導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中構(gòu)造輔助函數(shù)的方法技巧探討

吳德滿

[摘? 要] 構(gòu)造輔助函數(shù)是求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常用策略，而構(gòu)造函數(shù)的方法技巧較為眾多，需要結(jié)合具體問(wèn)題合理選用. 解題時(shí)所構(gòu)函數(shù)的形式不同，獲得的解題效果也不相同，文章對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題加以剖析，結(jié)合實(shí)例簡(jiǎn)要探討作差構(gòu)造、拆分構(gòu)造、換元構(gòu)造和特征構(gòu)造四種構(gòu)造技巧，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 導(dǎo)數(shù);構(gòu)造;函數(shù);作差法;拆分法;換元法;特征法

問(wèn)題綜述

在近幾年的高考中，出現(xiàn)了眾多求證不等式或求參數(shù)范圍的問(wèn)題，問(wèn)題求解的核心工具是導(dǎo)數(shù)知識(shí)，因此可將其歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)問(wèn)題. 該類問(wèn)題一般結(jié)構(gòu)獨(dú)特、綜合性強(qiáng)，突破求解時(shí)需要采用一定的方法技巧，其中構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題最為有效的方法，既可以降低思維難度，求解思路又更為清晰. 但實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生大多沒(méi)有完全掌握函數(shù)構(gòu)造的技巧，經(jīng)驗(yàn)匱乏，所構(gòu)函數(shù)不合理，因此十分有必要深入剖析導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中函數(shù)構(gòu)造的方法，總結(jié)常用的構(gòu)造技巧.

技巧探討

導(dǎo)數(shù)題目本身的形式較為多變，復(fù)雜度也不一致，因此構(gòu)造函數(shù)時(shí)需要根據(jù)題目特點(diǎn). 總體來(lái)說(shuō)，函數(shù)構(gòu)造時(shí)最常用的方法有作差法、拆分法、換元法、特征法，下面結(jié)合實(shí)例加以探討.

技巧一：作差構(gòu)造

作差構(gòu)造法，顧名思義，通過(guò)對(duì)數(shù)式進(jìn)行作差變換來(lái)構(gòu)建函數(shù)的一種方法. 具體作差構(gòu)造時(shí)又分為多種情形，包括直接作差、變形作差，其核心內(nèi)容均是通過(guò)作差來(lái)完成函數(shù)構(gòu)造.

例1：已知f（x）=■，試證明：對(duì)于任意的正數(shù)a，均存在正數(shù)x，使得不等式f（x）-1

解析：題干給出了函數(shù)f（x）的解析式，求證不等式成立首先需要將解析式代入，將不等式化為■-1ln（a+1）時(shí)，G′（x）>0. G（x）min=G（ln（a+1））=a-（a+1）ln（a+1）. 分析可知a-（a+1）ln（a+1）<0，因此可知存在正數(shù)x=ln（a+1），使得不等式f（x）-1

點(diǎn)撥：上述在證明時(shí)采用了變形作差的函數(shù)構(gòu)造技巧，即首先對(duì)函數(shù)f（x）-1

技巧二：拆分構(gòu)造

對(duì)于某些不等式證明或求值問(wèn)題，若直接構(gòu)造時(shí)較難分析，也可以采用拆分構(gòu)造的策略. 首先對(duì)不等式進(jìn)行合理拆解，將其分為多個(gè)部分，然后結(jié)合構(gòu)造思想來(lái)構(gòu)建函數(shù)，完成求解. 從構(gòu)造方式來(lái)看也稱之為局部構(gòu)造.

例2：已知函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=aexlnx+■，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y=e（x-1）+2，試回答下列問(wèn)題：

（1）試求a和b的值;

（2）證明：f（x）>1.

解析：（1）根據(jù)條件可知切線的斜率為e，同時(shí)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，f（1）），顯然可以根據(jù)上述兩個(gè)條件來(lái)建立方程.原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=aexlnx+■+■（x>0），則有f（1）=2，f′（1）=e，可解得a=1，b=2.

（2）根據(jù)（1）問(wèn)可知f（x）=exlnx+■（x>0）. 證明f（x）>1，等價(jià)于xlnx>xe-x-■，由不等號(hào)左側(cè)構(gòu)造函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，分析可知當(dāng)x∈0，■時(shí)，g′（x）<0;x∈■，+∞時(shí)，g′（x）>0，所以函數(shù)g（x）在0，■上單調(diào)遞減，在■，+∞上單調(diào)遞增，從而在（0，+∞）上的最小值為g■=-■.

由不等號(hào)右側(cè)構(gòu)造函數(shù)h（x）=xe-x-■，則h′（x）=e-x（1-x），分析可知函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而在（0，+∞）上的最大值為h（1）=-■.

綜上可知，當(dāng)x>0時(shí)，g（x）> h（x），從而有f（x）>1，證畢.

點(diǎn)撥：上述第（2）問(wèn)是證明不等式成立，顯然需要利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)完成，但若直接由不等式來(lái)構(gòu)建函數(shù)，求導(dǎo)后函數(shù)會(huì)過(guò)于復(fù)雜，不易分析. 因此可以采用移項(xiàng)拆分的策略，將其拆分為兩部分，分別構(gòu)造函數(shù)，顯然兩個(gè)分函數(shù)的性質(zhì)更容易獲得.

技巧三：換元構(gòu)造

換元同樣也可以作為構(gòu)造函數(shù)的一種策略，即利用新元來(lái)替換原函數(shù)的部分或全部，使之變量化多為少，從而達(dá)到減元的目的. 通過(guò)換元構(gòu)造可以使函數(shù)的特征結(jié)構(gòu)更為清晰，該方法多用于處理多元函數(shù)問(wèn)題中.

例3：試證明當(dāng)n>m>0時(shí)，有l(wèi)nn-lnm>■-■.

解析：上述題干給定了變量關(guān)系，求證不等式成立，可以先對(duì)不等式簡(jiǎn)單變形，可得ln■-■+■>0，顯然只需要該不等式成立即可.由于其中含有變量m和n，可以采用換元構(gòu)造的策略. 令■=x，則x>1，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-■+x（x>1），其導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=■+■+1，由于x>1，所以g′（x）>0，故g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增. 已知n>m>0，則■>1，有g(shù)■>g（1）=0，從而可證ln■-■+■>0，則原不等式成立.

點(diǎn)撥：上述所證不等式的最顯著特征是含有兩個(gè)變量，因此需要分換元、構(gòu)造兩步進(jìn)行，即常見(jiàn)的換元構(gòu)造策略，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的一元函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，顯然可以降低思維. 需要注意的是在完成換元后，需要根據(jù)條件來(lái)確定新元的取值范圍，確保新函數(shù)的取值有意義.

技巧四：特征構(gòu)造

特征法構(gòu)造函數(shù)指的是根據(jù)問(wèn)題式子的特征結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造函數(shù)的方式，可以是條件特征，也可以是結(jié)論特征. 解析時(shí)需要準(zhǔn)確把握數(shù)式的相似結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合類比思想完成函數(shù)構(gòu)造，常用于常規(guī)不等式、數(shù)列不等式問(wèn)題證明，采用特征構(gòu)造的方式往往可以使抽象問(wèn)題直觀化.

例4：已知函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=lnx+■，m∈R，如果對(duì)于任意的b>a>0，不等式■<1始終成立，試求m的取值范圍.

解析：本題目求證不等式成立，不等式的構(gòu)建與函數(shù)f（x）有關(guān)，問(wèn)題等價(jià)于求證f（b）-b0），若要使不等式成立，則需使導(dǎo)函數(shù)h′（x）=■-■-1≤0在（0，+∞）上恒成立，從而可得m≥ -x2+x=-x-■2+■（x>0），所以有m≥■（當(dāng)x=■時(shí)，等號(hào)成立）. 所以m的取值范圍為■，+∞.

點(diǎn)撥：上述是關(guān)于求解參數(shù)取值范圍的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，題干給出了條件函數(shù)及相關(guān)不等式，求解時(shí)通過(guò)對(duì)不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化獲得了后續(xù)函數(shù)構(gòu)造的參照條件，采用的是根據(jù)條件特征構(gòu)造的技巧.特征構(gòu)造的方法技巧使用十分普遍，解題時(shí)需要善于觀察不等式的特征結(jié)構(gòu)，總結(jié)數(shù)式規(guī)律.

反思教學(xué)

構(gòu)造函數(shù)是求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常用策略，上述探討的四種構(gòu)造函數(shù)技巧有著極強(qiáng)的應(yīng)用性，從函數(shù)的構(gòu)造過(guò)程來(lái)看，無(wú)非就是兩步：第一步對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，第二步根據(jù)轉(zhuǎn)化后的情形構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)來(lái)加以探討. 但采用函數(shù)構(gòu)造解析問(wèn)題時(shí)不能盲目套用公式，需要學(xué)生靈活變通，下面提出幾點(diǎn)提升學(xué)生構(gòu)造能力的建議.

1. 關(guān)注數(shù)式規(guī)律，提升學(xué)生觀察力

從上述四道例題來(lái)看，問(wèn)題中所涉不等式的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容較為多樣，包含了分?jǐn)?shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)等內(nèi)容，構(gòu)造形式也大不相同. 在實(shí)際求解時(shí)需要學(xué)生深入分析不等式的結(jié)構(gòu)特征，從中提煉數(shù)形規(guī)律，確定合理的構(gòu)造策略，因此對(duì)學(xué)生的觀察力有著較高的要求. 在實(shí)際教學(xué)中，不能局限于指導(dǎo)解題過(guò)程，還需要注重提升學(xué)生的觀察力，可以通過(guò)設(shè)問(wèn)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生分析不等式所涉內(nèi)容、形式特點(diǎn)、含參個(gè)數(shù)、成立條件等，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)知.

2. 積累變形方式，重視知識(shí)積累

利用函數(shù)構(gòu)造法求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，最為關(guān)鍵的一步是對(duì)不等式的等價(jià)變形，這是后續(xù)函數(shù)構(gòu)造的基礎(chǔ). 由于不等式的多樣性，變形處理的方法也大不相同，這就要求學(xué)生必須掌握一定的變形處理手段，包括移項(xiàng)、參數(shù)分離、去分母等. 考慮到變形手段與代數(shù)知識(shí)有著關(guān)聯(lián)性，在教學(xué)中需要立足數(shù)式性質(zhì)，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)，積累變形經(jīng)驗(yàn)，提升運(yùn)算能力. 不等式變形的過(guò)程是恒等變形，因此教學(xué)中需要使學(xué)生理解數(shù)式變形的本質(zhì)，深刻認(rèn)識(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想內(nèi)容.

3. 總結(jié)函數(shù)模型，增強(qiáng)聯(lián)想思維

利用函數(shù)性質(zhì)化解是問(wèn)題解決的重要一步，在該步中需要利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)分析問(wèn)題，化簡(jiǎn)求解. 實(shí)際上構(gòu)造函數(shù)就是構(gòu)造函數(shù)模型，利用模型的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，因此教學(xué)中十分有必要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)基本的函數(shù)模型，如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等，并掌握復(fù)合函數(shù)的構(gòu)建技巧及求導(dǎo)方法. 同時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維，使學(xué)生掌握根據(jù)數(shù)式特征構(gòu)建函數(shù)的方法. 思維的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，教學(xué)中要結(jié)合具體的考題，采用引導(dǎo)設(shè)問(wèn)的方式促進(jìn)學(xué)生思考，逐步提升學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性.

總之，掌握導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中常見(jiàn)的函數(shù)構(gòu)造技巧是提升解題效率的關(guān)鍵，除了需要使學(xué)生理解不同構(gòu)造技巧的內(nèi)涵，還需要掌握相應(yīng)的構(gòu)造步驟. 函數(shù)構(gòu)造的過(guò)程實(shí)則是創(chuàng)造的過(guò)程，需要聯(lián)想思考，因此需要提升學(xué)生的思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生綜合素養(yǎng)的發(fā)展.