關注“四心”定義 關聯知識探究

胥慶

[摘 ?要] 三角形的“四心”中隱含了一定的特征性質，從向量視角深入剖析可獲得相應的向量結論，對于探索定義本質，破解幾何與向量問題有著一定的幫助. 文章結合實例拓展探究三角形的“四心”，并深入反思，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 三角形;四心;向量;共線;建模

探究背景

平面向量既是高中數學的重點知識，也是研究數學的工具，可實現幾何與代數問題的互化，即可利用向量將幾何問題代數化，也可將代數問題幾何化. 向量與幾何有著緊密的聯系，可借助平面向量來研究三角形的“四心”，即重心、垂心、內心和外心. 三角形的“四心”是從幾何視角進行的定義，“四心”對應了一定的幾何性質，實際上可從向量視角探尋“四心”與向量的關系，探究過程需立足性質定義，構建知識關聯.

反思總結

三角形“四心”的定義性質較為簡單，從向量視角來分析則可以獲得獨特的結論，這也是高中對“四心”考查的重要形式，即從向量視角對三角形定量分析，挖掘性質定理的內涵. 而在實際教學中建議采用分環(huán)節(jié)探討、遞進式挖掘的方式，逐步探討知識本質，構建解題思路.

1. 立足定義，探究性質

三角形的“四心”定義容易理解，探究學習的重點是挖掘性質，形成知識鏈. 以三角形“內心”為例，其是角平分線的交點，由角平分線的性質可知內心為三角形內切圓的圓心，從而形成“內心定義→角平分線性質→內切圓關系”的知識鏈，同理可知三角形的“外心”與三角形外接圓密切相關. 教學中教師可以采用對比探究的方式，分析三角形“四心”的性質特征，進行知識關聯，深刻理解定義背后的知識本質.

2. 向量分析，總結結論

向量是研究幾何圖形的重要工具，可將傳統的性質定理轉化為代數運算，實現幾何定量分析，相較于傳統的幾何推理，該方法體現了向量中數與形的二元結合，這也是從向量視角探究三角形“四心”的意義所在. 利用向量分析三角形“四心”，應注重兩點：一是體現定義的性質特征，二是論證向量結論. 在探究過程中，教師要注重推理的邏輯性，引導學生把握證明原理，靈活運用共線、等積、變形等方法技巧，由此提升學生的論證能力.

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