淡水田螺縫合線擬合

唐文獻(xiàn)+吳文樂+張建

摘要：根據(jù)淡水田螺的生物特性，首次研究田螺殼螺旋形幾何形狀（縫合線）特征及其分布規(guī)律。首先，對田螺殼表面螺旋部和縫合螺旋線等形狀特征進(jìn)行逆向掃描和特征統(tǒng)計(jì)；其次，通過Origin軟件并結(jié)合微元法思想擬合出二維螺旋線的數(shù)學(xué)表達(dá)式；在此基礎(chǔ)上建立螺殼三維螺旋線的評(píng)價(jià)指標(biāo)集。結(jié)果表明，擬合出的2種螺旋線的數(shù)學(xué)表達(dá)式與田螺縫合線相似度極高，從而為農(nóng)業(yè)中螺殼形狀描述研究與仿生應(yīng)用提供依據(jù)。

關(guān)鍵詞：田螺；螺旋線；微元法；仿生

中圖分類號(hào)： S11+9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)：1002-1302（2017）01-0189-04

仿生學(xué)是生命科學(xué)與機(jī)械、材料、信息等工程技術(shù)學(xué)科相結(jié)合的交叉學(xué)科，具有鮮明的創(chuàng)新性和應(yīng)用性。仿生學(xué)旨在研究和模擬生物體的結(jié)構(gòu)、功能、行為及其調(diào)控機(jī)制，為工程技術(shù)提供新的設(shè)計(jì)理念、工作原理、系統(tǒng)構(gòu)成[1-3]。

田螺廣泛分布于湖泊、溪流、池塘、沼澤地、水田、小溝澗等，在寒冷的冬季鉆入泥土中不食不動(dòng)，待到春暖時(shí)期從泥土中向外爬行。觀察常見的螺可發(fā)現(xiàn)，螺無論長幼，螺殼的外形總相似[4]。田螺殼本身是一個(gè)完整的右旋螺線結(jié)構(gòu)，殼大、薄而堅(jiān)固，螺殼的生長從殼頂外開始，順著螺管的殼口進(jìn)行，繞著一根假想中的縱軸螺旋式前進(jìn)。這種生長方式不僅能維持螺殼基本形狀不變，且無須浪費(fèi)過多的貝殼質(zhì)，使其得到足夠的內(nèi)存空間。陳詩白以北戴河碧螺塔為具體工程實(shí)例，探討了如何采用仿生技術(shù)開展建筑設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)體系與仿生形態(tài)的一致化[5]。Paolo等對具有代表性的螺旋形仿生建筑進(jìn)行分析，找出了制約結(jié)構(gòu)技術(shù)在形態(tài)仿生中開拓發(fā)展的原因，認(rèn)為形態(tài)仿生具有廣闊的發(fā)展前景[6]。劍橋大學(xué)研究表明，有望將螺殼的多種生物學(xué)特性在航天、航海事業(yè)中推廣應(yīng)用。然而，現(xiàn)有的螺殼仿生主要集中于建筑行業(yè)，仿生只是基于外觀相似，如果將其應(yīng)用于航天、航海事業(yè)，沒有基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的理論支撐將具有潛在危險(xiǎn)[7]。

本研究針對螺殼的高強(qiáng)度、大空間、減黏脫附等特性，從數(shù)學(xué)角度推導(dǎo)出螺殼螺旋線的表達(dá)形式，為農(nóng)業(yè)中螺殼形狀研究與仿生海工及航天裝備設(shè)計(jì)提供數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。

1 生物學(xué)試驗(yàn)

試驗(yàn)基于光學(xué)三角原理，采用高精度德國ATOSⅡ型光學(xué)掃描儀（技術(shù)指標(biāo)：單幅測量范圍為500×380 mm2；2×2 M像素的CCD相機(jī)，分辨率為1 624×1 236像素）對螺殼進(jìn)行生物學(xué)測試，提取殼體表面縫合線的參數(shù)值，研究其滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系并建立數(shù)學(xué)表達(dá)方程。

以5個(gè)典型田螺為對象進(jìn)行三維掃描，得出螺殼模型。田螺為活性不封閉生物體，體內(nèi)存在肉質(zhì)，試驗(yàn)前需進(jìn)行預(yù)處理，具體操作方法為：將5個(gè)外觀相同的成年田螺置于玻璃器皿中，禁食24 h，注入沸水0.5 h后，田螺失去活性，將其內(nèi)部肉質(zhì)去除并清理，方可進(jìn)行掃描試驗(yàn)[8]。

首先清潔螺殼表面，如果螺殼表面反光嚴(yán)重或顏色過深，應(yīng)噴上顯像劑并在螺殼表面貼5～7個(gè)標(biāo)記點(diǎn)。然后將螺殼固定在儀器測量中心位置開始掃描，每掃描1次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，保證依次掃描的重合標(biāo)記點(diǎn)不少于3個(gè)。掃描過程中累積旋轉(zhuǎn)應(yīng)不小于1周，確保螺殼表面均被掃描。去除圖形外的參考點(diǎn)，使圖形更為簡單，處理更加方便。儀器得到的螺殼表面存在凹凸部分，考慮到計(jì)算提取數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)會(huì)影響參數(shù)精度，需將凹凸部分刪除并修復(fù)。由于田螺表面粘貼標(biāo)記點(diǎn)，掃描后生成的表面會(huì)產(chǎn)生漏洞，可通過系統(tǒng)計(jì)算表面的曲率，修復(fù)漏洞，得到掃描實(shí)體圖。由于現(xiàn)有技術(shù)的局限性，掃描出的螺殼不是完整實(shí)體，而是由零碎的圖形拼接而成；因此，在精度允許的情況下，利用Geomagic Studio軟件將零碎面構(gòu)造成曲面片體，以保證模型在UG軟件中能夠高清識(shí)別（圖1）。

2 二維螺旋線擬合

常見的螺旋線方程主要有阿基米德螺旋線、對數(shù)螺旋線、冪指數(shù)螺旋線。對數(shù)螺旋線與田螺的縫合線形狀比較接近[9-10]，因此本研究選用對數(shù)螺旋線對縫合線進(jìn)行擬合（圖2）。

2.1 對數(shù)螺旋線表達(dá)式

2.3 二維表達(dá)式的驗(yàn)證

將擬合出的對數(shù)螺旋線方程利用Matlab軟件進(jìn)行繪制（圖9）。

該圖像呈現(xiàn)出鋸齒螺旋形，與對數(shù)螺旋線的圖像存在很大差異，因此將常數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的函數(shù)不合理，只能利用最初的表達(dá)式（6）與原始圖像進(jìn)行對比。將擬合出的對數(shù)螺旋線方程利用Caxa軟件進(jìn)行繪制，與原始坐標(biāo)所繪制出的螺旋線進(jìn)行比較（圖10）。

圖10中實(shí)螺旋線代表表達(dá)式擬合出的曲線，虛螺旋線代表原坐標(biāo)點(diǎn)繪制出的曲線。初始表達(dá)式擬合出的曲線與原始曲線吻合度較高，相似度達(dá)到99.32%。雖然擬合過程中在 0～2π范圍內(nèi)進(jìn)行取值，但擬合出的圖像適用于任意角度。對其余4只螺殼進(jìn)行相同的研究步驟，擬合出曲線的相似度分別為98.45%、99.13%、99.61%、98.96%，因此式（4）是描述二維螺旋線最優(yōu)的表達(dá)式，同時(shí)也為三維螺旋線的擬合奠定了基礎(chǔ)。

3 三維螺旋線擬合

田螺縫合線的三維圖像與圓錐螺旋線極為相似，現(xiàn)階段國內(nèi)學(xué)者對三維圓錐螺旋線的研究較少，因此存在一定難度。本研究結(jié)合合肥工業(yè)大學(xué)夏鼎立教授的研究[11]對三維螺旋線進(jìn)行擬合。

三維圓錐螺旋線即動(dòng)點(diǎn)沿圓錐面上的1條直母線作等速移動(dòng)，而該直母線又繞圓錐面的軸線作等角速的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在此圓錐面上的運(yùn)動(dòng)軌跡（圖11）。田螺縫合線近似滿足其規(guī)律，因此對圓錐螺旋線的研究為田螺縫合線數(shù)學(xué)方程的建立提供了較好方向。

3.1 圓錐螺旋線表達(dá)式

由圖12可知，M1M2是三維圓錐螺旋線的一段圓弧，從M1至M2轉(zhuǎn)過了dτ的角度值，α是圓錐在M2母線與該點(diǎn)切線的夾角，N點(diǎn)是M1在線OM2上的投影，t表示在水平面轉(zhuǎn)過的角度，ρ代表其極徑。

式（18）中并未提到螺距的關(guān)系，但通過二維對數(shù)螺旋線與三維圓錐螺旋線的性質(zhì)可知，螺線在水平面的臂的距離以幾何級(jí)數(shù)遞增，且錐頂半角也影響著螺旋線的斜度；因此，螺旋線的螺距與兩者密切相關(guān)，通過幾何關(guān)系可求出每個(gè)點(diǎn)的螺距。

3.3 三維圓錐螺旋線的驗(yàn)證

需對擬合出的數(shù)學(xué)表達(dá)式的合理性進(jìn)行驗(yàn)證，將三維圓錐螺旋線在Matlab軟件中的程序圖（圖13）與原始坐標(biāo)所繪制的螺旋線進(jìn)行比較。

由圖13可知，擬合出的方程與原始螺旋線非常接近，相似度達(dá)到97.23%。對其余4只螺殼進(jìn)行擬合，相似度分別為98.36%、98.12%、97.19%、99.12%，表明擬合的方程可真實(shí)反映田螺縫合線的三維圖像。

4 結(jié)論

本研究通過微元思想，將實(shí)際生活中田螺表面的縫合線轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，擬合出其二維、三維的數(shù)學(xué)表達(dá)式。通過比較發(fā)現(xiàn)，擬合出的數(shù)學(xué)表達(dá)式與原始模型吻合良好，平均吻合度分別達(dá)到99.09%、98.00%，能夠較好地反映出真實(shí)田螺縫合線的形態(tài)，達(dá)到了預(yù)期效果。本結(jié)論為田螺的進(jìn)一步研究提供了數(shù)學(xué)依據(jù)，并為田螺的仿生研究奠定基礎(chǔ)。

限于本試驗(yàn)的樣本量較少，本研究結(jié)果僅作為初步的研究與探索，今后還需對大樣本螺殼進(jìn)行研究。

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