探尋數(shù)學(xué)思想的實(shí)際應(yīng)用與價(jià)值

王明建

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂. 它具有協(xié)助學(xué)生感受知識(shí)的本質(zhì)、構(gòu)建知識(shí)、啟發(fā)思維、提高解題能力等重要作用. 當(dāng)前，部分教育者仍未完全認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用價(jià)值. 因此，文章從以下三方面具體談?wù)剶?shù)學(xué)思想的實(shí)際應(yīng)用與價(jià)值：數(shù)形結(jié)合思想，形成直觀理解;函數(shù)與方程思想，簡(jiǎn)化問(wèn)題難度;分類討論思想，優(yōu)化解題思路.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思想;數(shù)形結(jié)合;分類討論思想

思想是指客觀事物經(jīng)思維活動(dòng)后反映在人類意識(shí)中的一種產(chǎn)物. 數(shù)學(xué)思想作為科學(xué)思想的一類，能優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知與思維結(jié)構(gòu)，協(xié)助學(xué)生形成新的知識(shí)體系. 教學(xué)中，利用數(shù)學(xué)思想能將互不相干的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系到一起，在知識(shí)的互相轉(zhuǎn)化中，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度.

復(fù)習(xí)是對(duì)知識(shí)的整理、歸納與提煉的階段，怎樣靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，提高解題能力，發(fā)展思維水平是教師所關(guān)注的問(wèn)題. 實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用是實(shí)現(xiàn)這一切的手段之一. 因此，筆者就常見的幾種數(shù)學(xué)思想的實(shí)際應(yīng)用與價(jià)值談一些認(rèn)識(shí).

數(shù)形結(jié)合思想，形成直觀理解

數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生較早接觸到的一類思想，學(xué)生在接受數(shù)學(xué)啟蒙時(shí)就會(huì)涉及這類數(shù)學(xué)思想. 它能將抽象的文字知識(shí)用直觀的圖形來(lái)表達(dá)，讓學(xué)生能一目了然地理解題意，找出問(wèn)題的癥結(jié). 在高中階段，隨著教學(xué)難度的加大，抽象性也越來(lái)越強(qiáng). 有些試題光理解文字就需要費(fèi)一番功夫，而圖形結(jié)合的使用則能將很多邏輯性很強(qiáng)的東西直觀地表達(dá)出來(lái)，讓一些非常抽象的問(wèn)題變得直觀、易懂.

數(shù)形結(jié)合思想不僅能將抽象的知識(shí)用圖形表示，同時(shí)也具有將圖形轉(zhuǎn)化為文字的重要作用. 不論是“以形助數(shù)”還是“以數(shù)解形”，都具有幫助學(xué)生化繁為簡(jiǎn)、優(yōu)化解題方法的重要作用. 因此，數(shù)學(xué)思想是學(xué)好數(shù)學(xué)的根本，它對(duì)學(xué)生各種能力的培養(yǎng)有著無(wú)可替代的重要價(jià)值.

本題涉及用數(shù)形結(jié)合思想解決取值范圍的問(wèn)題，此類問(wèn)題的解題關(guān)鍵點(diǎn)在于用一定的方法在直角坐標(biāo)系中作出方程的曲線，在此基礎(chǔ)上將待求的最值轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的直線在y軸的截距，觀察繪制而成的圖形，基本就能解出本題.

根據(jù)數(shù)與形之間存在的聯(lián)系，將它們進(jìn)行相對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)化來(lái)激活學(xué)生的思維，使得難以理解的抽象問(wèn)題變得直觀、具體、通俗化. 因此，數(shù)形結(jié)合的方式能有效地幫助學(xué)生理解問(wèn)題的內(nèi)涵，它充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的靈活性與規(guī)律性等特征.

函數(shù)方程思想，優(yōu)化解題思路

函數(shù)思想是從變化和運(yùn)動(dòng)的角度去思考與解析數(shù)學(xué)對(duì)象之間存在的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)后，利用函數(shù)的性質(zhì)或圖像對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化、分析與解決. 函數(shù)思想在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用較廣泛，它具有加強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解，從函數(shù)的角度去分析、思考并解決問(wèn)題等作用. 因此，它不僅能激活學(xué)生的思維，還能讓學(xué)生在問(wèn)題的分析與解決中培養(yǎng)思維品質(zhì).

方程思想指根據(jù)問(wèn)題中存在的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組. 它與函數(shù)思想的共性是構(gòu)建新的模型轉(zhuǎn)換原問(wèn)題，以簡(jiǎn)化問(wèn)題難度，從而順利解決問(wèn)題. 方程思想更全面地詮釋了變量中的等量關(guān)系，將抽象的問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔化.

通常情況下，這兩種數(shù)學(xué)思想有著密切的聯(lián)系. 高中數(shù)學(xué)中不少涉及函數(shù)的問(wèn)題都是用方程來(lái)解決的，同時(shí)又有不少方程類的問(wèn)題，是運(yùn)用函數(shù)來(lái)解決的. 因此，它們之間存在著一定的辯證關(guān)系. 這兩種數(shù)學(xué)思想的使用能進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生的思維與解題方法.

使用函數(shù)處理各種數(shù)學(xué)問(wèn)題是常態(tài)，尤其是關(guān)系到數(shù)列的問(wèn)題，基本都可以用函數(shù)思想來(lái)解決. 數(shù)列前n項(xiàng)的和或通項(xiàng)都是正整數(shù)的函數(shù)，解題中從變量與函數(shù)的角度去觀察與分析問(wèn)題，會(huì)簡(jiǎn)化問(wèn)題的難度，使得解題水到渠成. 學(xué)生的思維也在函數(shù)思想的刺激下得以有效發(fā)展，這也為學(xué)生解題能力的發(fā)展與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升奠定基礎(chǔ).

分類討論思想，簡(jiǎn)化問(wèn)題難度

分類討論思想是將一個(gè)完整的問(wèn)題，通過(guò)分割或分解的方式，轉(zhuǎn)化為若干個(gè)子問(wèn)題，再逐個(gè)突破子問(wèn)題，以達(dá)成解決整個(gè)問(wèn)題的目的. 此數(shù)學(xué)思想在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，占有相當(dāng)重要的位置，它最大的優(yōu)勢(shì)在于分解復(fù)雜的問(wèn)題，簡(jiǎn)化問(wèn)題難度. 分類時(shí)，必然涉及一個(gè)分類的條件或標(biāo)準(zhǔn)，此標(biāo)準(zhǔn)即相當(dāng)于為原題增設(shè)了一個(gè)已知條件，作用為將一個(gè)難度系數(shù)偏大的問(wèn)題分解為一系列難度系數(shù)較小的基礎(chǔ)性問(wèn)題.

一般分類討論的解題，我們可遵循以下幾個(gè)步驟：①首先應(yīng)確定本題待分類的對(duì)象（參數(shù)或變量）;②進(jìn)行合理分類，明確可以分為哪幾類;③根據(jù)分類情況將分好類的問(wèn)題一個(gè)一個(gè)突破;④匯總分類討論的結(jié)論，作解題的最終總結(jié).

此題中，a的取值范圍對(duì)函數(shù)的性質(zhì)產(chǎn)生了直接的影響，因而需要分兩種情況進(jìn)行討論. 本題分為a>1與0

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的短期目標(biāo)是面對(duì)高考，從高考命題者的角度出發(fā)，數(shù)學(xué)考核絕對(duì)不是考查孤立的知識(shí)點(diǎn)，而是考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，即完整的知識(shí)體系與數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用. 而從高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)來(lái)看，為的是發(fā)展學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的可持續(xù)性發(fā)展能力與核心素養(yǎng). 因此，教師應(yīng)從思想上重視數(shù)學(xué)思想的滲透與應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生積極開動(dòng)腦筋，拓展解題思路，將更多、更好的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于日常學(xué)習(xí)中，以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.

其實(shí)，常用的數(shù)學(xué)思想除了以上幾種之外，還有其他很多類，如特殊與一般、轉(zhuǎn)化與化歸等. 想讓學(xué)生達(dá)到知識(shí)的靈活運(yùn)用與能力的提升，就應(yīng)從課堂教學(xué)的方方面面關(guān)注數(shù)學(xué)思想的歸納、提煉與整理，以簡(jiǎn)化問(wèn)題的難度，優(yōu)化學(xué)生的思維，提升題解能力.

總之，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律理性的認(rèn)識(shí)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的除了理解與掌握相應(yīng)的知識(shí)與技能外，更重要的是思維習(xí)慣與核心素養(yǎng)的培養(yǎng). 教師將各種數(shù)學(xué)思想滲透于教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，能促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，針對(duì)不同的問(wèn)題選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決. 如此，可避免學(xué)習(xí)的隨意性與盲目性，達(dá)到學(xué)習(xí)效益最大化的教學(xué)目的.

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