巧用經(jīng)驗，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走向深度理解
——《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》教學(xué)實踐與思考

□葛敏輝

《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》是分?jǐn)?shù)教學(xué)的起始課，是后繼所有分?jǐn)?shù)的相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)。學(xué)生在正式認(rèn)識分?jǐn)?shù)以前，對生活中“二分之一”這樣的表述并不陌生，對“半個”“一半”也有著豐富的經(jīng)驗，看起來，這節(jié)課的教學(xué)似乎不難。但認(rèn)真推敲會發(fā)現(xiàn)：“半個”表述的是具體量的多少，“一半”表述的是兩個量之間的關(guān)系，兩者并不相同。教材中二者同時呈現(xiàn)，學(xué)生一開始也就這樣混沌著學(xué)習(xí)，在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的最初階段沒有顯示出問題，但隨著學(xué)習(xí)的深入，后繼解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常常會出現(xiàn)“量（具體數(shù)量）率（量與量之間關(guān)系）”混淆，問題解決困難的現(xiàn)象。

因此，在初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)時應(yīng)先讓學(xué)生深刻地認(rèn)識表示量的分?jǐn)?shù)的意義，不宜把表示關(guān)系的形式同時呈現(xiàn)，這樣更符合學(xué)生認(rèn)識數(shù)的邏輯序列。本設(shè)計從“半個”開始，利用學(xué)生的分物經(jīng)驗引導(dǎo)學(xué)生在“初步認(rèn)識”時體會分?jǐn)?shù)表示具體量的意義。

一、經(jīng)驗呈現(xiàn)，用“半塊”引出分?jǐn)?shù)

師：我們很小的時候就會分東西了，對嗎？今天老師請大家來幫助分餅，出示以下問題：

（1）如果把4塊餅平均分給2個人，每人分到（）塊餅。（板書：2塊）

（2）如果把2塊餅平均分給2個人，每人分到（）塊餅。（板書：1塊）

（3）如果把1塊餅平均分給2個人，每人分到（）塊餅。

生：半塊。（板書：半塊）

師：半塊該用什么數(shù)來寫呢？

生1：0.5。

師：你是用我們以前學(xué)過的小數(shù)來表示的！還有不同的嗎？

生2：二分之一。

師：小朋友們有沒有聽到過這樣的數(shù)？誰會寫呢？生3：這是分?jǐn)?shù)。（學(xué)生板書：）

師：對。這個數(shù)和我們以前學(xué)過的數(shù)不一樣，它叫分?jǐn)?shù)。今天這節(jié)課我們就來認(rèn)識這種新的數(shù)。（揭題）大家對這種新的數(shù)有什么疑問要提嗎？

生4：分?jǐn)?shù)為什么要這樣寫？

生5：半個已經(jīng)可以用0.5來表示，為什么還要有分?jǐn)?shù)來表示？

生7：分?jǐn)?shù)為什么會有兩個數(shù)字？

……

（教學(xué)思考：經(jīng)驗是新知生長的土壤和根基，調(diào)動學(xué)生生活中分物的經(jīng)驗引入分?jǐn)?shù)，把1塊餅平均分給2個人，每人分到半塊，這個“半塊”是學(xué)生熟悉的常識，怎么用數(shù)來表示它，就成了一個引起所有學(xué)生思考的焦點問題。這個過程不僅讓學(xué)生感受到分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，還打開了學(xué)生的數(shù)學(xué)視域，引發(fā)學(xué)生的主動思考和好奇心理，新知在舊知的基礎(chǔ)上自然生成。）

二、經(jīng)驗對接，借“形象”認(rèn)識分?jǐn)?shù)

（1）分?jǐn)?shù)的讀寫和名稱。

師：同學(xué)們有這么多問題想知道。那先來說說怎么讀、怎么寫，有知道的嗎？

學(xué)生介紹讀法、寫法，介紹各部分名稱。（略）

（2）討論“怎么得到半塊餅”。

師：想知道分?jǐn)?shù)里面的奧秘，還是讓我們回想一下，剛才是怎么得到半塊餅的？誰來說一說？（出示餅的模型）

生1：在餅的中間切一刀，就是半個餅。

生2：把餅對折，分成了兩半，就是半個餅。

生3：就是把餅平均分，分成2份，每份就是半個餅。

師：大家說的都是得到半個餅的過程。切一刀，平均分成了2塊，取1塊就是半個餅。這個過程在這個分?jǐn)?shù)（指）里能找到痕跡嗎？

生4：我找到了分成2份，就是底下的這個2。

生5：上面的1，就是拿起的其中1塊。

師：那切一刀這個平均分表示在哪里？

生6：應(yīng)該是上下兩個數(shù)字間的那條橫線。

小結(jié)：說得很好。平均分用“―”表示，2塊用2表示，1塊用1表示。

（3）比較優(yōu)化

師：剛才分出半塊餅的過程，你是喜歡用自己話來說，還是喜歡用這個分?jǐn)?shù)來表示？為什么？

生7：喜歡分?jǐn)?shù)記錄，因為很方便。

生8：分?jǐn)?shù)不僅讓我們知道是半個，還能讓我們知道是怎么分出來的。

（教學(xué)思考：這個環(huán)節(jié)在學(xué)生圍繞“怎么得到半塊餅”的自由闡述中，梳理出關(guān)鍵要素，即平均分、分成2份，取1份，雖然沒有過于形式化的語言規(guī)范，但學(xué)生用自己的生活語言已經(jīng)把這些要素表達(dá)出來了。這些經(jīng)驗與數(shù)學(xué)符號的對接，很好地賦予了分?jǐn)?shù)各部分的直觀表象，進(jìn)而讓學(xué)生體會到符號化表達(dá)的優(yōu)越性,這比機(jī)械地記憶分?jǐn)?shù)的概念更有意義。）

圖1

學(xué)生獨立完成后全班反饋。

圖2

生1：表示出來了。

生2：沒有表示出來。追問：說說你們的想法。

生2：他是用虛線來表示的。（上臺邊比畫邊說）

生3：對，你只平均分成了2塊。

生：可以通過涂色來表示取出的那一半。（邊講解邊演示。）

（學(xué)生修改后呈現(xiàn)作品，如圖3）

圖3

圖4

生：都可以的。

師：為什么都可以？

生1：因為它們都是表示半個正方形。

生2：因為他們都是把這個正方形平均分成2份，不管分出來的形狀是什么樣的，只要分出來的每1份都是半個正方形，就都是

小結(jié)：看來切法不是關(guān)鍵，形狀可以不相同，只要把正方形平均分成2份，其中的1份就是個正方形。（教學(xué)思考：從餅到圖形，從切半個到表示個正方形，目的是使分?jǐn)?shù)一直作為量的表示而理解，沒有出現(xiàn)率的表示，這樣可以使學(xué)生更好地從經(jīng)驗走向數(shù)學(xué)理解。通過比較不同的形式，進(jìn)一步使學(xué)生感悟到同一個圖形可以有形狀不同的個，但它們的本質(zhì)是一樣的，鞏固了學(xué)生對分?jǐn)?shù)本質(zhì)的認(rèn)識。）

三、經(jīng)驗泛化，以“比較”理解分?jǐn)?shù)

師：剛才同學(xué)們問，其他的分?jǐn)?shù)表示什么意思呢？我們來看，如果分的餅不是半塊，而是比半塊還要小的餅，我們該怎么表示呢？（出示更小塊餅的模型）

生3：無法表示。分?jǐn)?shù)是表示分的過程，現(xiàn)在不知道怎么分，所以無法表示。

（出示：熊大和熊二分餅，把這個餅平均分成4份，熊大拿起了1份。）

問題：這塊就是熊大的，熊大拿到了（）個餅。

師：熊二拿到了（）個餅。誰能上來寫一寫？

師：你們是怎么想的呀？

生7：分子一樣是因為他們?nèi)〉膲K數(shù)都一樣，分母不一樣是因為平均分的份數(shù)不一樣，一個平均分成2塊，一個平均分成4塊。

生8：分母一樣是因為都是平均分成4份，所以分母都是4。分子不一樣是因為取的塊數(shù)不一樣。取幾塊，在分子的位置上就寫幾。

小結(jié)：分母是表示平均分成的份數(shù)。分子表示取來的份數(shù)。（教學(xué)思考只是幾分之一的一個代表，是對前面的理解的一次泛化作為一個新生長點，如果學(xué)生理解了，無論是幾分之一都自然能理解。對的討論更是促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)的意義。在比較異同的活動中，使學(xué)生進(jìn)一步感悟到分母、分子分別表示什么，由此很好地理解用分?jǐn)?shù)來表示數(shù)量，不僅可以表示分物的過程，還可以表示分物的結(jié)果，用分?jǐn)?shù)表示數(shù)量關(guān)系更容易讓學(xué)生理解，方便他們把分?jǐn)?shù)納入到自己的認(rèn)數(shù)體系中。）

分?jǐn)?shù)具有多重意義。以上為從具體量開始教學(xué)分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識的一次嘗試，后繼在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)大小比較、同分母分?jǐn)?shù)加減的時候，都可以繼續(xù)嘗試以具體量為抓手進(jìn)行教學(xué)。當(dāng)學(xué)生對分?jǐn)?shù)“量”的含義理解深入后，進(jìn)一步借助“倍”理解分?jǐn)?shù)“關(guān)系”的含義，借助除法理解分?jǐn)?shù)“比”的含義等，讓分?jǐn)?shù)認(rèn)識的教學(xué)不急于一蹴而就，而是逐步走向豐富。