消元法在條件最值問(wèn)題中的應(yīng)用

【摘 要】條件最值問(wèn)題由于變量多、綜合性強(qiáng)、形式靈活多變、變量關(guān)系相互制約而頗具挑戰(zhàn)性，學(xué)生掌握起來(lái)有一定的難度。本文以消元法為例，著重介紹如何利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸思想來(lái)解題。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);化歸思想;消元法;條件最值問(wèn)題

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）34-0111-02

條件最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，一直以來(lái)是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，這類(lèi)問(wèn)題由于變量多、綜合性強(qiáng)、形式靈活多變、變量關(guān)系相互制約而頗具挑戰(zhàn)性，學(xué)生掌握起來(lái)比較困難。

筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，以消元法為例，著重介紹如何利用基本數(shù)學(xué)思想來(lái)解條件最值問(wèn)題。消元法屬于化歸思想的范疇，是實(shí)施化歸思想的重要方法和手段。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握消元法，不僅能夠幫助其鞏固知識(shí)、提高解題能力，而且可以加深其對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解[1]。

1? ?立足統(tǒng)一原則，代入消元

在高中數(shù)學(xué)中，學(xué)生常遵循化歸思想的統(tǒng)一原則，將條件和結(jié)論中的變量結(jié)合起來(lái)，采用直接代入消元的方法，使其表達(dá)形式簡(jiǎn)單化、規(guī)范化、單一化，從而達(dá)到解題的目的[2]。

點(diǎn)評(píng)：本題是基本不等式求最值中的典型題，難度不大。但此處主要是從消元的角度來(lái)求解，可以看到，代入消元后，本題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，解題思路和方法一下變得豐富起來(lái)，除用以上方法解函數(shù)的最值以外，還可采用以下方法求得函數(shù)的最值。

點(diǎn)評(píng)：本題的方法二是運(yùn)用函數(shù)思想，較為常規(guī)，學(xué)生易掌握;方法三是運(yùn)用方程思想，學(xué)生不易想到，但對(duì)鍛煉學(xué)生的思維有較大幫助。

2? ?根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，代換消元

對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生若按常規(guī)尋求解題思路，往往非常棘手。如果調(diào)整思路，根據(jù)條件自身結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)代換法，往往能茅塞頓開(kāi)，化難為易。

點(diǎn)評(píng)：條件中已知兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為1的最值問(wèn)題可以用三角換元法，最后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題求解。

點(diǎn)評(píng)：方法二使用目標(biāo)代換法，其本質(zhì)是“執(zhí)果索因”，假設(shè)目標(biāo)已經(jīng)存在，從目標(biāo)出發(fā)，通過(guò)消元，得到一個(gè)含參的一元二次方程，利用方程的思想解決問(wèn)題。

3? ?遵循化歸思想，逐步消元

化歸思想是高中數(shù)學(xué)中最核心的數(shù)學(xué)思想方法，化歸的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以及事物之間相互聯(lián)系、相互制約的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題得以解決。

點(diǎn)評(píng)：多元變量最值問(wèn)題的難點(diǎn)很多時(shí)候在于變量的個(gè)數(shù)，如果研究條件等式，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多情況下需要消元來(lái)化簡(jiǎn)式子，三元變兩元，兩元變一元，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題[3]。

以上例題中，消元法將化歸思想體現(xiàn)得淋漓盡致?；瘹w不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式，能化生疏為熟悉，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化抽象為直觀，它的魅力不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，也體現(xiàn)在生活中。

【參考文獻(xiàn)】

[1]欒啟海.用消元法求最值[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2010（8）.

[2]李志遠(yuǎn).分析高中數(shù)學(xué)變量代換解題方法[J].神州·上旬，2019（4）.

[3]林森.淺談幾種常見(jiàn)的代換方法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，1998（1）.

【作者簡(jiǎn)介】

馮曉梅（1976～），女，土家族，重慶石柱人，本科，中學(xué)一級(jí)教師。研究方向：數(shù)學(xué)教育。