué)中關(guān)于三角函數(shù)的知識(shí)占據(jù)著重要地位，對(duì)于這類題目來說，掌握題根的最有效方式就是掌握三角函數(shù)中的兩類知一求二.其中一類知一求二是sin α，cos α，tan α.

例題1 已知sin α=0.5，求cos α，tan α的值.

例題2 已知tan α=3.4，求sin α，cos α的值.

此外，在三角函數(shù)中還有另外一類知一求二的表達(dá)方式，即sin α+cos α，sin αcos α，sin α -cos α等.

例題3 已知sin α+cos α =430<α<π4，求sin α-cos α，sin αcos α及tan α的值.

針對(duì)第二類知一求二的題型，我們來做如下解答.

解 因?yàn)閟in α+cos α=430<α<π4，

sin α+cos α2=2sin αcos α+1.

所以sin αcos α=718，

所以sin α-cos α2=1-2sin αcos α=1-79=29.

又因?yàn)?<α<π4，所以sin α-cos α=-23，

所以sin α=4-26，cos α=4+26，tan α=9-427.

在求sin α-cos α的值時(shí)，教師可以讓學(xué)生轉(zhuǎn)變思維，不必分別求出sin α和cos α的值，只需要利用所學(xué)知識(shí)將sin α-cos α的表達(dá)方式轉(zhuǎn)換一下即可.如（sin α-cos α）2=1-2sin αcos α，然后將sin αcos α值代入，即可得出（sin α-cos α）2=1-79=29.因?yàn)?<α<π4，所以sin α-cos α=-23.

根據(jù)以上例題的解答過程，我們不難看出，想要完成此類題型的迅速解答，就必須對(duì)有關(guān)三角函數(shù)的公式做到充分了解并能熟練運(yùn)用，像sin2α+cos2α=1以及tan α=sin αcos α都是源于公式的題根，學(xué)生掌握這些公式題根后，可對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)而使解答變得相對(duì)容易.對(duì)于高中數(shù)學(xué)科目來說，數(shù)學(xué)公式成百上千，而每個(gè)公式在運(yùn)用的過程中，都可以衍生出更多的新問題和新知識(shí)，因此在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該注重對(duì)學(xué)生舉一反三能力的提升，不能盲目地讓學(xué)生進(jìn)行多題運(yùn)算，而是要讓學(xué)生對(duì)一題進(jìn)行反復(fù)思考，找到題根，對(duì)公式的變式也要充分掌握.因此，在公式以及變式中尋找解題根源是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較普遍的題根教學(xué)方法.

（二）從方法中掌握題根

高中數(shù)學(xué)中，很多題目或者題型都有其特定的解題步驟和方法，當(dāng)學(xué)生對(duì)這些方法和步驟爛熟于心后，便能在遇到類似數(shù)學(xué)問題時(shí)，將這些方法和步驟熟練地運(yùn)用到具體的解題過程之中.

例題4 求曲線y=x3-x+3在P（1，3）處的切線方程.

解 由題意得y′=3x2-1，

代入x=1，得y′=2，即k=2.

所以2x-1=y-3，

即2x-y+1=0.

所以切線方程是2x-y+1=0.

對(duì)于此題來說，教師要讓學(xué)生在解題過程中抓住關(guān)鍵詞，題干中的某處就是關(guān)鍵點(diǎn)，即是切點(diǎn)，所以唯一的答案就是切線.

例題5 求曲線y=x3-x+3過P（1，3）的切線方程.

這道題與前一題看上去大致相同，很多學(xué)生由于馬虎大意，不注意審題，非常容易造成一開始的思路錯(cuò)誤.題干中的關(guān)鍵詞是“過”，也就是說此點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，即直線未必是唯一的.

解 設(shè)切點(diǎn)為（x0，x30-x0+3），

則切線方程為y-（x30-x0+3）=（3x20-1）（x-x0），

代入P（1，3），

得3-（x30-x0+3）=（3x20-1）（1-x0），

解得x0=1或x0=-12.

故切點(diǎn)為-12，278或（1，3），

因此切線方程為2x-y+1=0或4y+x-13=0.

通過以上兩道類似例題的解答，我們可以總結(jié)一下在解題思路和方法上要掌握的題根技巧.在面對(duì)這類題時(shí)，一是要看清題干，確定所給點(diǎn)是否為切點(diǎn);二是想辦法將切線方程列出;三是將所過的點(diǎn)坐標(biāo)代入求值;四是求出切線方程.這樣的題型是高中數(shù)學(xué)中非常常見的考點(diǎn)，最重要的是找準(zhǔn)關(guān)鍵詞，這是典型的方法類題根教學(xué).因此在日常教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該時(shí)刻提醒和教授學(xué)生掌握這種抓關(guān)鍵信息的方法和能力，使其能找準(zhǔn)問題的根源，迅速解題.

（三）從思想中掌握題根

二元函數(shù)的最值問題對(duì)于高中生來說是難度比較高的題目，而這類題目恰恰經(jīng)常出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)的日常作業(yè)和考試中.最值問題的形式多種多樣，題干中也經(jīng)常出現(xiàn)各種各樣的陷阱，可以說是防不勝防.很多學(xué)生在遇到這類題目時(shí)經(jīng)常手足無措.此時(shí)，教師要加強(qiáng)在日常教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想剖析，將這類數(shù)學(xué)題目在課堂中講解透徹，并從各個(gè)角度進(jìn)行分析和解答，而解題思路、具體方向就是解決這類問題的思想題根.如代換、反解、消元、換元都是高中數(shù)學(xué)中比較常見的思想方法，如果學(xué)生能抓住這些關(guān)鍵的解題思想，那么學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時(shí)便不會(huì)覺得困難.

例題6 已知log2ab=log4（3a+4b），求a+b的最小值.

根據(jù)題干可知a與b都是正數(shù)，3a+4b=ab，觀察等式，我們可得3b+4a=1.

所以（a+b）3b+4a=3ab+4ba+7≥43+7，當(dāng)且僅當(dāng)2b=3a時(shí)，取等號(hào).即a+b的最小值為43+7.

針對(duì)這種類型的題目，教師必須教授學(xué)生抓住解題的思想方法，找到題根，將換元法與基本不等式思想結(jié)合著來用.

例題7 已知正實(shí)數(shù)a和b滿足9a2+b2=1，求ab3a+b的最大值.

針對(duì)此題，教師可以讓學(xué)生發(fā)揮想象，將a和b看成圓上的點(diǎn)，然后利用三角換元法將問題簡化.假設(shè)a=13cos β，b=sin β，為了保證a與b均為正實(shí)數(shù)，我們可以限制β的范圍，即令β∈0，π2.

ab3a+b=13×sin βcos βsin β+cos β，

令sin β+cos β=nn∈1，2，

則sin βcos β=n2-12，

所以ab3a+b=16×n2-1n=16n-1n，

因?yàn)閥=n-1n在n∈1，2上單調(diào)遞增，所以當(dāng)n=2時(shí)，y取得最大值，為212，即ab3a+b的最大值為212.

這類題型是采取數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行解決的，先利用三角換元法將表達(dá)式化簡，然后進(jìn)行逐步計(jì)算.除此之外，其他最值問題的求解也都需要學(xué)生找到題根.輔以教師清晰透徹的例題講解，相信高中學(xué)生一定能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中取得良好成績.

結(jié) 語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要讓學(xué)生掌握最根本的解題方法，針對(duì)一類題目進(jìn)行專題研究，找到根源所在，這樣才能做到融會(huì)貫通.同時(shí)要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中了解自身的解題障礙，通過教師的題根教學(xué)，提升自己的解題能力.

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