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      建立幾何直觀 理解代數(shù)抽象

      2021-01-08 08:29:23顧予恒
      關(guān)鍵詞:圖解法幾何直觀向量

      摘? 要:以一節(jié)高三向量微專題課為載體,以向量的幾何視角為主題,通過解讀一系列的高考真題,幫助學(xué)生梳理向量與常見幾何圖形之間的“文、式、圖”表征關(guān)系. 借助圖形解讀題意,掌握圖解法的一般步驟. 引導(dǎo)學(xué)生自主命題,以達到培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的目的.

      關(guān)鍵詞:向量;幾何視角;圖解法;幾何直觀

      眾所周知,向量集數(shù)與形于一身,既是一種代數(shù)運算對象,又是一種幾何研究對象. 它兼具代數(shù)的抽象性和幾何的直觀性. 因此,思考向量問題也就有了代數(shù)和幾何兩種視角,用它來研究問題可以實現(xiàn)抽象思維與形象思維的有機結(jié)合.

      本文將呈現(xiàn)一節(jié)高三向量微專題課,以向量的幾何視角為主題,展現(xiàn)如何借助向量的幾何直觀來幫助學(xué)生解決抽象的代數(shù)問題,并提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),供大家研討.

      一、一節(jié)高三向量微專題課

      1. 提出問題,自然導(dǎo)入

      師:同學(xué)們,我們知道向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁,處理向量問題有代數(shù)與幾何兩種視角. 那么,一般在什么情況下使用代數(shù)視角,什么情況下使用幾何視角呢?

      學(xué)生的回答不一,可以看出學(xué)生選擇的多樣性.

      師:不知大家注意過沒有,我們在學(xué)習(xí)向量的表示時,知道向量有小寫字母[a,b,c]和大寫字母[OA,][ OB, OC]兩種表示形式. 那么,當(dāng)你看到用[a,b,c]寫成的題干,你覺得它是一個代數(shù)問題還是幾何問題?如果題干中全是[OA, OB, OC]表示,它又是哪一類問題呢?

      生:看到[a,b,c]容易想成代數(shù)式運算,看到[OA, OB, OC]肯定會先畫圖.

      師:確實,向量的表示形式有小寫字母(數(shù))與大寫字母(形)兩種. 若用大寫字母的表示形式替換小寫字母的表現(xiàn)形式,即令[a=OA,b=OB,c=OC],那么題目就自然而然地用幾何方法解決,我們把這樣的技巧稱為“以大換小”. 幾何法是研究向量問題的一種強有力的武器,這節(jié)課我們就一起來學(xué)習(xí)這種方法.

      2. 高考題源,探尋元素

      師:向量的幾何法首要是畫圖. 下面我們就一起先來看看曾經(jīng)的那些圖形,找找那些熟悉或不熟悉的幾何元素.

      模型1:靜態(tài)——向量加減,圖形運算,定性分析.

      例1? 設(shè)向量[a,b,c]滿足[a+b+c=0, a-b⊥c,][a⊥b].

      教師用PPT投影一半題干,引發(fā)學(xué)生疑惑.

      生:老師,題目沒有全部呈現(xiàn).

      師:我是故意的. 同學(xué)們知道這部分題干所表達的幾何含義嗎?請用“以大換小”的方法構(gòu)造滿足上述關(guān)系的圖形.

      生:令[a=OA,b=OB,c=OC],如圖1所示.

      師:幾何表達能讓我們知道抽象的代數(shù)式究竟表達何種意思,是抽象到直觀的必經(jīng)之路,所以也是處理向量問題的上佳選擇.

      師生活動:教師故意采用題干與結(jié)論分離呈現(xiàn)的方式,引導(dǎo)學(xué)生重視將代數(shù)題干轉(zhuǎn)譯為幾何圖形.

      教師用PPT投影剩余題干:若[a=1],則[a2+] [b2+c2]的值為______.

      生:正方形兩條邊長的平方與對角線平方的和,等于4.

      師:很好,我們一起共同回顧一下剛才的處理過程.

      第一步,以大換小,將題干所給的向量條件轉(zhuǎn)化為圖形,利用向量加、減的幾何表示,刻畫出了正方形這一幾何圖形,是定性分析.

      第二步,有了[a=1],模長的引入使得問題得以進行定量的計算.

      模型2:圓形——模長固定,定角定邊,圓來如此.

      例2? 已知[a,b]是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量[c]滿足[a-c · b-c=0],則[c]的最大值是? ? ? .

      解:因為[a-c · b-c=0],即[CA · CB=0],

      所以點[C]在以[AB]為直徑的圓上運動,如圖2所示.

      所以[c=OC≤2].

      例3? 已知[a,b]是兩個互相垂直的單位向量,若向量[c]滿足[c-a-b=1],則[c]的取值范圍是______.

      解:因為[c-a-b=c-a+b=1],即[OC-OD=][DC=1,]

      所以點[C]在以[D]為圓心、1為半徑的圓上運動,如圖3所示.

      所以[c=OC∈2-1, 2+1].

      例4? 已知兩個平面向量[a,b ][a≠0,a≠b]滿足[b=1],且[a]與[b-a]的夾角為[120°],則[a]的取值范圍是? ? ? .

      解:令[a=OA,b=OB],則[OB=1,∠OAB=60°.]

      所以點[A]在如圖4所示的兩段圓弧上,外接圓直徑[2R=1sin60°=233].

      所以[a=OA∈0, 233].

      師生活動:教師呈現(xiàn)三道問題,讓學(xué)生獨立完成,講解并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出三種常見的圓的向量表示形式(課堂過程從略).

      模型3:動態(tài)——引入?yún)?shù),激活圖形,動感十足.

      例5? 已知向量[a≠e,][ e=1],若對任意[t∈R,] 恒有[a-te≥a-e],則(? ? ).

      師:此題的關(guān)鍵是對題干條件的解讀. 隨著參數(shù)[t]的變化,向量[a-te]的模長發(fā)生了變化,且這個模長存在著最小值[a-e],當(dāng)且僅當(dāng)[t=1]時取得. 請同學(xué)們畫出它的幾何圖形.

      生:如圖5,隨著變量[t]的變化,點[B]在直線[OE]上運動.

      師:很好,平面向量中引入?yún)?shù),激活了圖形,給整個問題以“動感”,同時用[b=te]這一共線向量表征直線[OB]上的點. 從圖中能看出什么幾何關(guān)系?

      生:這個圖刻畫了直線外一定點到直線上一動點的距離以垂線段最短,當(dāng)且僅當(dāng)[AE⊥OE]時,[AB]取得最小值[AE].

      教師用PPT投影例5的選項.

      (A)[a⊥e] (B)[a⊥a-e]

      (C)[e⊥a-e] (D)[a+e⊥a-e]

      師:顯然這個幾何關(guān)系就是C選項,圖窮匕見,一目了然.

      例6? 已知平面向量[e1,e2]滿足[e1=1, e2=2,][e1 ? e2=1],已知[a=xe1+e2,x∈R,b=λe1+1-λe2,][λ∈R],若有且只有一個[λ],滿足[b-a=1],則[x]的值為? ? ? .

      師:這道題的題干中出現(xiàn)了三個主要的向量表達式:[a=xe1+e2,b=λe1+1-λe2, b-a=1],請逐一解讀.

      學(xué)生解讀如下.

      令[a=OA,b=OB,e1=OE1,][e2=OE2].

      則[OA=xOE1+OE2]表示點[A]在過[E2]且平行于[OE1]的直線上.

      [OB=λOE1+1-λOE2]表示點[B]與[E1,E2]三點共線.

      [AB=1]表示點[B]在以[A]為圓心、1為半徑的圓上,如圖6所示.

      因為有且只有一個[λ]滿足[AB=1],即只有一個點[B]符合條件,

      所以直線[E1E2]恰與圓[A]相切.

      所以[E2A=xOE1=1],即[x=±1].

      師:這道題中蘊含了平行線、三點共線和圓等多種圖形,幾何元素豐富多彩.

      3. 整理模型,總結(jié)方法

      在課堂解題過程中,教師引導(dǎo)學(xué)生整理學(xué)案上的表格.

      [幾何元素(文) 向量表示(式) 圖形呈現(xiàn)(圖) 點 [a=OA] 略 圓(直徑圓、標(biāo)準(zhǔn)圓、外接圓) [a-c ? b-c=0,c-a=r,a-b=r0,a-c,b-c=θ0] 略 線(所在直線、平行線、三點共線) [b=ta,a=xe1+e2,b=λe1+1-λe2] 略 ]

      有了這組“文、式、圖”,就有了用圖形解讀向量條件和用向量語言描述圖形的“彈藥”,實現(xiàn)了代數(shù)與幾何之間的自由切換.

      仿照教材中用向量法解決幾何問題的三個步驟,也可以得到借助幾何直觀解決向量問題的三個步驟.

      第一步,以大換小,代數(shù)轉(zhuǎn)入幾何——向量的小寫字母表示變?yōu)榇髮懽帜副硎?

      第二步,動筆畫圖,探尋幾何元素——畫出每個條件所表征的幾何元素.

      第三步,借助模長,定性轉(zhuǎn)向定量——在幾何元素之間構(gòu)建橋梁.

      4. 開放編題,學(xué)以致用

      有了這些幾何圖形,如何構(gòu)建起聯(lián)系它們的橋梁呢?求模長是非常有效的手段!教師繼續(xù)帶領(lǐng)同學(xué)們開啟編題之旅.

      題目? 設(shè)向量[a,b]滿足[a=2, b=3,a ? b=3],則[a-b]的值為? ? ? .

      師:這個問題的幾何背景是什么?

      生:這是一個兩邊長度與夾角確定的三角形,如圖7所示,用余弦定理可以求出第三邊長度為[7].

      師:對,一個確定的三角形,求的是兩個定點之間的距離. 能否在圖7的基礎(chǔ)上開放式地命制題目,適當(dāng)增加幾何元素,讓圖形復(fù)雜起來呢?

      變式1:如圖8,添加一個單位圓.

      師:請同學(xué)們思考如何表述以點[B]為圓心,1為半徑的圓?

      生1:[BC=1],即[c-b=1].

      生2:[c-23b · c-43b=0].

      生3:展開式為[c2-2b ? c+8=0].

      師:同學(xué)們分別用前文表中的標(biāo)準(zhǔn)式和直徑式,及二次式來表示圓,特別是二次式表示圓值得大家關(guān)注. 添加了圓之后,可以求什么呢?可以繼續(xù)求距離,如求圓上動點[C]與圓外定點[A]之間的距離,即求[a-c]的取值范圍.

      生4:顯然是[7-1, 7+1].

      變式2:如圖9,引入直線[OA].

      師:請大家思考如何表述直線[OA]?

      生:設(shè)[m=OM,a=OA, OM=tOA],即[m=ta].

      師:可以求直線[OA]上一動點與圓上動點的距離,如何表述?

      生:求[m-c]的取值范圍.

      師:恭喜大家命制出了2018年浙江高考真題.

      已知[a,b,e]是平面向量,[e]是單位向量. 若非零向量[a]與[e]的夾角為[π3],向量[b]滿足[b2-4e ? b+][3=0],則[a-b]的最小值是(? ? ).

      (A)[3-1] (B)[3+1] (C)2 (D)[2-3]

      解:如圖10,非零向量[a]與[e]的夾角為[π3].

      因為[b2-4e ? b+3=0]

      所以[b-2e2=1.]即[b-2e]=1.

      設(shè)[2e=OD],表示以[D]為圓心、1為半徑的單位圓.

      所以[a-b]的最小值即[AB]長度的最小值.

      顯然,當(dāng)[DA⊥OA]時,[ABmin=AB=3-1].

      變式3:如圖11,引入平行線[AN].

      設(shè)[n=ON],[a=OA],[b=OB],[ON=OA+tOB],即[n=][a+tb].

      師:不得了,命制出了2016年浙江學(xué)業(yè)水平考試試題.

      已知[e1,e2]為平面上不共線的單位向量,設(shè)[a=34],[b=e1+ke2 k∈R],若對任意的向量[a,b]均有[a-b≥34]成立,則向量[e1,e2]夾角的最大值是(? ? ).

      (A)[π3] (B)[2π3]

      (C)[3π4] (D)[5π6]

      解:如圖12,設(shè)單位向量[e1]與[e2]的夾角為[θ],[b=e1+ke2 k∈R]表示點[B]在平行線[l]上運動.

      [a=34]表示點[A]在以[O]為圓心、[34]為半徑的圓上運動.

      當(dāng)[OB⊥l],即點[B]在點[H]處時,[OH=sinθ].

      由[a-b≥34],得[a-bmin≥34].

      所以[ABmin=DH=sinθ-34≥34.]

      所以[sinθ≥32,] 即[θ∈π3, 2π3].

      變式4:如圖13,引入直線[AP].

      若[Q]為[OB]的中點,則[OP=λOA+1-λOQ],即[p=λa+1-λb2].

      師:命制出了2017年浙江數(shù)學(xué)競賽真題!

      已知向量[a,b,c]滿足[a=1, b=2, c=3,][0<λ<1]. 若[b · c=0],求[a-λb-1-λc]所有取不到的值的集合.

      解:如圖14,點[A]在單位圓上運動.

      設(shè)[OD=λb+1-λc,0<λ<1],則知點[D]在線段[BC]上.

      [a-λb-1-λc=OA-OD=DA]表示單位圓上的動點[A]到線段[BC]上的動點[D]的距離.

      當(dāng)[OE⊥BC],點[A]為[OE]與圓的交點[A]時,則[ADmin=61313-1];

      當(dāng)點[A]為[CO]延長線與圓[O]的交點[A]時,[ADmax=3+1=4];

      所以[a-λb-1-λc∈61313-1,4].

      所以取不到的值的集合為[-∞, 61313-1?4,+∞.]

      至此,相信大家也注意到了,解題時我們要將抽象的向量代數(shù)式轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形,而命題則恰恰相反,要將添加的幾何圖形包裝成向量的代數(shù)形式. 因此熟練掌握常見的幾何元素的向量表達方式,就可以命制出豐富多彩的向量問題. 當(dāng)然除了模長,數(shù)量積也常常作為考查的目標(biāo)式.

      最后,以一首打油詩為本節(jié)課作小結(jié).

      以小換大重塑向量條件,

      幾何語言描繪圖中乾坤.

      幾何直觀輔助代數(shù)抽象,

      數(shù)形結(jié)合自是妙不可言!

      二、教學(xué)反思

      1. 設(shè)計有新意,解題有方法

      本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計牢牢抓住“數(shù)形結(jié)合,幾何直觀助力理解代數(shù)抽象”這條主線,構(gòu)思巧妙有新意. 通過比較向量代數(shù)與幾何的兩種表示方法,提供了“以大換小”的方法. 通過回顧高考真題,梳理出靜態(tài)、圓形、動態(tài)三種模型,整理向量“文、式、圖”,為幾何法解題奠定了基礎(chǔ). 總結(jié)出借助幾何直觀研究向量問題的基本方法和步驟流程圖,讓求解向量問題有法可循.

      在教學(xué)過程中,教師并不是簡單地給題、做題、講題,而是巧妙地將問題分階段呈現(xiàn),引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注對向量語言描述的題干的理解,加深對向量工具性的體會,學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達世界.

      2. 思維有啟迪,素養(yǎng)有滲透

      本節(jié)課本著發(fā)展學(xué)生思維,幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會思考的理念進行設(shè)計. 特別是最后從母題出發(fā)一變再變的命題環(huán)節(jié)設(shè)計,充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性,讓學(xué)生掌握命題的基本方法,自己編題解題. 當(dāng)陸續(xù)命制出高考、學(xué)考、競賽真題時,學(xué)生不僅非常興奮,而且洞悉命題奧秘,達到知其然而知其所以然的目的,使學(xué)生的思維提高到一個新的高度.

      直觀想象素養(yǎng)是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng). 向量的幾何視角恰是利用幾何圖形幫助學(xué)生理解代數(shù)抽象,解決向量問題的方法. 數(shù)學(xué)之難首先難在其抽象性,相比于代數(shù)的抽象,幾何的直觀在幫助學(xué)生理解問題時更具優(yōu)勢. 因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)有助于提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

      3. 教學(xué)有延伸,課堂有活力

      事實上,對于高中階段常見的向量圖形,《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》已經(jīng)給出了明確的答案:向量是描述直線、曲線、平面、曲面及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具. 一節(jié)課雖然不可能窮盡所有幾何元素的表達方式,但是只要抓住“以大換小”繪圖的基本原則,將每一個條件的幾何圖形描繪出來,那么必定能收到“圖窮匕見,一目了然”的效果.

      幾何法上手容易,但真正熟練掌握還需要養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣,會畫圖,能畫圖,善畫圖. 在本節(jié)課的課堂上,教師充分放手給學(xué)生,讓學(xué)生逢圖必親自動手繪制,不讓學(xué)生只做課堂的看客. 同一道題構(gòu)圖的方式也可能有多種,并非一次就能畫出標(biāo)準(zhǔn)圖形,常常需要根據(jù)條件逐步修正. 教師日常畫圖演示也應(yīng)該實事求是,不宜每次都一步到位.

      參考文獻:

      [1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M]. 北京:人民教育出版社,2018.

      [2]曹鳳山. 年年考向量? 歲歲數(shù)與形:浙江省自主命題以來向量試題特點評析[J]. 中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(4):37-39.

      [3]江君香,黃漢橋. 平面向量模長問題的解決策略研究[J]. 數(shù)學(xué)通訊,2020(13):27-29,31.

      收稿日期:2021-07-07

      作者簡介:顧予恒(1981— ),男,中學(xué)高級教師,主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

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