“類(lèi)比”視角下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

趙利琴

[摘 ?要] “類(lèi)比”不僅是數(shù)學(xué)思維的“法寶”，也是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的“法寶”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中“類(lèi)同”，在數(shù)學(xué)方法學(xué)習(xí)中“類(lèi)異”，在數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)中“類(lèi)推”。通過(guò)類(lèi)比學(xué)習(xí)，不僅有助于學(xué)生建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)新知，更能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] “類(lèi)比”視角;類(lèi)同;類(lèi)異;類(lèi)推

所謂“類(lèi)比”，是指“一種找出兩個(gè)或者兩個(gè)以上事物的某些相同、相異、相似、相反等特征，將一事物的有關(guān)屬性、特質(zhì)推移到另一事物的過(guò)程”。“類(lèi)比”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常用的一種思想方法、策略方式。“類(lèi)比”不僅是數(shù)學(xué)思維的“法寶”，也是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的“法寶”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，實(shí)施類(lèi)比教學(xué)，能豐富學(xué)生的想象力，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)、結(jié)構(gòu)，從而深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。類(lèi)比教學(xué)，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極遷移，能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能?；凇邦?lèi)比”視角，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要深入發(fā)掘類(lèi)比思維的時(shí)空，穩(wěn)固類(lèi)比思維的根脈，對(duì)不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行不同的類(lèi)比。通過(guò)比較、分析，引導(dǎo)學(xué)生積極地求同、求異、求似，進(jìn)而助推學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移。

一、在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中“類(lèi)同”

概念是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，是數(shù)學(xué)知識(shí)的基本組成要素。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要深入研究概念教學(xué)。從根本上說(shuō)，概念教學(xué)有兩個(gè)主要的方面：一是引導(dǎo)學(xué)生把握概念的內(nèi)涵，二是引導(dǎo)學(xué)生把握概念的外延。概念學(xué)習(xí)過(guò)程說(shuō)到底就是去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的抽象化、概括化的過(guò)程。抽象、概括是概念學(xué)習(xí)的重要思想。作為教師，要善于引導(dǎo)學(xué)生舍棄數(shù)學(xué)概念的非本質(zhì)屬性，提煉概念的本質(zhì)屬性，這個(gè)過(guò)程需要學(xué)生展開(kāi)積極的“類(lèi)同”。

為此，在概念教學(xué)中，教師要給學(xué)生提供與概念有關(guān)聯(lián)的多樣、豐富的素材，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、抽象和概括。這個(gè)過(guò)程偏重于同化建構(gòu)、上位遷移。其中，一種是同類(lèi)事物的抽象、提煉;另一種是跨層次事物的抽象、提煉。比如教學(xué)“高”這一概念，需要教師循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知。首先是學(xué)習(xí)三角形的高，其次是學(xué)習(xí)平行四邊形的高，再次是學(xué)習(xí)梯形的高，等等。比如教學(xué)“三角形的高”這一概念，教師不僅要呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)范式，還要呈現(xiàn)多樣的非標(biāo)準(zhǔn)的其他范式。如銳角三角形的三條高、直角三角形的三條高、鈍角三角形的三條高等。以“銳角三角形的高”為例，教師不僅可以變化三角形的位置，還可以改變?nèi)切蔚姆较颍鹊?。通過(guò)多元化變式引導(dǎo)學(xué)生建立本質(zhì)意義上的“三角形的高”的概念。在此基礎(chǔ)上教學(xué)“平行四邊形的高”，就可以從圖形特征、數(shù)學(xué)概念、位置關(guān)系、知識(shí)關(guān)聯(lián)等方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比。比如在圖形特征方面，三角形的高是頂點(diǎn)到底邊的垂直距離，因此平行四邊形的高就是頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直距離。為此，筆者重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生思考經(jīng)過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)幾條高、經(jīng)過(guò)平行四邊形的頂點(diǎn)可以畫(huà)幾條高，等等。比如在位置關(guān)系方面，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比三角形的高的位置和平行四邊形的高的位置，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到三角形的高只有三條，而平行四邊形的高卻有無(wú)數(shù)條，在平行四邊形的兩條平行邊之間的垂直線段的長(zhǎng)度都是平行四邊形的高，等等。通過(guò)“三角形的高”“平行四邊形的高”以及“梯形的高”等概念的建立，才能幫助學(xué)生有效地建構(gòu)“高”的概念。顯然，這個(gè)過(guò)程是一個(gè)“類(lèi)同”的過(guò)程，它能集中、有效地體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

概念教學(xué)過(guò)程中的“類(lèi)同”，要讓學(xué)生思考并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述對(duì)象的共同要素和邏輯關(guān)系。這個(gè)過(guò)程需要引導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷解構(gòu)、變換、類(lèi)比等思維、想象的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)對(duì)比，從而讓學(xué)生厘清易于混淆的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行查漏補(bǔ)缺;要引導(dǎo)學(xué)生有效地梳理和整合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生掌握相關(guān)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)的大概念、高端點(diǎn)等，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成。

二、在數(shù)學(xué)方法教學(xué)中“類(lèi)異”

“類(lèi)同”是一個(gè)從多樣化到本質(zhì)化、單一化的思維、推理過(guò)程。與此相反，“類(lèi)異”就是運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象或直觀想象，幫助學(xué)生建構(gòu)不同的數(shù)學(xué)模型、實(shí)施多樣化應(yīng)用的過(guò)程。在數(shù)學(xué)方法教學(xué)中，教師要有效地利用“類(lèi)異”，豐富學(xué)生在情境中實(shí)踐應(yīng)用的感受與體驗(yàn)。換言之，同樣的數(shù)學(xué)法則、定理等在不同的情境中有著不同的應(yīng)用。

比如行程問(wèn)題總體的解題方法、公式、策略等是“路程=速度×?xí)r間”，但在具體的應(yīng)用過(guò)程中可以分為“相遇問(wèn)題”和“追及問(wèn)題”，因而解題方法、公式、策略等就相應(yīng)地演變?yōu)榱恕奥烦毯?速度和×相遇時(shí)間”“路程差=速度差×追及時(shí)間”。不僅如此，在“相遇問(wèn)題”中，又可以分為“相向而行問(wèn)題”和“相背而行問(wèn)題”，而且在這些問(wèn)題中，情境又有著豐富的變化，如“同時(shí)出發(fā)”“先出發(fā)”“中途休息”等。不同的問(wèn)題情境必然要對(duì)公式、方法等進(jìn)行變異應(yīng)用。比如這樣的一道習(xí)題就需要教師引導(dǎo)學(xué)生從整體上進(jìn)行思考：“甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地相對(duì)勻速開(kāi)出，到達(dá)終點(diǎn)后迅速返回，第一次在距離A地50千米處相遇，第二次在距離B地30千米處相遇，兩地相距多少千米？”第一次相遇，甲、乙兩車(chē)一共行駛了一個(gè)全程，其中甲車(chē)行駛了50千米;第二次相遇，甲、乙兩車(chē)一共行駛了三個(gè)全程，甲車(chē)行駛了三個(gè)50千米，也就是150千米;而這時(shí)甲車(chē)也行駛了一個(gè)全程再加上30千米，因此全程是120千米。這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用了基本行程問(wèn)題的解題方法，但卻不是簡(jiǎn)單的應(yīng)用，而是一種情境變化式的靈活應(yīng)用。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，這樣的解題方法“類(lèi)異”的問(wèn)題有很多，比如著名的“蘇步青問(wèn)題”，即“兩人從相距3000米的兩地相向而行，甲每分鐘行140米，乙每分鐘行160米，甲帶著一只狗，狗每分鐘行250米。狗同甲一起出發(fā)后，遇到乙時(shí)即轉(zhuǎn)身向甲走，如此反復(fù)，直至甲、乙兩人和狗同時(shí)相遇，狗一共走了多少米？”在解決這類(lèi)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生需要運(yùn)用的就是行程問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系。但顯然，這不是機(jī)械地套用，而是要求學(xué)生靈活地、靈動(dòng)地應(yīng)用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師首先要讓學(xué)生掌握最基本的數(shù)量關(guān)系，如工程問(wèn)題的“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”，倍比問(wèn)題的“一份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)量”，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的“單位‘1’的量×分率=比較量”，等等。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生靈活遷移所學(xué)的知識(shí)、方法、策略，引導(dǎo)學(xué)生有效地觀察、猜想、思考、類(lèi)比、發(fā)現(xiàn)，幫助學(xué)生解決問(wèn)題。

三、在數(shù)學(xué)原理教學(xué)中“類(lèi)推”

所謂“原理”，是指“具有普遍意義的基本規(guī)律”。數(shù)學(xué)中的原理、公理、定理、法則等是人們?cè)诖罅康挠^察、實(shí)踐的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)比較、歸納、概括、推理而形成的。作為教師，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極地進(jìn)行“類(lèi)推”，從一類(lèi)原理、定理、法則等類(lèi)比出有關(guān)聯(lián)的其他原理、定理、法則等。通過(guò)這樣的“類(lèi)推”，助推學(xué)生自主建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識(shí)。

比如教學(xué)“比的基本性質(zhì)”，教師就可以從學(xué)生已掌握的數(shù)學(xué)原理“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“小數(shù)的性質(zhì)”等展開(kāi)教學(xué)。一方面，教師要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)“比與分?jǐn)?shù)、比與除法的聯(lián)系與區(qū)別”，另一方面要幫助學(xué)生復(fù)習(xí)“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，從而催生、喚醒、激活學(xué)生的“類(lèi)推”心理，產(chǎn)生“類(lèi)推”動(dòng)力，構(gòu)建新舊知識(shí)的鏈接點(diǎn)、新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)。在除法中有“商不變的規(guī)律”，在分?jǐn)?shù)中有“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，在小數(shù)中有“小數(shù)的性質(zhì)”，那么在比中是否有“比值不變的規(guī)律”，是否有“比的基本性質(zhì)”呢？正是通過(guò)“類(lèi)推”，能引導(dǎo)學(xué)生積極地、大膽地且符合情理地進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，并根據(jù)除法、分?jǐn)?shù)、小數(shù)和比的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，助推學(xué)生獨(dú)立地提出猜想、驗(yàn)證猜想，從而自主地建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。在數(shù)學(xué)原理的“類(lèi)推”過(guò)程中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“原理是什么”，更重要的是要引導(dǎo)學(xué)生思考、探究“原理為什么”。原理“類(lèi)推”的關(guān)鍵在于：深入理解事物的本質(zhì)，把握事物的內(nèi)容、形式、關(guān)系。通過(guò)“類(lèi)推”，學(xué)生能積極地、主動(dòng)地從一類(lèi)特定對(duì)象的原理、規(guī)律、性質(zhì)推導(dǎo)另一類(lèi)特定對(duì)象的原理、規(guī)律和性質(zhì)?？梢赃@樣說(shuō)，“類(lèi)推”是人類(lèi)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中經(jīng)常應(yīng)用的一種模式。通過(guò)“類(lèi)推”的思維模式，逐步培育學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思考”，讓學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的眼光”和“數(shù)學(xué)的大腦”。

“類(lèi)比”在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著無(wú)法比擬的作用。通過(guò)“類(lèi)比”，能幫助學(xué)生理順數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)聯(lián)系。數(shù)學(xué)概念的“類(lèi)同”、方法的“類(lèi)異”以及原理的“類(lèi)推”，其實(shí)質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提煉概念、方法、原理等的本質(zhì)，以及洞察概念、方法和原理等之間的聯(lián)系。引導(dǎo)學(xué)生完整經(jīng)歷“類(lèi)比”過(guò)程，不僅有助于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，還有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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