高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象再理解

劉海燕

[摘? 要] 核心素養(yǎng)的背景下理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，只有從理論上建立起了正確的理解，那到了實踐中才能符合核心素養(yǎng)培育的軌道. 對數(shù)學(xué)抽象的深度理解，包括這樣幾個方面：其一，數(shù)學(xué)抽象是發(fā)生在一定的數(shù)學(xué)情境中的;其二，數(shù)學(xué)抽象對應(yīng)著復(fù)雜的思維過程，可以將這個思維過程理解為去偽存真;其三，數(shù)學(xué)抽象的過程是數(shù)學(xué)思想方法充分運用的過程.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;教學(xué)理解

自從高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)正式頒布之后，其所包括的六個要素就受到高中數(shù)學(xué)教師的普遍關(guān)注，根據(jù)筆者日常教學(xué)中與同行的交流，有一個重要的發(fā)現(xiàn)，那就是一線教師認(rèn)為這六個要素的表述都是簡單易懂的，因而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)嚴(yán)格來講并沒有什么“新意”，只是對數(shù)學(xué)教學(xué)中若干個傳統(tǒng)的融合與強調(diào). 從概念的角度來看，這樣的理解確實有一定的道理，但筆者同時又感覺這樣的理解存在著一定的簡單化思想. 也就是說，在核心素養(yǎng)的背景下理解數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個要素，應(yīng)當(dāng)有堅持、有創(chuàng)新，而且這個堅持與創(chuàng)新首先是理論上的堅持與創(chuàng)新，只有從理論上建立起了正確的理解，那到了實踐中才能符合核心素養(yǎng)培育的軌道. 基于這樣的認(rèn)識，本文以數(shù)學(xué)抽象要素為例，談?wù)勅绾紊疃壤斫鈹?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)抽象的基本理解與深度理解

眾所周知，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中. 正是數(shù)學(xué)抽象，使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級的系統(tǒng). 這樣的理解其實比較學(xué)術(shù)化，在結(jié)合教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上，可以將這樣的理解分解為基本理解和深度理解兩個層次.

對數(shù)學(xué)抽象的基本理解是必要的，這是立足之基. 簡單來說，數(shù)學(xué)抽象就是將形象的物體，用數(shù)學(xué)的思維去加工，僅留下與數(shù)學(xué)相關(guān)的要素，并且可以用數(shù)與形來描述. 當(dāng)將“長方的物體”變成“長方形”時，將“斜拋出去的物體的運動軌跡”變成“拋物線”時……就完成了一個個數(shù)學(xué)抽象的過程. 對數(shù)學(xué)抽象建立起來的這樣的基本理解，可以讓教師和學(xué)生更好地步入數(shù)學(xué)抽象的大門，從而通過數(shù)學(xué)抽象去建立起數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律，并且在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，首先可以通過數(shù)學(xué)抽象為尋找相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型做準(zhǔn)備.

對數(shù)學(xué)抽象的深度理解也是必要的，這是發(fā)展之基. 對數(shù)學(xué)抽象的深度理解，包括這樣的幾個方面：其一，數(shù)學(xué)抽象是發(fā)生在一定的數(shù)學(xué)情境中的. 當(dāng)數(shù)學(xué)情境為學(xué)生提供形象、豐富的學(xué)習(xí)材料時，數(shù)學(xué)抽象才有了對象;其二，數(shù)學(xué)抽象對應(yīng)著復(fù)雜的思維過程，可以將這個思維過程理解為去偽存真——所謂的偽就是與數(shù)學(xué)無關(guān)的內(nèi)容，所謂的真就是與數(shù)學(xué)有關(guān)的內(nèi)容;其三，數(shù)學(xué)抽象的過程是數(shù)學(xué)思想方法充分運用的過程. 數(shù)學(xué)抽象直接對應(yīng)著分析與綜合等基本科學(xué)方法的運用，還需要解析法、構(gòu)造法等方法的參與，因此數(shù)學(xué)抽象的過程實際上也是一個培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思想方法的過程.

有了上述基本理解與深度理解，尤其是基本理解基礎(chǔ)上的深度理解，那核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)，就可以從淺層走向深度，從而奠定核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ).

基于數(shù)學(xué)抽象深度理解實施教學(xué)

當(dāng)然從行文的角度來看，本文所闡述的側(cè)重點是數(shù)學(xué)抽象的深度理解，考慮到一線教師的需要，結(jié)合具體的案例進(jìn)行分析，是實踐成果得以共享的最好選擇.

從一般意義的角度來看，數(shù)學(xué)抽象的落地需要在課堂教學(xué)中，讓學(xué)生實質(zhì)性地參與數(shù)學(xué)抽象的每一個過程，認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象這種創(chuàng)造性活動的一般性原則與方法. 結(jié)合上述對數(shù)學(xué)抽象深度理解的三點，這里以“函數(shù)”概念的教學(xué)為例來進(jìn)行闡述.

高中階段的函數(shù)概念，重在幫學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)及其構(gòu)成要素，經(jīng)驗表明這個過程對于相當(dāng)一部分學(xué)生而言都有難度，因此教學(xué)設(shè)計的時候要盡可能地提供感性材料，以讓學(xué)生進(jìn)行充分的數(shù)學(xué)抽象，然后歸納得出函數(shù)的概念. 實際教學(xué)中可以提供的例子有：自由落體或者斜拋運動的實例——其中物體水平移動的距離或者豎直運動的高度，與時間之間是一對函數(shù)關(guān)系;某地區(qū)某個時間段的氣溫變化圖，其中溫度與時間之間是一對函數(shù)關(guān)系……相對而言這是學(xué)生比較熟悉的例子，可以在教學(xué)初期提供. 由于學(xué)生相對比較熟悉，所以這個時候的數(shù)學(xué)抽象往往進(jìn)行得比較順利，只要學(xué)生發(fā)現(xiàn)變量之間的關(guān)系即可（對于部分學(xué)困生而言，只要知道兩個變量即可）.

為了鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知，在上述兩個例子的基礎(chǔ)之上，教師可以提供一個學(xué)生相對陌生的例子來讓學(xué)生分析. 這實際上是一個能力遷移的過程，對應(yīng)著數(shù)學(xué)抽象深度理解中的情境提供、方法運用，以及能力遷移. 筆者在教學(xué)中舉的例子是“恩格爾系數(shù)”的例子，這個素材學(xué)生相對比較陌生，但又是國民經(jīng)濟生活中的常用概念，客觀上可以起到聯(lián)系數(shù)學(xué)與生活的作用，且可以拓寬學(xué)生的視野.

圖1是1978～2012年中一些年份的恩格爾系數(shù)，觀察這幅圖，讓學(xué)生說說自己的發(fā)現(xiàn).

相比較上面的兩個例子而言，這樣一個圖相對形象（其實本身也是抽象的產(chǎn)物，但是相對于表格呈現(xiàn)方式而言，已經(jīng)比較形象了，相對于函數(shù)概念的建立而言，更是一個形象的例子，這也說明數(shù)學(xué)抽象本身是一個相對的過程），學(xué)生在利用思維進(jìn)行加工的過程中，首先看到的是“趨勢”，其后要努力的就是探尋恩格爾系數(shù)與年份之間的關(guān)系，而這實際上就是尋找變量的過程，也是此前形成的能力遷移到新情境中，并幫助學(xué)生完成抽象以建立函數(shù)概念的過程.

通過以上教學(xué)設(shè)計，學(xué)生在建立函數(shù)概念的過程中，多次運用到數(shù)學(xué)抽象，且會認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象得出“函數(shù)”概念的關(guān)鍵就是尋找變量，明確變量關(guān)系，綜合、比較、概括的方法運用非常充分，是一個具有深度的數(shù)學(xué)抽象過程.

數(shù)學(xué)抽象不排斥當(dāng)前評價的標(biāo)準(zhǔn)

高考是高中數(shù)學(xué)教學(xué)繞不開的話題，是當(dāng)前唯一的用以評價選拔的方法. 因此，在評價標(biāo)尺的背景下思考數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)，也是務(wù)實之舉.

實際上高考對數(shù)學(xué)抽象的要求歷來都是有的，十多年前高考題目在抽象性方面就已經(jīng)加大要求，對考生抽象概括能力提出了更高的要求，而且特別強調(diào)教師在平時的教學(xué)中必須培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力. 即使本文提出對數(shù)學(xué)抽象應(yīng)當(dāng)有深度理解，其也不是以犧牲學(xué)生的考試能力為代價的，實際上數(shù)學(xué)抽象深度理解的三點內(nèi)容，與高考評價是不矛盾的：分析情境進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，是當(dāng)前不少高考數(shù)學(xué)題能力立意的基礎(chǔ);數(shù)學(xué)思想方法的運用更體現(xiàn)在多種題型上;很多時候?qū)W生規(guī)避高考試題中的陷阱，實際上也是一個去偽存真的過程，從這個角度講，數(shù)學(xué)抽象也培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)試能力，因此其與核心素養(yǎng)培育是兩不誤的. 認(rèn)識到這一點，可以讓數(shù)學(xué)抽象更加行穩(wěn)致遠(yuǎn)！