極限運(yùn)算時最容易忽略的兩個問題

丁艷風(fēng)

【摘要】極限是分析學(xué)科的工具.本文主要論述了初學(xué)者在求極限時易忽略的兩種情況：首先分析了等價無窮小代換在加減中怎么使用，從而避免學(xué)生在求極限時發(fā)生類似的錯誤;其次分析了當(dāng)函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜時，如何使用泰勒公式簡化函數(shù)，便于求極限，同時總結(jié)了使用泰勒公式的技巧，為學(xué)生后續(xù)求極限提供了解題效率更高的方法.

【關(guān)鍵詞】極限;等價無窮小代換;泰勒公式;麥克勞林公式

引 言

高等數(shù)學(xué)的研究對象是函數(shù)，而研究函數(shù)的工具是極限.這就決定了高等數(shù)學(xué)中的許多基本概念都以極限思想為基石，因此，學(xué)好極限對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著舉足輕重的作用.函數(shù)的極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，而選擇極限的計算方法的合適與否，直接關(guān)系到計算過程是否簡便快捷及計算結(jié)果是否正確.筆者通過大量的實(shí)踐教學(xué)發(fā)現(xiàn)：在求極限的過程中，學(xué)生最易忽略也最易出錯的兩個問題：一、等價無窮小代換在加減中的使用;二、泰勒公式在求極限中的化繁為簡的運(yùn)用.針對以上兩個問題筆者利用例子來分析和研究.

一、等價無窮小代換在加減中的使用

等價無窮小代換是解決 “00”型未定式極限的一個非常有效的途徑和手段.在高等數(shù)學(xué)教材中，等價無窮小代換定理僅僅以極限積或商的形式表現(xiàn)等價無窮小代換，并沒有給出該方法的使用局限性和適用范圍.特別是對于解決“0-00”或“0+00”型未定式極限時，學(xué)生在利用等價無窮小代換定理計算極限時往往容易出錯，究其原因是學(xué)生沒有弄清楚代換的條件及對象.另外就是對無窮小的等價概念模糊不清，導(dǎo)致出現(xiàn)許多學(xué)生亂套公式的現(xiàn)象.因此，教師應(yīng)對此問題加以強(qiáng)調(diào)和關(guān)注.

1.幾種常見的等價無窮小

首先弄清楚一個概念：無窮小是相對于一個極限過程而言的，一個變量在某個極限過程中是無窮小量，在另一個極限過程中就不一定是無窮小量了.如sin x在x→0時是無窮小量，但是在x→1或x→π2時，都不是無窮小量，所以在使用等價無窮小代換時首先應(yīng)準(zhǔn)確判斷一個量是否為無窮小量.

顯然，我們在滿足定理?xiàng)l件時使用等價無窮小代換就不會出錯了.其實(shí)，除了分子是某兩個等價無窮小量的和或差可以用等價無窮代換外，分母是兩個無窮小量的和或差也有相同的結(jié)論，因?yàn)橛邢旅娴亩ɡ?

當(dāng)然，若先使用換元法把x2化為t，再使用洛必達(dá)法則也很容易就能解決本題;也可以使用泰勒公式進(jìn)行計算，這就是我們接下來要講的另一個學(xué)生不易想到的問題.

二、泰勒公式在求極限中的化繁為簡的運(yùn)用

求函數(shù)極限的方法有很多，對于“00”“∞∞”等型未定式，我們常用的是洛必達(dá)法則，此法則簡單易掌握，但具有一定的局限性，即對于繁雜的函數(shù)并不適用.當(dāng)遇到使用洛必達(dá)法則求極限越求導(dǎo)越麻煩時，我們不妨換一下思路，利用泰勒公式進(jìn)行求解，因?yàn)樘├展讲粌H能起到化繁為簡的作用，也能解決大多方法解決不了的問題.接下來，我們將對利用泰勒公式計算“00” 型未定式極限的方法進(jìn)行探討.

1.泰勒公式和麥克勞林公式

由a，b和c可知，由于每個函數(shù)變量的冪次不同，它們展開的次方也多少有點(diǎn)差異.若將三個函數(shù)展開到x的3階以下，無法求出正確的極限;若將三個函數(shù)展開到x的6階以上，可以正確求出極限，但x6后面的更高階的因式與x4作商求極限后均為 0，無計算的必要，所以三個函數(shù)sin x2，sin x，sin 2x分別展開到6階、5階、5階最合適.故由例3可以總結(jié)如下：

利用泰勒公式對形如“ 00” 型未定式求極限，遵循 “上下幾乎同階原則”，即將分子上的函數(shù)展開到與分母同冪次或接近的項(xiàng)即可.

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