算理貫通 理法相融
——兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）學(xué)習(xí)新路徑研究

□周小芳周 琪靳培英鞏子坤

一、問(wèn)題提出

兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）要解決的關(guān)鍵問(wèn)題是“算理貫通”“數(shù)位對(duì)齊”，并實(shí)現(xiàn)理法相融；兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）要解決的關(guān)鍵問(wèn)題是“算理貫通”“進(jìn)位”，并實(shí)現(xiàn)理法相融。在前文（見(jiàn)本刊2020年第11期《算理貫通理法相融——兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）學(xué)習(xí)新路徑研究》）中我們通過(guò)三次教學(xué)設(shè)計(jì)、二次教學(xué)實(shí)踐，對(duì)比課堂教學(xué)中學(xué)生的表現(xiàn)、課后測(cè)試的結(jié)果，得到了兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑C。同樣，要實(shí)現(xiàn)兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）算理貫通、理法相融的教學(xué)目標(biāo)，也要設(shè)計(jì)合理的、具有邏輯關(guān)系的、層次遞進(jìn)的學(xué)習(xí)任務(wù)，這一系列學(xué)習(xí)任務(wù)就構(gòu)成了兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）的學(xué)習(xí)路徑。因而，為了得到這樣的學(xué)習(xí)路徑，本文同樣研究了如前文中所述的4個(gè)問(wèn)題。

我們同樣采取行動(dòng)研究法，在杭州一所普通小學(xué)的教師Z執(zhí)教的甲、乙兩班繼續(xù)開(kāi)展實(shí)證研究，研究設(shè)計(jì)、程序與有關(guān)的理論框架如前文。

二、學(xué)習(xí)路徑D

（一）學(xué)習(xí)路徑D呈現(xiàn)

教師Z在甲班實(shí)施的學(xué)習(xí)路徑D如圖1所示。

任務(wù)1、任務(wù)2都有現(xiàn)實(shí)背景。任務(wù)1是兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位），個(gè)位與個(gè)位相加不滿十，不需要進(jìn)位，重點(diǎn)解決“數(shù)位對(duì)齊”，這里意在幫助學(xué)生回憶、梳理已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，為順利遷移到兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）做鋪墊。

任務(wù)2是兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位），在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)擺小棒這樣直觀的操作到有條理的語(yǔ)言表達(dá)，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的過(guò)程，以此幫助學(xué)生理解算理，掌握算法。

（二）存在問(wèn)題與原因分析

1.沒(méi)有實(shí)現(xiàn)算理貫通

通過(guò)對(duì)課堂實(shí)錄的分析，發(fā)現(xiàn)教師Z意在通過(guò)多種方式來(lái)表征算理。然而，事與愿違，沒(méi)有實(shí)現(xiàn)算理的貫通，僅僅是多種表征的堆砌。

師：怎樣用小棒表示24+8的計(jì)算過(guò)程？

生：先擺2捆，再擺4根，接著再擺8根。這8根中拿出6根和4根湊成10根，捆成一捆，結(jié)果是32。

師：先算什么？再算什么？

生：先算24+6=30，再算30+2=32。

師：還可以怎么算？

生：8根和4根先加起來(lái)是12根，12根加2捆，結(jié)果是32。

師：先算什么？再算什么？

生：先算4+8=12，再算20+12=32。

師：如果用計(jì)數(shù)器表示，你會(huì)嗎？

生：先在十位上撥2顆算珠，再在個(gè)位上撥4顆算珠，最后在個(gè)位上再撥8顆算珠。

師：個(gè)位上的算珠超過(guò)了9怎么辦？

生：在十位加1顆，個(gè)位只留2顆。

師：那就相當(dāng)于先算什么？再算什么？

生：先算4+8=12，再算20+12=32。

師：那你們見(jiàn)過(guò)這兩種算法嗎？

師（指著豎式）：這是什么意思？

生：這是豎式。4加8等于12，個(gè)位滿十要向十位進(jìn)一，所以個(gè)位寫(xiě)2，向十位進(jìn)一，十位上2加1等于3，結(jié)果是32。

師（指著方法24+10-2=32）：那這種方法你能看懂嗎？

生：8+2等于10，10-2等于8。

師:我們把8化成10-2，之前我們學(xué)過(guò)了兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)，那么24+10等于34，然后34-2等于？

生：等于32。

由此可以看出，教師在教學(xué)過(guò)程中呈現(xiàn)的直觀圖僅僅是計(jì)算的結(jié)果，沒(méi)有體現(xiàn)出計(jì)算的過(guò)程，也就是沒(méi)有通過(guò)直觀來(lái)凸顯“進(jìn)位”的過(guò)程，因而，也就沒(méi)有留下直觀的“進(jìn)位”痕跡。如24+8=32，十位上由2變成3，這多出來(lái)的1個(gè)十，來(lái)源于何處，是如何得到的，直觀圖均沒(méi)有體現(xiàn)（當(dāng)然，教材中也沒(méi)有出現(xiàn)）。沒(méi)有直觀的圖，就不利于學(xué)生理解“滿十進(jìn)一”。

強(qiáng)調(diào)算法的多樣性，本是一件好事，但是，本節(jié)課的主要目的是“理解算理，并實(shí)現(xiàn)不同表征的貫通”，因而，算法絕不是越多越好。教師使用了多種橫式和豎式來(lái)表征24+8的計(jì)算過(guò)程，橫式一種是4+8=12，20+12=32；另一種是24+6=30，30+2=32；還有一種是24+10-2=32。僅僅豎式和橫式24+10-2=32教師就用了將近四分鐘的時(shí)間來(lái)講解。但是這些表征都沒(méi)有很好地體現(xiàn)出“進(jìn)位”，尤其24+10-2=32更是巧妙地避開(kāi)了“進(jìn)位”，與我們的教學(xué)目標(biāo)背道而馳。教師追求多種方法的講解，什么都想教給學(xué)生，結(jié)果反而使得計(jì)算方法雜亂無(wú)章、多而繁，由此造成直觀表征與直觀表征之間、直觀表征和符號(hào)表征之間的割裂，沒(méi)有實(shí)現(xiàn)表征的貫通，本質(zhì)上也就沒(méi)能夠?qū)崿F(xiàn)算理的有效貫通。

2.沒(méi)有實(shí)現(xiàn)理法相融

師：現(xiàn)在我們就有四種方法來(lái)計(jì)算24+8，你們都學(xué)會(huì)了嗎？

生：學(xué)會(huì)了。

師：接下來(lái)我要考考大家了。（接著學(xué)生開(kāi)始做練習(xí)）

在教授完四種方法后，教學(xué)戛然而止，直接進(jìn)入練習(xí)環(huán)節(jié)，教師并沒(méi)有對(duì)兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）的算法進(jìn)行一個(gè)總結(jié)、升華。雖然講解了計(jì)算24+8的多種方法，但是這幾種方法有沒(méi)有相同點(diǎn)，有沒(méi)有共性，學(xué)生不得而知。另外，教師在教學(xué)24+8時(shí)，在無(wú)任何鋪墊的情況下出示了豎式，學(xué)生感到愕然。首先，教師要明白，豎式在一定程度上屏蔽了算理，不利于學(xué)生對(duì)算理本質(zhì)的理解；其次，本次教學(xué)應(yīng)該為后面“豎式”的學(xué)習(xí)做相應(yīng)的鋪墊，而不是簡(jiǎn)單蒼白地呈現(xiàn)豎式。否則，后面學(xué)習(xí)兩位數(shù)加兩位數(shù)出現(xiàn)豎式時(shí)同樣會(huì)使學(xué)生愕然。

（三）學(xué)習(xí)路徑完善的建議

1.改變表征方式

要真正理解算理，就要促使多種直觀表征之間、直觀表征和符號(hào)表征之間相互貫通，實(shí)現(xiàn)表征一致性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化。因此，無(wú)論是直觀表征還是符號(hào)表征都要體現(xiàn)出進(jìn)位，留下進(jìn)位的痕跡，建議刪去屏蔽了進(jìn)位的橫式和豎式。

2.增加關(guān)鍵提問(wèn)

在學(xué)生掌握算理的基礎(chǔ)上，為促使算理走向算法，就要及時(shí)提出關(guān)鍵問(wèn)題：這些表征過(guò)程有何相同之處？在學(xué)生明確了要個(gè)位與個(gè)位對(duì)齊，滿十進(jìn)一后，再接著問(wèn)：你能比較24+5和24+8的異同嗎？

3.增加任務(wù)3

增加任務(wù)3：計(jì)算8+24，以此鞏固算理、算法，并初步感受加法交換律。

三、重構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑E

（一）學(xué)習(xí)路徑E呈現(xiàn)

教師Z在乙班重構(gòu)的學(xué)習(xí)路徑E如圖2所示。

圖2 學(xué)習(xí)路徑E

相對(duì)于學(xué)習(xí)路徑D，學(xué)習(xí)路徑E有以下變化：

（1）實(shí)現(xiàn)多種表征的一致性。直觀表征都留下了進(jìn)位的痕跡，從進(jìn)位前到進(jìn)位后，整個(gè)計(jì)算過(guò)程一目了然。且直觀表征與直觀表征之間、直觀表征與符號(hào)表征之間也相互貫通，相互呼應(yīng)，有利于算理貫通。雖然學(xué)生在20以內(nèi)的進(jìn)位加法中學(xué)習(xí)了進(jìn)位的概念，但那時(shí)的進(jìn)位，所進(jìn)上去的那位（十位）空無(wú)一物，無(wú)所依傍，也無(wú)所相加，因而，進(jìn)上去的“1”顯得孤零零的，學(xué)生對(duì)進(jìn)位的感受并不明顯；特別地，學(xué)生對(duì)8+7等于15已經(jīng)朗朗上口，這進(jìn)一步掩蓋了進(jìn)位的本質(zhì)。所以，要濃墨重彩描述“進(jìn)位”，凸顯進(jìn)位的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)進(jìn)位的一致與貫通。這恰恰是本堂課要突破的重點(diǎn)與難點(diǎn)。

（2）增加了思考問(wèn)題。學(xué)生通過(guò)多種方法進(jìn)行計(jì)算后，基本上已經(jīng)掌握了算理，這時(shí)及時(shí)提出思考問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生尋找這些方法的相同之處，以促進(jìn)算理有效貫通。同時(shí)，總結(jié)算法，使學(xué)生明白當(dāng)個(gè)位相加滿十時(shí)，需要向前進(jìn)一位。

（3）增加了任務(wù)3，意在鞏固算理，同時(shí)滲透加法交換律，使學(xué)生明白即便算式的形式改變了，但是本質(zhì)沒(méi)有變，依然要相同數(shù)位對(duì)齊，依然要滿十進(jìn)一；交換加數(shù)的位置，和不變。

（二）重構(gòu)路徑的效果分析

1.教學(xué)實(shí)況分析

（1）實(shí)現(xiàn)表征貫通。

師：用計(jì)數(shù)器怎樣表示24+8的計(jì)算過(guò)程？

生：先在十位上畫(huà)2顆算珠，在個(gè)位上畫(huà)4顆算珠，因?yàn)槭羌?，所以在個(gè)位上再畫(huà)8顆算珠。（學(xué)生邊說(shuō)，教師邊在黑板上操作，畫(huà)出直觀圖）

師：這樣個(gè)位上的算珠有多少顆？

生：12顆。

師：我們知道計(jì)數(shù)器的個(gè)位上最多只有幾顆算珠？

生：9顆。

師：也就是說(shuō)個(gè)位上的算珠數(shù)已經(jīng)超過(guò)了？

生：超過(guò)了9。

師：那怎么辦呢？

生：滿十進(jìn)一，要從12顆中拿出10顆放在十位上，也就是個(gè)位上的10顆變成十位上的1顆。

師：那個(gè)位上還有幾顆？

生：還有2顆。

師：所以結(jié)果是？

生：32。

（學(xué)生邊說(shuō)，教師邊在黑板上操作，畫(huà)出如圖3所示的直觀圖，留下思考的痕跡）

師：那么用擺小棒的方法怎么表示呢？

圖3

生：先擺2捆，再擺4根，加8，就再擺8根。

師：那右邊有幾根？

生：有12根。

師：可以變一變這個(gè)形式嗎？

生：從右邊拿10根捆成1捆，放在左邊。

師：那左邊現(xiàn)在有幾捆了？

生：有3捆。

師：這一捆哪里得到的？

生：從右邊拿出的10根捆成了1捆。

師：那右邊還剩多少？

生：還剩2根。

師：所以結(jié)果是？

生：32。

（學(xué)生邊說(shuō)，教師邊在黑板上操作，畫(huà)出如圖4所示的直觀圖；該圖事實(shí)上是為豎式的出現(xiàn)做好鋪墊）

圖4

（2）實(shí)現(xiàn)理法相融。

師：這兩種方法得出的計(jì)算結(jié)果一樣嗎？

生：一樣，都是32。

師：用的工具一樣嗎？

生：不一樣。

師：為什么用的工具不一樣，而結(jié)果會(huì)一樣呢？

生：計(jì)算過(guò)程一樣，都是先算個(gè)位，再算十位。

師：還有呢？

生：都是滿十進(jìn)一。

師：都是哪里滿十進(jìn)一？

生：都是個(gè)位滿十，向十位進(jìn)一。

師：個(gè)位怎么計(jì)算的？

生：4+8=12。

師：滿十進(jìn)一的十從哪里來(lái)的？

生：從12中拿出一個(gè)10。

師：也就是把12分成10和2。然后把拿出來(lái)的這個(gè)十加到哪一位上？

生：十位。

師：也就是說(shuō)十位上要加一個(gè)十，算式是？

生：20+10=30。

師：個(gè)位上還剩幾？

生：還剩2。

師：所以十位上和個(gè)位上的數(shù)加起來(lái)是？

生：30+2=32。

師：老師想問(wèn)問(wèn)大家，算式24+8和24+5有什么不一樣嗎？

生：第一個(gè)加數(shù)都一樣，都是24，第二個(gè)加數(shù)一個(gè)是8，一個(gè)是5。

生:24+5個(gè)位上的數(shù)相加沒(méi)有滿十，24+8個(gè)位上的數(shù)相加滿十了，要向前進(jìn)一位。

師：對(duì)，滿十要進(jìn)一。你會(huì)計(jì)算8+24嗎？

生：會(huì)，等于32。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)是怎么計(jì)算的？

生：因?yàn)?4+8等于32，8+24也等于32，它們都是一樣的數(shù)，只不過(guò)交換了一下加數(shù)的位置，結(jié)果還是一樣的。

師：如果讓你用這些方法表示，你會(huì)嗎？怎么表示？（教師指向直觀圖）

生：先畫(huà)出數(shù)字8，再畫(huà)出數(shù)字24。

師：計(jì)算方法是？

生：先算個(gè)位，個(gè)位滿十要向十位進(jìn)一。

通過(guò)以上教學(xué)過(guò)程，最終使學(xué)生明白，兩位數(shù)加一位數(shù)，要先算個(gè)位，當(dāng)個(gè)位上的數(shù)相加滿十時(shí)，需要進(jìn)位，滿十進(jìn)一。在此過(guò)程中，邊回顧算理，邊讓算理水到渠成地走向算法。

2.課后測(cè)試結(jié)果比較

為了檢測(cè)路徑D、E的實(shí)施效果，我們?cè)O(shè)計(jì)了2道題目，兩次教學(xué)前后分別對(duì)甲、乙兩班的學(xué)生實(shí)施了前后測(cè)（表1、表2），以此考查學(xué)生掌握算理的情況。

先列式計(jì)算，然后用盡可能多的方法，如文字解釋、畫(huà)直觀圖、算式表示等來(lái)說(shuō)明你的計(jì)算方法是合理的，說(shuō)明得越詳細(xì)越好[1]。

（1）小明上午買(mǎi)了28瓶礦泉水，下午又買(mǎi)了4瓶，小明今天一共買(mǎi)了幾瓶礦泉水？

（2）小明上午花了26元錢(qián)，下午花了6元錢(qián)，小明今天一共花了幾元錢(qián)？

表1 第一次教學(xué)甲班前后測(cè)不同理解類型的平均分

由表1可以看出，在三種理解類型上，后測(cè)的數(shù)據(jù)高于前測(cè)，尤其是程序理解和抽象理解。后測(cè)中程序理解的平均分是0.93，也就是說(shuō)絕大部分學(xué)生可以正確地計(jì)算兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）的得數(shù)；直觀理解的平均分是0.2，相對(duì)來(lái)說(shuō)增長(zhǎng)較少，說(shuō)明大部分學(xué)生還不會(huì)畫(huà)直觀圖。

表2 第二次教學(xué)乙班前后測(cè)不同理解類型的平均分

由表2可以看出，后測(cè)數(shù)據(jù)中，程序理解的平均分是0.96，即絕大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確計(jì)算出得數(shù)，直觀理解的平均分是0.52，即有一半的學(xué)生會(huì)畫(huà)直觀圖，且這個(gè)數(shù)據(jù)大幅度高于前測(cè)，抽象理解的平均分是0.72，即有大部分學(xué)生會(huì)語(yǔ)言表述計(jì)算過(guò)程。整體上說(shuō)，在三種理解類型上，后測(cè)的數(shù)據(jù)要大幅度高于前測(cè)，也就是說(shuō)，實(shí)施學(xué)習(xí)路徑E后，教學(xué)取得了較好的效果，說(shuō)明這一路徑得到了優(yōu)化。

3.問(wèn)題與改進(jìn)建議

（1）任務(wù)3的進(jìn)一步完善。

教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生比較24+5和24+8的異同后，讓學(xué)生計(jì)算8+24，給學(xué)生提供時(shí)間與空間，以鞏固算理、算法；由于算理不可能一次掌握，所以，此處給學(xué)生提供反思、鞏固的機(jī)會(huì)就顯得十分必要。同時(shí)，讓學(xué)生比較8+24和24+8的異同，以此感悟交換律。

（2）豎式再次出現(xiàn)。

盡管我們強(qiáng)調(diào)了“豎式”不利于算理的貫通，甚而屏蔽了算理，但是教師Z沒(méi)有采納這一建議。在她看來(lái)，也許豎式更利于計(jì)算。

四、結(jié)論與建議

（一）學(xué)習(xí)路徑的建議

學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是遵循程序性知識(shí)學(xué)習(xí)的心理路徑，設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的學(xué)習(xí)任務(wù)[2]。通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)路徑D、E的實(shí)踐、分析、反思與批判，從促進(jìn)學(xué)生理解算理的視角出發(fā)，我們建議兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）的學(xué)習(xí)路徑可構(gòu)建如下（圖5）。

圖5 學(xué)習(xí)路徑F

（二）算理貫通的重點(diǎn)是促使多種表征貫通

調(diào)查表明，大部分學(xué)生“都知道怎樣算，但是對(duì)于這樣算的道理卻知之甚少”。[3]

也就是說(shuō)，學(xué)生只掌握了算法，并不理解算理。而各種表征就是溝通算理與算法之間的橋梁，一頭連接著隱性而抽象的算理，另一頭連著顯性而具體的算法。因此，學(xué)生能否理解算理，能否靈活運(yùn)用算法，各種表征的呈現(xiàn)就顯得至關(guān)重要。

（三）理法相融的重點(diǎn)是促使算理走向算法

沒(méi)有算理的理論支撐，就不能提供正確的思考方向，從而容易導(dǎo)致計(jì)算的不合理性和錯(cuò)誤率，離開(kāi)算法的提煉概括，算理的存在也是毫無(wú)意義的[4]。也就是說(shuō)，算法中蘊(yùn)含著算理，算理解釋著算法，促使算理走向算法，實(shí)現(xiàn)理法相融至關(guān)重要。