淺談定積分幾何應(yīng)用第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

謝麗娜

摘 要：高等數(shù)學(xué)“定分幾何應(yīng)用求面積”這一節(jié)微元法的教學(xué)內(nèi)容比較抽象，本文利用情景導(dǎo)入法，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，采用師生互動(dòng)的教學(xué)模式去突破本節(jié)重難點(diǎn)。通過(guò)這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，達(dá)到了較好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：定積分;微元法;求平面面積;教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材分析

《定積分幾何應(yīng)用》第一課時(shí)選自薛利敏主編《高等數(shù)學(xué)》第五章第六節(jié)。本節(jié)首先探索定積分解決實(shí)際問(wèn)題的方法----- 微元法 ，進(jìn)而利用微元法求解一些曲邊多邊形面積問(wèn)題。由于本章第一節(jié)學(xué)習(xí)定積分概念時(shí)是通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入的，因此本節(jié)課是前幾節(jié)的概括和升華。

二、學(xué)情分析

該課程的授課對(duì)象是機(jī)電一體化技術(shù)專業(yè)一年級(jí)的學(xué)生。具有一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和團(tuán)隊(duì)協(xié)作溝通能力。同時(shí)，已經(jīng)掌握了不定積分概念及運(yùn)算、定積分概念及幾何表示，定積分計(jì)算等，為本任務(wù)的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。但學(xué)生對(duì)抽象知識(shí)的理解能力相對(duì)較弱，學(xué)起微元法會(huì)很吃力，而且數(shù)形結(jié)合意識(shí)不強(qiáng)，利用微元法求解一些曲邊多邊形面積問(wèn)題還是有一定的難度。

三、目標(biāo)分析

1.知識(shí)目標(biāo)

使學(xué)生掌握定積分微元法解決幾何問(wèn)題的基本技巧，并使學(xué)生學(xué)會(huì)用微元法（元素法）去解決各種領(lǐng)域中的一些求平面多邊形的面積問(wèn)題;

2.能力目標(biāo)

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，以及觀察問(wèn)題、提出問(wèn)題等方面的能力。

3.情感目標(biāo)

通過(guò)任務(wù)驅(qū)動(dòng)，合作探究的學(xué)習(xí)過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生思考、探究等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

4.思政育人目標(biāo)

激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣;增強(qiáng)了學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作意識(shí);培養(yǎng)了吃苦耐勞的精神。

四、重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：用微元法求平面圖形的面積;

難點(diǎn)：如何選擇積分變量和確定被積函數(shù)。

五、教法學(xué)法

教法： 任務(wù)驅(qū)動(dòng)法和演示法;

學(xué)法：小組探究法和合作學(xué)習(xí)法。

六、教學(xué)過(guò)程

6.1? 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生興趣（課件同步展示）

1）百歲山的廣告你們知道其中的寓意嗎？（教師講述）

2）心形線圍成的封閉圖形面積如何求得？（學(xué)生討論，教師總結(jié)）

求心形線面積不能像中學(xué)求圓、矩形、梯形等面積，可利用現(xiàn)有的公式，但我們知道定積分概念是通過(guò)求曲邊梯形面積過(guò)程獲得的，所以及時(shí)設(shè)疑：

3）你們能從定積分概念的獲得過(guò)程，探討一種求心形線面積的方法嗎？（學(xué)生討論，教師總結(jié)）

總結(jié)：

學(xué)習(xí)定積分概念時(shí)，是通過(guò)分割、取近似、求和、取極限這四步得來(lái)的，通過(guò)這個(gè)過(guò)程不難發(fā)現(xiàn)能用定積分解決的問(wèn)題每次都用分割、取近似、求和、取極限過(guò)程非常復(fù)雜，而且關(guān)鍵是取近似、取極限，那么有沒(méi)有什么較好的方法去實(shí)現(xiàn)這兩步呢？（及時(shí)提出問(wèn)題，引出微元法。）

6.2? 微元法（課件同步展示）

1）復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)的微分，引出概念。

假如A是非均勻連續(xù)分布在區(qū)間上的量，在區(qū)間上任取一點(diǎn)x，我們把分布的量記為，則：

，

且在上? ，有：

利用微分定義，即有：

又由牛頓-萊布尼茨公式：

定義：這種將所求的量表示成微元積分的方法稱為微元法（元素法）

在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，我們根據(jù)具體問(wèn)題選取一個(gè)適當(dāng)?shù)淖宰兞浚ǚe分變量）例如x，若用 表示任一小區(qū)間（區(qū)間微元）上的窄曲邊梯形的面積，取點(diǎn)x處的函數(shù)值為高，dx為底的小矩形面積為（面積微元，也稱面積元素記為dA），所以：

即：

也即：

同學(xué)們，到此，你能講出利用微元法求平面圖形面積的步驟嗎？（進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)微元法的理解，并為后面處理具體問(wèn)題埋下伏筆。）（學(xué)生分組討論，教師和學(xué)生共同總結(jié)，）

總結(jié)：用微元法解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵步驟是：

第一步：在分布量區(qū)間上找一個(gè)小區(qū)間，找這個(gè)區(qū)間上的微元，即寫出;

第二步：微元積分。

6.3 解決課堂一開始提出的問(wèn)題，首尾呼應(yīng)，而且讓學(xué)生深刻感受數(shù)學(xué)課堂的邏輯性，應(yīng)用性。（課件同步展示）

求心形線所圍成平面圖形的面積？（學(xué)生分組解答，教師最后點(diǎn)評(píng)）

總結(jié)：通過(guò)了解數(shù)學(xué)文化，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題，使得學(xué)生和老師共同感悟數(shù)學(xué)之美。

6.4 練習(xí)反饋，鞏固新知。（課件同步展示，學(xué)生分組練習(xí)，比速度，比正確率，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣）

例1：求拋物線?? 與x軸所圍平面圖形的面積.

解：求拋物線與x軸所圍平面圖形如下圖，它與x軸交點(diǎn)為（0，0），（2，0），取x為積分變量，則? 在 任取一小區(qū)間 對(duì)應(yīng)的面積微元為 ：

，

于是所求面積：

例2：求橢圓??? 與x軸所圍平面圖形的面積.

解：橢圓的參數(shù)方程??? ，由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積，于是所求面積

例3：求曲線 與直線 x=0，x=π所圍平面圖形的面積.

解：如圖所示，它們交點(diǎn)為? ，取x為積分變量，則 ，在取一小區(qū)間，對(duì)應(yīng)的面積微元為，在任取一小區(qū)間 ，對(duì)應(yīng)的面積微元為，于是所求面積：

例4：求擺線 一拱與直線 x軸所圍平面圖形的面積.

解：如圖所示，取x為積分變量，則 ，在上任取一小區(qū)間，則對(duì)應(yīng)的面積微元為，

于是所求面積：

總結(jié)：用微元法求平面圖形面積具體解題步驟：

1）畫出草圖，求得曲線的交點(diǎn)坐標(biāo);

2）根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量;

3）把函數(shù)變形成積分變量的函數(shù)，從而確定被積函數(shù)和積分區(qū)間;

4）找微元;

5）計(jì)算定積分，求出面積。

（利用微元法去解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生充分體會(huì)到比“分割，取近似，求和，取極限”要方便得多。）

6.5 知識(shí)拓展。（培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)去解決自己專業(yè)問(wèn)題的能力。）

你們專業(yè)中遇到有求面積問(wèn)題嗎？請(qǐng)舉出實(shí)例，并用微元法加以求解。

6.6 課堂結(jié)束語(yǔ)。（為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)指明方向，并且認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)。）

定積分這個(gè)概念盡管抽象難懂，似乎與我們的生活相距甚遠(yuǎn)，但通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道它可以解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題，且作為一種工具，與我們的生活緊密相連。所以，數(shù)學(xué)無(wú)處不在，定積分無(wú)處不在。

6.7 教后反思。（“教然后知不足”，不僅有利于提高教學(xué)水平，而且認(rèn)識(shí)也會(huì)提高到一個(gè)新的高度。）

課堂一開始同學(xué)們就對(duì)“一封另類的情書”產(chǎn)生濃厚的興趣，通過(guò)教師的講解引發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考，循序漸進(jìn)，一環(huán)扣一環(huán)像畫布一樣展開課堂，最終完成了本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。

本節(jié)課教學(xué)流程符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。通過(guò)教師設(shè)疑，教師與學(xué)生探討，學(xué)生分組討論，教師和學(xué)生共同總結(jié)等環(huán)節(jié)，讓學(xué)生輕松理解微元法，并學(xué)會(huì)了用微元法求不規(guī)則平面圖形的面積。

經(jīng)驗(yàn)始于實(shí)踐。在以后的課堂教學(xué)中，我將從以下幾個(gè)方面持續(xù)改進(jìn)：一是從生活實(shí)例出發(fā)，將“枯燥乏味”的數(shù)學(xué)知識(shí)盡可能與實(shí)際生活充分聯(lián)系，讓學(xué)生身臨其境，感受到數(shù)學(xué)不僅來(lái)源于生活，而且用于生活;二是多了解學(xué)生的專業(yè)知識(shí)，課堂盡量引入專業(yè)實(shí)例，發(fā)掘數(shù)學(xué)為其專業(yè)服務(wù)的職責(zé);三是充分利用網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)資源，盡可能發(fā)揮互聯(lián)網(wǎng)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極作用。

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