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    淺析積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

    2016-07-06 01:10:58王巖巖劉偉
    大學(xué)教育 2016年6期
    關(guān)鍵詞:微元法積分

    王巖巖+劉偉

    [摘 要]積分理論從幾何學(xué)和物理學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題引出,在科學(xué)技術(shù)上獲得了廣泛的應(yīng)用。微元法是分析、解決幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等問(wèn)題的常用方法,也是從部分到整體的思維方法。生活中的許多實(shí)際問(wèn)題都可用微元法把所求量以定積分的形式表示出來(lái)。微元法體現(xiàn)的是一種極限思想,有利于發(fā)展我們的思維,促進(jìn)我們鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí),對(duì)自然科學(xué)的學(xué)習(xí)和研究都很有幫助。

    [關(guān)鍵詞]積分;積分中值定理;微元法

    [中圖分類號(hào)] [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437(2016)06-0167-02

    積分理論是從幾何學(xué)和物理學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題引出的,在科學(xué)技術(shù)上獲得了廣泛的應(yīng)用, 從而得到了快速的發(fā)展。為了能更有效地運(yùn)用積分,人們往往采用比較簡(jiǎn)捷的微元法對(duì)事物進(jìn)行分析。

    微元法是分析、解決幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等問(wèn)題的常用方法,也是從部分到整體的思維方法。用微元法使一些復(fù)雜的過(guò)程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的規(guī)律,可以快速地解決有關(guān)積分的問(wèn)題。因此,學(xué)生掌握好微元法對(duì)學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》課程及實(shí)際應(yīng)用具有重要的意義。

    一、定積分中微元法的理論分析

    (一)微元法的本質(zhì)

    微元法是定積分計(jì)算思想的簡(jiǎn)化。它把定積分求解過(guò)程中的分割、近似代替、作和、取極限四步濃縮為兩步,即化整為零求微元,積零為整求總量。應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),通常并不是通過(guò)我們所熟知的“分割,近似求和,取極限”等經(jīng)典步驟獲取定積分表達(dá)式的,而是利用更簡(jiǎn)單的微元法得到定積分表達(dá)式。微元法思想是微積分的主要思想,它在處理各類積分應(yīng)用問(wèn)題中是一脈相通的,也是學(xué)生學(xué)好各類積分的理論依據(jù)。

    (二)定積分中微元法的應(yīng)用條件

    選取微元時(shí)應(yīng)遵從的基本原則:

    (1)φ是與某個(gè)變量的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;

    (2)所求量φ關(guān)于分布區(qū)間[a,b]必須是代數(shù)可加的;(注:對(duì)于矢量,如力、動(dòng)量等,由于矢量的加減法不滿足代數(shù)可加性,所以遇到這種情況,是不能直接用微元法的,但可以進(jìn)行力的分解,使各個(gè)分力在同一條直線上)

    (3)微元法的關(guān)鍵是正確給出Δφ的近似表達(dá)式:

    Δφ≈f(x)dx;Δφ-f(x)Δx=o(Δx)。

    通常情況下,要驗(yàn)證Δφ-f(x)Δx為Δx的一個(gè)高階無(wú)窮小量是比較困難的。因此找微元時(shí),要特別謹(jǐn)慎。

    (三)微元法在定積分中的應(yīng)用步驟

    微元法解決定積分應(yīng)用問(wèn)題的步驟如下:

    (1)確定積分分布區(qū)間[a,b],大多采用投影法(如求曲邊梯形面積時(shí),可以將梯形的曲邊投影到x軸上;求楔體體積時(shí),可以將楔體投影到平面xOy上或者yOz上等);

    (2)找出微元dφ。在分布區(qū)間(積分區(qū)間)[a,b]上任取一點(diǎn)x,把該點(diǎn)x看做一個(gè)小區(qū)間,其長(zhǎng)度為dx,則該點(diǎn)x對(duì)應(yīng)的微元dφ一般是關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)f(和所求量φ有關(guān))與dx的乘積,即dφ=f(x)dx;

    二、積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

    (一)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

    某工廠技術(shù)人員告訴他的老板某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量關(guān)于時(shí)間的變化率為R′(t)=50+5t-0.6t2,現(xiàn)在老板想知道4個(gè)小時(shí)內(nèi)他的工人到底能生產(chǎn)出多少產(chǎn)品。如果我們假設(shè)這段時(shí)間為[1,5],生產(chǎn)的產(chǎn)品總量為R,則總產(chǎn)量R在t時(shí)刻的產(chǎn)量,即微元dR=R′(t)dt=(50+5t-0.6t2)dt。因此,在[1,5]內(nèi)總產(chǎn)量為

    (二)壓縮機(jī)做功問(wèn)題

    在生產(chǎn)生活過(guò)程中,壓縮機(jī)做功問(wèn)題由于關(guān)系到能源節(jié)約問(wèn)題,因此備受大家關(guān)注。假設(shè)地面上有一個(gè)底半徑為5 m, 高為20 m的圓柱形水池, 往里灌滿了水。如果要把池中所有的水抽出,則需要壓縮機(jī)做多少功?此時(shí),由于考慮到池中的水被不間斷地抽出,可將抽出的水分割成不同的水層。同時(shí), 把每層的水被抽出時(shí)需要的功定義為功微元。這樣,該問(wèn)題就可通過(guò)微元法解決了。 具體操作如下: 將水面看做是原點(diǎn)所在的位置, 豎直向下做x軸。當(dāng)水平從x處下降了dx時(shí), 我們近似地認(rèn)為厚度為dx的這層水都下降了x,因而這層水所做的功微元dw≈25πxdx(J)。當(dāng)水被完全抽出, 池內(nèi)的水從20 m下降為 0 m。根據(jù)微元法, 壓縮機(jī)所做的功為W=25πxdx=15708(J) 。

    (三)液體靜壓力問(wèn)題

    在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中,為了保證農(nóng)田的供水,常常需要建造各種儲(chǔ)水池。因此,我們需要了解有關(guān)靜壓力問(wèn)題。在農(nóng)田中有一個(gè)寬為 4 m, 高為3 m, 且頂部在水下 5 m的閘門, 它垂直于水面放置。此閘門所受的水壓力為多少?我們可以考慮將閘門分成若干個(gè)平行于水面的小長(zhǎng)方體。此時(shí), 閘門所受的壓力可看做是小長(zhǎng)方體所受的壓力總和。 當(dāng)小長(zhǎng)方體的截面很窄的情況下, 可用其截面沿線上的壓強(qiáng)來(lái)近似代替各個(gè)點(diǎn)處的壓強(qiáng)。 任取一小長(zhǎng)方體,其壓強(qiáng)可表示為1·x=x, 長(zhǎng)方體截面的面積為ΔA=4dx, 從而ΔF≈x·4dx, 進(jìn)一步, 有

    利用微元法求解定積分,還可以解決很多實(shí)際工程問(wèn)題,關(guān)鍵是要掌握好換“元” 的技巧。這就需要我們解決問(wèn)題時(shí),要特別注意思想方法。思想方法形式多種多樣,如以直代曲、以均勻代不均勻、以不變代變化等。

    三、重積分的應(yīng)用

    重積分是研究曲面面積、求空間物體體積、計(jì)算物體的質(zhì)量和解決一些實(shí)際問(wèn)題等方面的有力工具。

    微元法是分析、解決幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等問(wèn)題的常用方法,也是從部分到整體的思維方法。生活中的許多實(shí)際問(wèn)題都可用微元法把所求量以定積分的形式表示出來(lái)。 我們?cè)谑褂眠@種方法時(shí),要把問(wèn)題的共性和特性聯(lián)系在一起。 這樣才能靈活運(yùn)用微元法, 并加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考。另一方面,微元法體現(xiàn)的是一種極限思想,這種極限思想有利于發(fā)展我們的思維,培養(yǎng)我們的能力,對(duì)自然科學(xué)的學(xué)習(xí)和研究有很大的幫助。

    [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

    [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析 (上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2001.

    [2] 陶華.微元法及其應(yīng)用探討[J].徐州建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2008,7(6):49-51.

    [3] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué) (上冊(cè))[M].北京: 高等教育出版社,2001.

    [4] 張樹(shù)民.微元法在物理中的應(yīng)用[J].渤海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,30(1):40-42.

    [5] 陳玉,賀秋林.微元法原理探究[J].工科數(shù)學(xué),2011,17(3):95-96.

    [6] 吉林師范大學(xué)編.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京:北京人民教育出版社,1978.

    [7] 王梅.淺談定積分的應(yīng)用[J].重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2007,5(2):35-40.

    [8] 王志強(qiáng),劉彩霞.積分微元法及其應(yīng)用研究[J].湖北第二師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009,26(8):9-10.

    [9] 宋明娟,王春.微積分(上冊(cè))[M].北京: 清華大學(xué)出版社,2008.

    [10] 歐陽(yáng)光中,周淵.復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析 (第三版)[M]. 上海:復(fù)旦大學(xué)出版社, 2007.

    [11] 楊奇,毛云英.微積分及其應(yīng)用(第八版)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.

    [責(zé)任編輯:鐘偉芳]

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