弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想及其再發(fā)展

王海青　曹廣福

摘? 要：數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與有指導(dǎo)的再創(chuàng)造體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾的重要教育思想. 此外，強(qiáng)調(diào)教充滿聯(lián)系的整體知識結(jié)構(gòu)也是弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的重要組成部分. 在現(xiàn)今學(xué)校按學(xué)科教學(xué)又注重STEM教育的大環(huán)境下，注重對知識整體結(jié)構(gòu)的獲得有助于學(xué)生更好地理解知識的本質(zhì)并促進(jìn)學(xué)習(xí)的遷移. 問題驅(qū)動教學(xué)與發(fā)生教學(xué)法可以看作是對弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的具體實(shí)踐和進(jìn)一步發(fā)展，它們強(qiáng)調(diào)揭示數(shù)學(xué)知識的教學(xué)價(jià)值與本質(zhì)，注重教學(xué)生學(xué)會思考.

關(guān)鍵詞：弗賴登塔爾;數(shù)學(xué)化;問題驅(qū)動;HPM思想;發(fā)生教學(xué)法

一、弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想再探

著名荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（Freudenthal H，1905—1990）對數(shù)學(xué)教育有著特別的理解，其著作《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)教育再探》《播種與除草》集中闡述了他的數(shù)學(xué)教育思想，核心觀點(diǎn)體現(xiàn)在三個(gè)方面——數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、有指導(dǎo)的再創(chuàng)造.

20世紀(jì)末，荷蘭的弗賴登塔爾數(shù)學(xué)研究所根據(jù)其教育理念開發(fā)了一套高中數(shù)學(xué)教材并用于課堂實(shí)驗(yàn). 教材編寫確立了5個(gè)具體目標(biāo)：揭示數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)和生物科學(xué)之間的聯(lián)系;掌握物理、化學(xué)和生物科學(xué)所需要的基本數(shù)學(xué)語言;理解數(shù)學(xué)無論過去和現(xiàn)在都是一項(xiàng)人類活動;運(yùn)用圖形計(jì)算器和Cabri等數(shù)學(xué)軟件;實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化. 實(shí)驗(yàn)教材編寫目標(biāo)反映了數(shù)學(xué)作為人類的一項(xiàng)活動與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)每個(gè)知識點(diǎn)的教學(xué)都要充分考慮數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，并通過“數(shù)學(xué)化”來組織教學(xué). 研讀弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育專著與其實(shí)驗(yàn)教材編寫的目標(biāo)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與有指導(dǎo)的再創(chuàng)造是弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的重要體現(xiàn). 除此以外，強(qiáng)調(diào)對學(xué)習(xí)材料進(jìn)行整體設(shè)計(jì)以突出相互間的聯(lián)系也是弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的重要組成部分，這一點(diǎn)在以往的相關(guān)研究中較少提及.

1. 數(shù)學(xué)教育思想1——數(shù)學(xué)化

初等數(shù)學(xué)的知識體系與現(xiàn)實(shí)世界密切相關(guān)，大都能在實(shí)際生活中找到相應(yīng)的背景或問題. 因此，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的建立最適合的開始應(yīng)該是常識. 這里的常識是指學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)或生活經(jīng)驗(yàn). 也就是說教學(xué)應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際提出問題，并建立起與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法分析和解決問題，揭示規(guī)律或本質(zhì)、形成概念或原理，即用數(shù)學(xué)方法把實(shí)際材料組織起來，這個(gè)過程被稱為“數(shù)學(xué)化”.“實(shí)際材料”或問題情境除了日常生活實(shí)際背景，還有自然科學(xué)情境或純數(shù)學(xué)情境. 弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)任何數(shù)學(xué)都是數(shù)學(xué)化的結(jié)果，學(xué)數(shù)學(xué)就應(yīng)該是體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的過程.

數(shù)學(xué)化分為橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化，或稱之為水平生活化與垂直生活化. 將現(xiàn)實(shí)世界的問題抽象為數(shù)學(xué)的模型或圖式（函數(shù)或方程、代數(shù)符號、路線圖、幾何圖形、表格等）的過程稱為橫向數(shù)學(xué)化;運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想與方法處理數(shù)學(xué)問題的過程稱為縱向數(shù)學(xué)化. 也就是說，橫向數(shù)學(xué)化就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立起數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系;縱向數(shù)學(xué)化是從不同角度、利用不同方式表征數(shù)學(xué)問題，用多種方法分析和解決問題以抽象歸納出一般規(guī)律揭示本質(zhì)的過程，是在數(shù)學(xué)內(nèi)部建立起豐富聯(lián)系. 由此可見，橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化是教學(xué)組織過程中密不可分的有機(jī)整體.

2. 數(shù)學(xué)教育思想2——數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)

數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)化是將現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)化——現(xiàn)實(shí)的許多片斷. 這里的現(xiàn)實(shí)是指學(xué)生自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（Realistic Mathematics Education，簡稱RME），是每個(gè)人所接觸到的客觀世界中的數(shù)學(xué)規(guī)律及有關(guān)這些規(guī)律的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，也就是學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)化教學(xué)的過程是在教師的引導(dǎo)下學(xué)生根據(jù)自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)處理實(shí)際問題，進(jìn)一步組織、抽象、擴(kuò)展，從而形成新的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的過程.

因此，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)該是從現(xiàn)實(shí)情境開始的探索活動. 自然地，數(shù)學(xué)教學(xué)則需要從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)而非形式化的數(shù)學(xué)系統(tǒng)出發(fā)生成知識、習(xí)得思想. 依據(jù)數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的背景，提供給學(xué)生探索的現(xiàn)實(shí)情境或材料可以有來自日常生活、自然科學(xué)或者數(shù)學(xué)本身的情境，但都應(yīng)該是學(xué)生能理解和接受的真實(shí)情境. 真實(shí)的數(shù)學(xué)活動有助于促進(jìn)學(xué)生的有效學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對知識的靈活運(yùn)用與遷移.

3. 數(shù)學(xué)教育思想3——有指導(dǎo)的再創(chuàng)造

根據(jù)數(shù)學(xué)公理化的特征，數(shù)學(xué)教材基本上是以邏輯的形式化的演繹體系呈現(xiàn)，按照概念、定理、性質(zhì)與法則、例題與習(xí)題的順序編寫教材內(nèi)容，而知識產(chǎn)生與思想形成的原因，以及數(shù)學(xué)家在解決各種問題過程中所反映出來的研究精神與思維品質(zhì)等則鮮有見之. 正如弗賴登塔爾所言，沒有一種數(shù)學(xué)思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子發(fā)表出來. 一個(gè)問題被解決以后，相應(yīng)地發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗.

弗賴登塔爾主張教師結(jié)合數(shù)學(xué)史來重新組織教材內(nèi)容以更加適合學(xué)生的學(xué)習(xí)，并將數(shù)學(xué)作為一種活動進(jìn)行分析和解釋. 建立在這一基礎(chǔ)上的教學(xué)方法稱為再創(chuàng)造. 依據(jù)歷史再創(chuàng)造教材內(nèi)容并非要重復(fù)人類的全部學(xué)習(xí)過程，而是讓學(xué)生經(jīng)歷經(jīng)過改良且有更好引導(dǎo)意義的歷史過程，重走歷史上數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的幾個(gè)重要步驟. 也就是說教學(xué)過程應(yīng)反映在教師的指導(dǎo)下學(xué)生面對新情境是怎樣運(yùn)用已有的知識結(jié)構(gòu)分析問題和解決問題，并發(fā)現(xiàn)和歸納出新知識的過程.

4. 數(shù)學(xué)教育思想4——整體設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、有指導(dǎo)的再創(chuàng)造，三個(gè)核心思想彼此相互實(shí)現(xiàn)、互為融合. 數(shù)學(xué)化是最重要的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程首先需要教師依據(jù)數(shù)學(xué)史剖析教材內(nèi)容對其進(jìn)行重組再創(chuàng)造，并結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，引導(dǎo)學(xué)生在情境中進(jìn)行探究活動并經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)化過程. 為了促進(jìn)學(xué)習(xí)的有效遷移，在橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化的過程中，教師要突出知識間的豐富聯(lián)系，重視對數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的教學(xué). 換句話說，弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想中也蘊(yùn)含了深刻的整體教學(xué)觀念.

（1）教充滿聯(lián)系的數(shù)學(xué).

強(qiáng)調(diào)按各個(gè)課時(shí)的內(nèi)容邏輯來設(shè)計(jì)的教學(xué)往往會導(dǎo)致知識的片斷化與碎片化. 教材的編寫重視數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系以構(gòu)建單元知識結(jié)構(gòu)，卻又犧牲了數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系. 與外部相關(guān)的情境即便是有，也更像是起點(diǎn)綴作用的布景，與數(shù)學(xué)真正的聯(lián)系很少. 弗賴登塔爾贊成人們學(xué)習(xí)的每件事情都應(yīng)該是充滿聯(lián)系的，認(rèn)為教學(xué)不要教孤立的片斷，而要教連貫的材料. 連貫的材料是指具有多方面聯(lián)系的、符合學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的材料. 學(xué)生獲得有豐富聯(lián)系的與現(xiàn)實(shí)有關(guān)的知識，才能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有助于長時(shí)記憶，才能有效培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識促進(jìn)學(xué)習(xí)的遷移.

弗賴登塔爾所指的聯(lián)系涉及兩個(gè)方面：數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系. 他把學(xué)習(xí)過程作為一個(gè)整體進(jìn)行考慮，認(rèn)為學(xué)習(xí)各要素的結(jié)合應(yīng)當(dāng)被組織得盡可能早、盡可能長和盡可能強(qiáng). 例如，函數(shù)、圖象、方程應(yīng)該看作是交織纏繞在一起的各個(gè)學(xué)習(xí)分支，而代數(shù)與幾何之間的互動交織也不必只限定在解析幾何上. 但是弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念與原理的教學(xué)要先考慮數(shù)學(xué)與學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的聯(lián)系. 與數(shù)學(xué)聯(lián)系的外部現(xiàn)實(shí)內(nèi)容可以是日常生活的、自然的、物理的、化學(xué)的或者數(shù)學(xué)本身的材料. 教師在具體教學(xué)中要做的是引領(lǐng)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)中“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”，逐步發(fā)展為充滿聯(lián)系的看似與現(xiàn)實(shí)沒有聯(lián)系的形式化數(shù)學(xué)體系. 教充滿聯(lián)系的數(shù)學(xué)也就是要讓學(xué)生充分經(jīng)歷橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化的過程.

（2）按照數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行教學(xué).

弗賴登塔爾認(rèn)為，傳統(tǒng)的教學(xué)理論主要聚焦于局部分析具體的教學(xué)內(nèi)容，還沒有按照數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)來進(jìn)行教學(xué). 即便是現(xiàn)在，一線的數(shù)學(xué)教學(xué)情況似乎也沒有太大的改觀. 數(shù)學(xué)依附于現(xiàn)實(shí)，因此數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)也應(yīng)該存在于現(xiàn)實(shí)之中. 這里的整體結(jié)構(gòu)不是指數(shù)學(xué)已有的現(xiàn)成的演繹體系，而是學(xué)生隨著學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷發(fā)展變化的動態(tài)的整體知識結(jié)構(gòu)，它應(yīng)與現(xiàn)實(shí)世界充滿各種有機(jī)聯(lián)系. 強(qiáng)調(diào)按照數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)來進(jìn)行教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是要結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)教充滿各種聯(lián)系的數(shù)學(xué)，才能使學(xué)生獲得一個(gè)隨著學(xué)習(xí)不斷更新優(yōu)化的、與現(xiàn)實(shí)密切結(jié)合的整體知識結(jié)構(gòu)，并將之應(yīng)用于現(xiàn)實(shí). 需再次明確的是，這里的現(xiàn)實(shí)是指學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ).

怎樣才是按照數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)來進(jìn)行教學(xué)呢？弗賴登塔爾指出，數(shù)學(xué)化地組織一個(gè)教學(xué)內(nèi)容或一個(gè)領(lǐng)域是最為正確的方式. 因?yàn)閷?shù)學(xué)解釋為一種活動的話，就必須通過數(shù)學(xué)化來教數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué). 先利用恰當(dāng)?shù)默F(xiàn)實(shí)問題情境（數(shù)學(xué)內(nèi)容的或者是非數(shù)學(xué)內(nèi)容的）建立起現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的初步聯(lián)系，通過建模將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容與數(shù)學(xué)內(nèi)部或外部聯(lián)系起來. 這個(gè)過程也就是橫向數(shù)學(xué)化的過程. 僅滿足于現(xiàn)實(shí)情境與數(shù)學(xué)的聯(lián)系顯然是不夠的. 下一步是引導(dǎo)學(xué)生利用類比、歸納、演繹等方式經(jīng)歷抽象化、形式化的過程，將新的知識在數(shù)學(xué)內(nèi)部建立起各種關(guān)系，使之有機(jī)融入舊的知識體系，進(jìn)而形成新的整體認(rèn)知結(jié)構(gòu). 這就是縱向數(shù)學(xué)化的過程，是更高一級的在數(shù)學(xué)的形式體系上的聯(lián)系. 沒有經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的建模過程，就沒有經(jīng)歷真正的橫向數(shù)學(xué)化，獲得的知識難以應(yīng)用于實(shí)際. 而沒有經(jīng)過深度的縱向數(shù)學(xué)化使概念與原理在數(shù)學(xué)內(nèi)部建立緊密的聯(lián)系，習(xí)得的知識將是一盤散沙. 用數(shù)學(xué)化組織一個(gè)領(lǐng)域，有助于學(xué)生整體地看待數(shù)學(xué)知識與把握知識間的聯(lián)系，既見“樹木”又見“森林”. 通過數(shù)學(xué)化組織一個(gè)領(lǐng)域，學(xué)生習(xí)得的整體知識結(jié)構(gòu)才是牢靠的、靈活的和可利用的，既可以在數(shù)學(xué)內(nèi)部自由轉(zhuǎn)換，又可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)解決問題.

如果說數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要甚至是唯一的方式，實(shí)施數(shù)學(xué)化的途徑是結(jié)合歷史和學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)對教學(xué)內(nèi)容的再創(chuàng)造，那么“教學(xué)內(nèi)容是否充滿了各種聯(lián)系”與“是否被有機(jī)地組織到所處的領(lǐng)域”則是判斷橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化程度的重要指標(biāo)，是判斷學(xué)生所習(xí)得的數(shù)學(xué)整體知識結(jié)構(gòu)是否完善的重要標(biāo)準(zhǔn). 換言之，教師依據(jù)數(shù)學(xué)史與學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行再創(chuàng)造，以數(shù)學(xué)化的方式組織教學(xué)，其目標(biāo)是要教給學(xué)生充滿聯(lián)系的數(shù)學(xué)，并能將之有效整合到所處的領(lǐng)域. 在當(dāng)今按學(xué)科、模塊、知識點(diǎn)教學(xué)的學(xué)校教育大環(huán)境下，強(qiáng)調(diào)以單元為主體對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體設(shè)計(jì)能解決課時(shí)之間的零散性與知識之間的孤立性、單元之間的割裂性與學(xué)科之間的無關(guān)聯(lián)性等問題，從而更好地揭示知識的本質(zhì)、突出思想與應(yīng)用，有助于學(xué)生把握知識的整體結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)習(xí)的遷移并養(yǎng)成STEM素養(yǎng). 因此，弗賴登塔爾的整體教學(xué)觀念對于如今的基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革依然有重要的啟示和參考作用.

二、弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的再發(fā)展

1. HPM思想與發(fā)生教學(xué)法

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）成立于1972年的第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會. 在國內(nèi)，關(guān)于HPM思想與教學(xué)的研究成果主要集結(jié)在著作《HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育》中，作者對HPM的歷史淵源、哲學(xué)基礎(chǔ)及相應(yīng)的教學(xué)法進(jìn)行了深入研究與探索，并開發(fā)出大量數(shù)學(xué)教學(xué)案例. HPM思想強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重走發(fā)現(xiàn)之路. 法國數(shù)學(xué)家龐加萊（H.Poincaré，1854—1912）就認(rèn)為，數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)完全按照數(shù)學(xué)史上同樣內(nèi)容的發(fā)展順序展現(xiàn)給學(xué)生. Radford等根據(jù)歷史發(fā)生原理和學(xué)習(xí)心理學(xué)理論提出了基于歷史的課堂活動設(shè)計(jì)方法的理論框架，如圖1所示. 指出數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)要整體思考數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展、教學(xué)的方法與學(xué)生的心理三個(gè)方面.

HPM研究的主要目標(biāo)是通過數(shù)學(xué)史了解知識產(chǎn)生的過程與數(shù)學(xué)家所遇到的困難，從而獲得啟示，更好地組織教材內(nèi)容以適合學(xué)生的學(xué)習(xí)，這與弗賴登塔爾的再創(chuàng)造思想恰好有著共通之處. HPM主張用發(fā)生教學(xué)法（the genetic approach to teaching and learning）組織數(shù)學(xué)教學(xué)，通過數(shù)學(xué)史尋找學(xué)生學(xué)習(xí)的最佳方式. 發(fā)生教學(xué)法繼承了邏輯演繹和歷史方法論的優(yōu)點(diǎn)，既重視演繹的結(jié)果，也強(qiáng)調(diào)產(chǎn)生結(jié)果的問題本源. 它通過梳理歷史整體理解數(shù)學(xué)知識與思想的生成過程，以及蘊(yùn)含其中的重要價(jià)值，進(jìn)而根據(jù)問題重構(gòu)教材內(nèi)容組織教學(xué). 發(fā)生教學(xué)法一般遵循以下幾個(gè)步驟：了解所講授主題的歷史;確定歷史發(fā)展過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié);重構(gòu)這些環(huán)節(jié)，使其適合課堂教學(xué);設(shè)計(jì)出一系列由易至難的問題，后面的問題應(yīng)建立在前面問題的基礎(chǔ)之上. 因此，發(fā)生教學(xué)法重視依據(jù)歷史設(shè)計(jì)問題序列，重視問題驅(qū)動與問題解決，由問題導(dǎo)出結(jié)論. 運(yùn)用發(fā)生教學(xué)法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)與組織，要求教師具備一定的數(shù)學(xué)史知識，并且具有恰當(dāng)選擇數(shù)學(xué)史材料、將史料轉(zhuǎn)化為學(xué)生能理解的學(xué)習(xí)材料、將數(shù)學(xué)史料與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)融合促進(jìn)教學(xué)的能力.

2. 問題驅(qū)動教學(xué)法

數(shù)學(xué)具有二重性：以符號化、抽象化、形式化表現(xiàn)出來的“冰冷”數(shù)學(xué)結(jié)果和數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題與解決問題時(shí)所表現(xiàn)出來的“火熱”思考過程. 數(shù)學(xué)教材則基本上按照概念、定理、性質(zhì)與法則、例題與習(xí)題的順序呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容. 這使學(xué)生在一系列嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、形式化的知識堆砌中難以體會到數(shù)學(xué)知識間所蘊(yùn)含的豐富聯(lián)系及其重要價(jià)值和作用，不知數(shù)學(xué)知識從何而來為何而去，因而有了數(shù)學(xué)無用的論調(diào). 但數(shù)學(xué)并不是按照現(xiàn)在教材中的方式發(fā)展的. 問題是促進(jìn)學(xué)科發(fā)展的原始動力，數(shù)學(xué)也不例外. M.克萊因（Morris Kline，1908—1992）就曾指出，每一個(gè)數(shù)學(xué)分支均是為攻克一類問題而發(fā)展起來的. 因此，以問題驅(qū)動教學(xué)，能再現(xiàn)數(shù)學(xué)“火熱”的思考過程，教師引導(dǎo)學(xué)生在問題空間中探索生成概念與原理、習(xí)得思想與方法，在抽象一般規(guī)律揭示本質(zhì)的過程中教學(xué)生學(xué)會思考. 張奠宙先生在90年代就倡導(dǎo)以問題驅(qū)動的新概念數(shù)學(xué)，李大潛院士也提倡在應(yīng)用數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域要重視問題驅(qū)動，由問題推動科學(xué)研究，《問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)·理論與實(shí)踐卷》一書更是對問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行了系統(tǒng)闡述.

問題驅(qū)動教學(xué)法的關(guān)鍵是教師能否依據(jù)歷史為教學(xué)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)合適的問題及情境. 從歷史發(fā)展來看，數(shù)學(xué)是在解決各種現(xiàn)實(shí)問題和內(nèi)部邏輯矛盾的過程中不斷形成、發(fā)展和完善的，但外部動因是數(shù)學(xué)最根本的發(fā)展動力. 因此，驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的問題可以是生活問題、現(xiàn)實(shí)問題或數(shù)學(xué)問題，只要它是具有啟發(fā)性的、本原性的、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的、能夠在教學(xué)中起統(tǒng)帥作用的問題. 但是問題不等于問題情境，只有當(dāng)學(xué)生有解決它的欲望時(shí)，問題才能構(gòu)成問題情境. 因此，教師還要結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)——已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)能激發(fā)學(xué)生興趣和求知欲望的情境材料，并將數(shù)學(xué)問題有機(jī)融入相應(yīng)的情境當(dāng)中. 所創(chuàng)設(shè)的問題情境是否真實(shí)有效就看它是否具有一定的生活意義、數(shù)學(xué)價(jià)值或科學(xué)價(jià)值.

問題驅(qū)動教學(xué)強(qiáng)調(diào)圍繞能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心問題展開教學(xué)探究活動，并將問題寓于學(xué)生能理解的情境之中，引導(dǎo)并啟發(fā)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的過程中生成數(shù)學(xué)知識與思想方法. 這里的問題是指促成數(shù)學(xué)知識形成的本原性問題，而不是為啟發(fā)學(xué)生思考或突破教學(xué)重、難點(diǎn)而設(shè)置的一系列環(huán)環(huán)相扣的問題鏈. 兩者本質(zhì)不同但也有密切聯(lián)系. 為引導(dǎo)學(xué)生對核心問題進(jìn)行有效探究，教師在組織教學(xué)的過程中需要根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)設(shè)置有針對性的、有啟發(fā)性的和有前后邏輯關(guān)系的一個(gè)個(gè)小問題，即問題鏈，將大的核心問題轉(zhuǎn)化為有遞進(jìn)關(guān)系的小問題來解決.

3. 弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想與發(fā)生教學(xué)法、問題驅(qū)動教學(xué)法的關(guān)系

數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、再創(chuàng)造和整體設(shè)計(jì)是弗賴登塔爾的主要數(shù)學(xué)教育理論觀點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本原的探求. 弗賴登塔爾冀望教師依據(jù)歷史結(jié)合學(xué)生實(shí)際重組教材，讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過程中獲得數(shù)學(xué)，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)的有限再創(chuàng)造. 因此，發(fā)生教學(xué)法和問題驅(qū)動教學(xué)法是弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想在教學(xué)中的兩種具體實(shí)踐方式，也是對其思想的進(jìn)一步發(fā)展. 兩者都強(qiáng)調(diào)學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行有限的再創(chuàng)造，生成新知并揭示其思想.

問題驅(qū)動教學(xué)法與發(fā)生教學(xué)法有著緊密聯(lián)系，但是也各有側(cè)重. 首先，兩者重視對數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的剖析與其背后思想及方法的挖掘;其次，兩者強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史對教學(xué)的重要指導(dǎo)作用，重視從歷史中獲得啟示預(yù)測學(xué)生可能發(fā)生的學(xué)習(xí)困難與障礙，進(jìn)而再創(chuàng)造教材內(nèi)容確定教學(xué)思路;再次，兩者注重通過數(shù)學(xué)化來揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，反映數(shù)學(xué)的規(guī)律性與思想性. 最后，兩者都關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)對教學(xué)的影響作用，重視對教學(xué)問題及其情境的設(shè)計(jì)，并引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過程.

但是發(fā)生教學(xué)法主要是通過梳理歷史以整體理解知識的生成過程，進(jìn)而以邏輯的、更符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律或特點(diǎn)的方式開展教學(xué)，意在如何教. 而問題驅(qū)動教學(xué)法則是通過追溯歷史揭示知識背后的思想與價(jià)值，挖掘其產(chǎn)生的背景、緣由及其與其他知識間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)為什么教. 進(jìn)而基于對數(shù)學(xué)史和教材內(nèi)容的理解設(shè)置合適的問題情境，把教材上數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易接受的教育形態(tài)，從關(guān)注為什么教轉(zhuǎn)向如何教. 此外，雖然兩種教學(xué)法都強(qiáng)調(diào)對問題的設(shè)計(jì)，但問題的涵義不盡相同. 發(fā)生教學(xué)法強(qiáng)調(diào)問題驅(qū)動與問題序列，這里的問題是一系列由易至難的問題，是層層遞進(jìn)的問題鏈. 問題驅(qū)動教學(xué)法所強(qiáng)調(diào)的問題是指促使知識產(chǎn)生的、能體現(xiàn)其本質(zhì)和起統(tǒng)領(lǐng)作用的原始問題，教學(xué)則圍繞著這個(gè)核心問題展開探究活動生成新知. 圖2可以直觀反映出發(fā)生教學(xué)法與問題驅(qū)動教學(xué)法的關(guān)系.

參考文獻(xiàn)：

[1]喬愛萍. 論弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育思想的現(xiàn)實(shí)意義[J]. 江蘇教育研究，2014（2）：51-55.

[2]王彥飛，宋婷. 試析弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想及其對兒童數(shù)學(xué)教育的啟示[J]. 教育探索，2016（2）：7-10.

[3]蒲淑萍，汪曉勤. 弗賴登塔爾的HPM思想及其教學(xué)啟示[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（6）：20-24.

[4]付云菲. 弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育思想研究[D]. 呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2013.

[5]孫曉天. Freudenthal研究所開發(fā)的新高中數(shù)學(xué)課程[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2001（11）：41-44.

[6]弗賴登塔爾. 數(shù)學(xué)教育再探[M]. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1999.

[7]弗賴登塔爾. 作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]. 陳昌平，唐瑞芬，譯. 上海：上海教育出版社，1995.

[8]張國祥. 數(shù)學(xué)化與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)思想[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005（1）：35-37.

[9]孫曉天. 現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育的思想基礎(chǔ)及其基本概念[J]. 學(xué)科教育，1995（9）：16-19，22.

[10]張奠宙，唐瑞芬，劉鴻坤. 數(shù)學(xué)教育學(xué)[M]. 南昌：江西教育出版社，1991.

[11]FREUDENTAL H. Didactical Phenomenology of Mathematical Structures[M]. Dordrecht：Reidel Publishing Company，1983.

[12]PóLYA G. Mathematical Discovery：on Understanding，Learning，and Teaching Problem Solving（Vol.2）[M]. New York：John Wiley & Sons，1965.

[13]徐章韜，汪曉勤，梅全雄. 發(fā)生教學(xué)法：從歷史到課堂[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（1）：10-12.

[14]汪曉勤. HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M]. 北京：科學(xué)出版社，2017.

[15]M KLINE. Logic Versus Pedagogy[J]. American Mathematical Monthly，1970，77（3）：264-282.

[16]M KLINE. The Ancients Versus the Moderns：a New Battle of the Books[J]. Mathematics Teacher，1958，51（6）：418-427.

[17]吳俊，汪曉勤. 發(fā)生教學(xué)法：從理論到實(shí)踐[J]. 教育理論與實(shí)踐，2013，33（2）：3-5.

[18]張奠宙，張蔭南. 新概念：用問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2004，7（3）：8-10.

[19]鄧納姆. 微積分的歷程——從牛頓到勒貝格[M]. 李伯民，王軍，張懷勇，譯. 北京：人民郵電出版社，2010.

[20]M KLINE. Calculus：An Intuitive and Physical Approach[M]. New York：Dover Publications，Inc，1998.

[21]高雪芬，汪曉勤. M.克萊因的HPM思想：以《微積分》為例[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（4）：24-27.

[22]波利亞. 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對解題的理解、研究和講授[M]. 劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學(xué)出版社，2010.

[23]李大潛. 從數(shù)學(xué)建模到問題驅(qū)動的應(yīng)用數(shù)學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用，2014，3（3）：1-9.

[24]曹廣福，張蜀青. 問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)·理論與實(shí)踐卷[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2018.

[25]鄭毓信.“問題意識”與數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長例[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26（5）：1-5，92.

[26]曹廣福，張蜀青. 論數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與評價(jià)的核心要素：以高中導(dǎo)數(shù)概念課為例[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（4）：17-20.

收稿日期：2021-06-27

基金項(xiàng)目：廣東省普通高校特色創(chuàng)新類項(xiàng)目——指向深度學(xué)習(xí)的問題驅(qū)動教學(xué)研究（2021WTSCX089）;

廣東省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃研究項(xiàng)目——新師范背景下“U-G-S”校地?cái)?shù)學(xué)教師教育共同體的構(gòu)建及其運(yùn)行機(jī)制探索（2020GXJK410）.

作者簡介：王海青（1978— ），女，博士，副教授，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究.