深化知識(shí)理解　彰顯育人導(dǎo)向

摘? 要：以一節(jié)習(xí)題課為例，闡述教師需要深化知識(shí)理解，優(yōu)化課堂習(xí)題，重視信息技術(shù)，調(diào)整教學(xué)方法，做到將動(dòng)手操作、構(gòu)建思路、知識(shí)總結(jié)的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，從而發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的育人導(dǎo)向.

關(guān)鍵詞：知識(shí)理解;育人導(dǎo)向;數(shù)學(xué)教學(xué);習(xí)題課;[GeoGebra]軟件

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》實(shí)施以來，育人為本已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育界的共識(shí). 然而，在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，依然存在“重知識(shí)輕素養(yǎng)”“重教師講授輕學(xué)生參與”的現(xiàn)象. 這不利于發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價(jià)值. 要扭轉(zhuǎn)這種現(xiàn)象，教師就要重視信息技術(shù)，調(diào)整教學(xué)方法，將動(dòng)手操作、構(gòu)建思路和課堂總結(jié)的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，把表揚(yáng)與鼓勵(lì)的話語說給學(xué)生. 基于該理念，筆者結(jié)合一節(jié)習(xí)題課與同行分享拙見.

一、課堂概述

課前，授課教師板書兩道例題，并作出相應(yīng)圖形.

例1 如圖1，矩形[ABCD]中，[AB=4， AD=2.] 若[M，N]分別是[CD，BC]的中點(diǎn)，則[AM ? MN]的值為（? ? ）.

例2? 如圖2，在[△ABC]中，[AB⊥AC]，[M]為[BC]的中點(diǎn).

（1）若[AB=AC]，求[AB+2AC]與[2AB+AC]夾角的余弦值;

（2）若[O]是線段[AM]上的一點(diǎn)，且[AB=AC=2]，求[OA ? OB+OC ? OA]的最小值.

上課鈴響，教師指定一位學(xué)生板演例1，學(xué)生的解答過程如下.

[AM ? MN=AD+DM ? MC+CN=AD ? MC+][AD ? CN+DM ? MC+DM ? CN].

因?yàn)閇M，N]分別是[CD，BC]的中點(diǎn)，

所以[DM=2， MC=2， CN=1].

學(xué)生未解答完畢，教師就讓他回到座位上，然后繼續(xù)講解.

方法1：基向量法.

接著，教師描述解析法（建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)法解決問題的方法），并強(qiáng)調(diào)“建系”的一般原則（盡可能對(duì)稱，盡可能多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）. 然后指出利用解析法求平面向量的數(shù)量積的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，邊講邊板書.（沒有給學(xué)生留時(shí)間建系.）

方法2：解析法.

建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，則可以得到[A0，0，B4，0，C4，2，D0，2，M2，2，N4，1][AM=2，2， MN=2，-1， AM ? MN=2×2+2×][-1=2].

最后教師點(diǎn)評(píng)，基向量法“只能硬攻，不能巧求”，解析法“不能硬攻，只需巧求”.

（2）例2的概述.

教師讓學(xué)生結(jié)合圖2理解例2，邊講邊板書.

方法1：基向量法.

（1）[AB=a， AC=b，cosθ=a+2b ? 2a+ba+2b2a+b=45.]

（2）設(shè)[AO=λAM0≤λ≤1， OA=-λAM=-λ2a+b，][OB=OA+AB=1-λ2a-λ2b]，[OC=OA+AC=-λ2a+][1-λ2b]. 原式=[OA ? OB+OC=-λ2a+b ? 1-λa+1-λb=][2λ2-λ=2λ-122-12≥-12]，最小值為[-12].

接著教師講了以下兩種方法.

（二次函數(shù)法）令[OA=t， OM=1-t，0≤t≤1，][OA ? OB+OC=2OA ? OM=-2OA ? OM=-2t1-t=][2t2-t=][2t-122-12≥-12].

（基本不等式法）令[OA=a， OM=b，a+b=1，][ OA ? OB+OC=2OA ? OM=-2ab≥-2a+b22=-12.]

方法2：解析法.

建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系.

（1）設(shè)[AB=AC=tt>0. A0，0，Bt，0，C0，t，][AB=t，0， AC=0，t. ]

則[AB+2AC=t，2t，2AB+AC=2t，t，cosθ=][2t2+2t25t ? 5t=45];

（2）由題得[t=2，A0，0，B2，0，C0，2，][M22， 22].

設(shè)[Om，m 0≤m≤1， OA=-m，-m， OB=][2-m，-m， OC=-m， 2-m.]

故[OA ? OB+OC ? OA=OA ? OB+OC=-m，-m ?][2-2m， 2-2m=4m2-22m≥-12].

最后，教師強(qiáng)調(diào)“要根據(jù)[AO=λAM 0≤λ≤1]，求點(diǎn)[O]的坐標(biāo)”，并再次總結(jié)，基向量法“只可硬攻，不可巧求”，解析法“不可硬攻，只可巧求”.

二、教學(xué)建議

在這節(jié)課上，授課教師展示了扎實(shí)的教學(xué)功底，彰顯了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的魅力. 然而，值得思考的是，在本節(jié)課的教學(xué)過程中，授課教師無疑成為了主角，引領(lǐng)著整個(gè)“劇情”的發(fā)展. 學(xué)生淪為了配角，充當(dāng)著這場(chǎng)“戲劇”的看客. 顯然，這樣的情形不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與素養(yǎng)的提升. 數(shù)學(xué)教師的職責(zé)不只是給傳授學(xué)生知識(shí)，還在于教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考世界，以彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)的育人導(dǎo)向. 為此，本節(jié)課教學(xué)過程有四個(gè)方面值得優(yōu)化.

1. 深化知識(shí)理解

向量基底法與坐標(biāo)法是解決平面向量數(shù)量積問題的兩種基本方法. 它們均以平面向量基本定理為理論基礎(chǔ)，都屬于向量法. 向量基底法突出向量的形的屬性. 它以兩個(gè)不共線的向量作為基底，用平面向量的線性運(yùn)算表示目標(biāo)向量，再利用數(shù)量積的定義求解問題. 其中，選擇合適的基底是基礎(chǔ)，利用“閉合回路”表示待求向量是關(guān)鍵. 而坐標(biāo)法突出向量數(shù)的特征. 它以垂直關(guān)系（或構(gòu)建垂直關(guān)系）為切入點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，將待求向量坐標(biāo)化，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解問題. 其中，建立合理的坐標(biāo)系是前提，向量的坐標(biāo)化是關(guān)鍵. 一般而言，向量基底法是利用向量解決平面向量數(shù)量積問題的通法. 能用坐標(biāo)法解決的問題，向量基底法同樣可以解決;而向量基底法能解決的一些問題，坐標(biāo)法有時(shí)不能或者不易解決. 至于選擇哪一種方法，需要具體問題具體分析.

當(dāng)然，例1的解法不局限于向量基底法與坐標(biāo)法，還有以下兩種方法.

（1）被教師否定而學(xué)生沒有完成的方法.

[AM ? MN=AD+DM ? MC+CN=AD ? MC+][AD ? CN+DM ? MC+DM ? CN].

因?yàn)閇M，N]分別是[CD，BC]的中點(diǎn)，

所以[DM=2]，[MC=2]，[CN=1]，[AD⊥MC]，[DM⊥CN].

所以[AM ? MN=ADCNcosπ+DMMCcos0=2.]

（2）回歸平面向量數(shù)量積的定義.

由[M，N]分別是[CD，BC]的中點(diǎn)，得[DM=][MC=2， CN=1].

所以[AM=22， MN=5，∠AMD=π4].

設(shè)[∠NMC=θ，] 則[sinθ=55，cosθ=255，cosθ+π4=][cosθcosπ4-sinθsinπ4=1010].

所以[AM ? MN=AMMNcosθ+π4=2].

2. 優(yōu)化課堂習(xí)題

習(xí)題課重在借助例題、習(xí)題深化對(duì)已學(xué)的概念、定義、定理、公式及法則的理解，突出應(yīng)用. 因此，一些教師就將講題、練題等機(jī)械化活動(dòng)作為習(xí)題課的內(nèi)容，沒有發(fā)揮習(xí)題課應(yīng)有的教學(xué)功能，結(jié)果導(dǎo)致例題沒少講、習(xí)題沒少練，教學(xué)效果卻不盡如人意. 因此，教師要認(rèn)真思考習(xí)題課的教學(xué)主題，精心組織、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，使得教學(xué)有章法、學(xué)習(xí)有效果. 例如，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是利用向量基底法和坐標(biāo)法解決向量的數(shù)量積問題. 然而，從學(xué)的角度來看，學(xué)生僅僅知道了求向量數(shù)量積的兩種方法，而對(duì)于兩者的區(qū)別是什么、聯(lián)系在哪里、孰優(yōu)孰劣、當(dāng)面對(duì)復(fù)雜的問題時(shí)該如何抉擇仍存在困難. 從教的角度來看，兩個(gè)例題的載體（矩形、等腰直角三角形）類同（垂直關(guān)系），使得例題承載的教學(xué)價(jià)值弱化，無法讓學(xué)生辨別兩種解法的區(qū)別. 因此，兩道例題可以加以整合，進(jìn)而優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容. 具體如下.

題目1? 在矩形[ABCD]中，[AB=4， AD=2]. 若[M，N]分別是[AB，BC]的中點(diǎn).

（1）求[AM ? MN]的值.

（2）求[AC]與[2AD+AM]的夾角的余弦值;

（3）若[P]是線段[DM]的中點(diǎn)，[O]是[AP]上的一點(diǎn)，求[OA ? OM+OA ? OD]的最小值.

題目2? 在梯形[ABCD]中，[AB∥CD，AB=4，CD=][2]，且[∠A=π3]，點(diǎn)[P]是直線[AD]上的任意一點(diǎn). 求[PB+2PC]的最小值.

題目3? 在[△ABC]中，[AB=4，AC=2]，點(diǎn)[O]是[△ABC]的外接圓的圓心. 求[OA ? BC]的值.

由于例1含有等腰直角三角形元素，因此可以將例2整合到例1中，即題目1. 這樣避免學(xué)生重復(fù)（選基底、建坐標(biāo)系）做題，把更多的精力用在題目的審閱與解法的領(lǐng)悟上. 設(shè)計(jì)題目2既是改變問題的考查形式，將數(shù)量積的考查融入對(duì)向量的模的考查中，又是讓學(xué)生學(xué)會(huì)識(shí)別問題，即在沒有特殊關(guān)系（不垂直）的情況下，學(xué)會(huì)選擇合理的解題方法. 雖然用兩種方法都可以，但坐標(biāo)法對(duì)學(xué)生建系的觀察、分析和選擇能力要求較高，有一定難度. 也可以結(jié)合平面幾何知識(shí)，挖掘試題的本質(zhì)（實(shí)際上是兩條平行線之間的距離），讓學(xué)生明白不只有兩種方法，還有其他方法可以解決問題. 題目3告訴學(xué)生建系不容易時(shí)，可以用向量基底法解決，從而讓學(xué)生領(lǐng)悟向量基底法的通法作用.

3. 重視信息技術(shù)

當(dāng)然，題目2還有進(jìn)一步思考的空間. 由于僅知道梯形[ABCD]的上底和下底的長(zhǎng)度及腰[AD]的方向，因此梯形的形狀會(huì)隨著點(diǎn)[D]在直線[AD]上位置的變化而變化. 而點(diǎn)[P]是直線[AD]上的任意一點(diǎn)，它的位置的變化也會(huì)引起[PB+2PC]的變化. 那么，這兩種變化會(huì)對(duì)[PB+2PC]取最小值有何影響？

對(duì)于這個(gè)問題，我們可以借助[GeoGebra]軟件開展數(shù)學(xué)探究，過程如下：首先，利用[GeoGebra]軟件構(gòu)造[△PBE]，使得[PE=2PC]，然后構(gòu)造[BE]的中點(diǎn)[F]，則[PB+2PC=2PF]（如圖5），然后借助“軌跡”工具構(gòu)造出點(diǎn)[F]的軌跡（過點(diǎn)[B]且與直線[AD]平行的直線），則[PB+2PC]的最小值就是這兩條平行線間距離的2倍.

[GeoGebra]軟件作為一款動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，功能強(qiáng)大，操作便利，能讓靜態(tài)的數(shù)學(xué)內(nèi)容“動(dòng)”起來，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象起來，進(jìn)而成為培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的有力工具. 如今，[GeoGebra]軟件的應(yīng)用已經(jīng)深入高中數(shù)學(xué)教材，也走進(jìn)了高中數(shù)學(xué)課堂，發(fā)揮著啟迪學(xué)生智慧、提升學(xué)生素養(yǎng)的功效，有效緩解了傳統(tǒng)教學(xué)手段“只可意會(huì)，不可言傳”的窘境.

4. 調(diào)整教學(xué)方法

（1）把動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)留給學(xué)生.

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成離不開思考討論、操作辨析及反思內(nèi)化. 在這個(gè)過程中，學(xué)生需要一定的時(shí)間與空間. 教師要把握好教學(xué)時(shí)機(jī)，該放手的時(shí)候要放手，讓學(xué)生自己思考并內(nèi)化于心. 如果教師事無巨細(xì)地為學(xué)生包辦一切，反而不利于學(xué)生的發(fā)展. 例如，在課前授課時(shí)，教師把兩道例題寫在黑板上，從而節(jié)約教學(xué)時(shí)間，這無可厚非;但在學(xué)生沒有看題的情況下，教師自行畫出圖形的做法就值得商榷. 因?yàn)槔}本身沒有給出圖形，教師“搶走”了學(xué)生作圖的權(quán)利，導(dǎo)致學(xué)生錯(cuò)失了作圖、想圖及借圖說話的機(jī)會(huì)，也錯(cuò)失了一次用數(shù)學(xué)思維思考問題的完整過程. 在講解例1時(shí)，授課教師先描述解析法，強(qiáng)調(diào)建立平面直角坐標(biāo)系的一般規(guī)則（兩個(gè)“盡可能”），接著建立平面直角坐標(biāo)系解決問題. 學(xué)生沒有經(jīng)歷建系的過程，也缺乏對(duì)不同建系方式的比較，對(duì)兩個(gè)“盡可能”的理解也不夠深刻，只知其然，不知其所以然. 其后果是當(dāng)遇到新的問題情境時(shí)，學(xué)生無法把這種經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移，只能照本宣科，無法真正領(lǐng)會(huì)解析法的思想. 因此，教師不應(yīng)該把作圖、建系等動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)“據(jù)為己有”，而應(yīng)該留給學(xué)生，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

（2）把構(gòu)建思路的任務(wù)交給學(xué)生.

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開解題. 引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)慕忸}思路是數(shù)學(xué)教師的責(zé)任. 解題思路的形成是一個(gè)構(gòu)筑條件與結(jié)論之間聯(lián)系的動(dòng)態(tài)過程，也是錘煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維的動(dòng)態(tài)過程. 因此，教師應(yīng)該把構(gòu)建解題思路的任務(wù)還給學(xué)生. 然而，在本節(jié)課上，授課教師并沒有這樣做，而是把解題的思路全盤托出，呈現(xiàn)給學(xué)生. 例2的第（2）小題，授課教師利用基向量法求出[OA ? OB+OC ? OA]的最小值[-12]之后，因?yàn)閇OM]是[△ABC]的斜邊[BC]上的中線，可得[OA ? OB+OC=-2OA ? OM]. 再令[OA=t， OM=][1-t]，得到[OA ? OB+OC=2t2-t]，然后借助二次函數(shù)求解該題;或者令[OA=a， OM=b]，于是有[a+b=1]，故[OA ? OB+OC=-2ab]，然后利用基本不等式進(jìn)行求解. 但這些“巧妙”的方法，不是學(xué)生想出來的，而是授課教師講出來的，由于缺乏自主的思考，這些方法可能會(huì)被學(xué)生記住一時(shí)，但終究會(huì)被“風(fēng)吹雨打”去. 所以，教師上課僅有激情還不夠，還要合理利用這種激情，把內(nèi)心的“火熱”轉(zhuǎn)化成課堂的“實(shí)效”. 應(yīng)該給學(xué)生時(shí)間與機(jī)會(huì)，讓學(xué)生參與思路的構(gòu)建過程，幫助他們學(xué)會(huì)思考.

（3）把總結(jié)提升的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生.

一節(jié)課的精華往往濃縮在課堂小結(jié)中. 課堂小結(jié)既是梳理數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法、構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)的過程，也是促進(jìn)學(xué)生反思、提升與升華的過程. 教師應(yīng)該把課堂總結(jié)的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，讓學(xué)生回顧、反思并內(nèi)化為自己的東西. 在本節(jié)課上，授課教師根據(jù)基向量法和解析法的特點(diǎn)，別出心裁地用四字詞語（只可硬攻，不可巧求，不可硬攻，只可巧求）加以總結(jié)，讓人耳目一新. 然而，這還不夠，教師不應(yīng)只著眼于一節(jié)課，而應(yīng)著眼于教會(huì)學(xué)生總結(jié)、反思、內(nèi)化. 例如，可以使用提示性問題“通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能說說我們研究了哪些問題？”“使用了哪些方法？”“你能簡(jiǎn)述這些方法的一般過程嗎？”“你能說說這兩種方法的區(qū)別何在？聯(lián)系在哪里嗎？”“你能說說用這兩種方法解題的關(guān)鍵在哪里？”“你知道如何根據(jù)問題情境選擇方法嗎？”等等.

（4）把表揚(yáng)和鼓勵(lì)的語言送給學(xué)生.

教師要對(duì)學(xué)生取得的進(jìn)步給予表揚(yáng)，對(duì)進(jìn)步緩慢的學(xué)生也給予鼓勵(lì). 這既是關(guān)愛學(xué)生的表現(xiàn)，也是教師“眼中有人，心中有學(xué)生”的體現(xiàn). 然而，在實(shí)際教學(xué)中，一些教師忙于完成教學(xué)任務(wù)，往往忽略了這一重要的環(huán)節(jié). 在本節(jié)課上，學(xué)生板演例1，由于教師看到學(xué)生沒有按照自己預(yù)設(shè)的方法構(gòu)建基底，于是不等他做完題就讓學(xué)生下去. 這樣的教學(xué)行為不僅會(huì)讓學(xué)生感到無奈與失落，也在一定程度上打擊了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性. 相反，如果教師能多一點(diǎn)耐心，多給學(xué)生一點(diǎn)時(shí)間和鼓勵(lì)，學(xué)生可能就會(huì)帶來一個(gè)驚喜（實(shí)際上按照學(xué)生的思路完全可以解決問題）. 因此，教師不要吝嗇自己的表揚(yáng)與鼓勵(lì)，把它送給學(xué)生.

總之，“育人為本”是課程改革精神的體現(xiàn). 作為廣大數(shù)學(xué)教師中的一員，應(yīng)該心中裝著學(xué)生，設(shè)身處地為學(xué)生的發(fā)展著想，并把這種想法付諸教學(xué)實(shí)踐之中.

參考文獻(xiàn)：

[1]安振亞. 從課例點(diǎn)評(píng)談青年教師如何上好一節(jié)課[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2020（3）：33-35，39.

收稿日期：2021-07-06

基金項(xiàng)目：安徽省教育信息技術(shù)研究課題——借助GeoGebra培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的實(shí)踐研究（AH2020045）.

作者簡(jiǎn)介：安振亞（1981— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育教學(xué)與解題研究.