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    論數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢與應(yīng)用

    2020-09-26 11:16:35朱強
    關(guān)鍵詞:思想方法數(shù)形結(jié)合思維能力

    朱強

    [摘? 要] 宏觀看待高中數(shù)學(xué)內(nèi)容,我們發(fā)現(xiàn)盡管不少知識間存在著必然聯(lián)系,但大多數(shù)知識具有抽象和難懂的本質(zhì)特征,學(xué)生在理解的過程中仍存在著些許難度. 數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的優(yōu)勢不僅僅局限于可以幫助學(xué)生理清知識內(nèi)容,最大的優(yōu)勢在于可以為學(xué)生打開解題思路,提高學(xué)生的思維能力. 文章從三角問題、與方程的解有關(guān)的問題、復(fù)數(shù)問題以及解析幾何問題方面著手,談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢與應(yīng)用.

    [關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;思想方法;解題;思維能力

    數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)意識形成的“催化劑”,更是靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識技能的源泉.高考中,幾乎每個“把關(guān)題”都離不開數(shù)學(xué)思想的參與. 因此,教師需要在解題教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生時時總結(jié)、常常反思,在解題的過程中不斷提煉“精髓”,使數(shù)學(xué)思想自然形成,使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力在數(shù)學(xué)思想的浸潤下逐漸提升.

    數(shù)形結(jié)合是一種獨具特色的信息轉(zhuǎn)化思想,它也是解決數(shù)學(xué)問題的一個有效工具,將這一方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),能將直觀圖形和抽象數(shù)學(xué)有機地串聯(lián)起來,這樣的處理能夠使學(xué)生的數(shù)學(xué)感知與數(shù)學(xué)思維相融合,使學(xué)生的思維過程簡化,從而達到提高解題效率的目的. 下面筆者就從學(xué)生解題的角度著手,探討以下數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

    關(guān)注數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應(yīng)用

    縱觀歷年高考試卷,三角函數(shù)是高考的熱點問題,是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科類的基石,也是解決實際生產(chǎn)問題的依據(jù),突破這一重要知識的思想方法有很多,數(shù)形結(jié)合思想就是其中之一. 這就要求教師在解題教學(xué)中以此作為處理三角問題的重要思想方法,從而達到優(yōu)化解題途徑的目的.

    例1:設(shè)函數(shù)f(x)的圖像與直線x=a,x=b及x軸三者所構(gòu)圖形的面積是函數(shù)f(x)在[a,b]上的面積,已知函數(shù)y=sinnx在0,■上的面積為■(n∈N*).

    (1)試求出y=sin3x在0,■上的面積.

    (2)試求出y=sin(3x-π)+1在■,■上的面積.

    分析:需由本題中的條件“函數(shù)y=sinnx在0,■上的面積為■(n∈N*)”類比y=sin3x在0,■上的面積和y=sin(3x-π)+1在■,■上的面積來解決本題. 那么,此處則需從題設(shè)中的面積定義和所給出的函數(shù)面積出發(fā),以此找尋相似性.而考慮這里的已知條件,尤其需關(guān)注此處條件所給出的是半個周期的面積,而很顯然,第(1)問中n=3時,一個周期面積為■;而第(2)問是求由y=sin3x平移和翻轉(zhuǎn)后y=sin(3x-π)+1一個半周期的面積. 如圖1,畫出y=sin(3x-π)+1在■,■的圖像即可得出答案π+■.

    評注:筆者認為,在利用數(shù)形結(jié)合解決三角問題的過程中,畫圖和讀圖是最關(guān)鍵的兩步,先根據(jù)函數(shù)解析式畫出符合要求的圖像,再以形助數(shù)即可在解決問題的時候做到游刃有余. 值得注意的是,在繪制圖像時,需準確反映圖像中的相應(yīng)數(shù)量關(guān)系,這樣既能培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力,還能簡化求解過程.

    關(guān)注數(shù)形結(jié)合在與方程的解有關(guān)問題中的應(yīng)用

    在解題中,巧妙地通過數(shù)形結(jié)合這個載體來將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為曲線的交點問題,深刻挖掘出數(shù)形結(jié)合的價值,旨在簡化問題的解決策略,意在培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識這一核心素養(yǎng).

    例2:已知關(guān)于x的方程x2-4x+5=m有4個不等實根,試求實數(shù)m的取值范圍.

    分析:本題由關(guān)于x的方程開始,交代了根的個數(shù),與方程的根的具體值毫無關(guān)聯(lián),若是直接求解,過程自然是煩瑣和困難的. 經(jīng)過思考,學(xué)生容易想到方程根的個數(shù)問題一般情況下可與“求兩條曲線交點的個數(shù)問題”相溝通,此處以數(shù)形結(jié)合思想進行引領(lǐng),體現(xiàn)了命題者重視數(shù)學(xué)思想對學(xué)生素養(yǎng)的提升.

    解:方程x2-4x+5=m根的個數(shù)也就是函數(shù)y=x2-4x+5與y=m圖像交點的個數(shù).首先,作拋物線y1=x2-4x+5(x≥0)的圖像;接著,作關(guān)于y軸對稱的圖像,即得y=x2-4x+5的圖像;然后,作直線y=m(如圖2所示). 當1

    評注:可以說,解決方程解的問題的方法多數(shù)都源于數(shù)形結(jié)合.首先,我們應(yīng)從圖形出發(fā),借助它的直觀性,巧妙作出與題意相切合的圖像,從圖像中找尋解題的思路,從而為此類問題的突破奠基.然后有效溝通方程和函數(shù),結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想展開探究,使問題的解決更簡捷、更合理.

    關(guān)注數(shù)形結(jié)合在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用

    在探求復(fù)數(shù)問題時,若以得數(shù)及其運算的幾何意義的載體去繪制圖形,可使問題直觀具體,從而迅速獲解.數(shù)形結(jié)合思想運用于復(fù)數(shù)題,尤其是選擇題和填空題中,其優(yōu)越性尤為明顯.

    例3:設(shè)z1=5,z2=2,z1-z2=■,則■的值是__________.

    分析:本題巧妙地用復(fù)數(shù)模及四則運算的幾何意義通過數(shù)形結(jié)合這一載體來求解,深刻挖掘出幾何圖形的價值,意在關(guān)注學(xué)生數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識. 學(xué)生經(jīng)過思考,形成以下多種解題策略:

    解法1:如圖3,設(shè)復(fù)數(shù)z1所對應(yīng)向量為■,復(fù)數(shù)z2所對應(yīng)向量為■,那么■1所對應(yīng)向量為■,■2所對應(yīng)向量為

    據(jù)圖3,可得■=■,∠AOD=∠BOC,據(jù)余弦定理,可得

    cos∠AOD=■=■,

    所以■=■■±■i=2±■i.

    解法2:設(shè)z1=5(cosθ1+isinθ1),z2=2(cosθ2+isinθ2),

    那么z1-z2=(5cosθ1-2cosθ2)+(5sinθ1+2sinθ2)i=■=■,

    所以cos(θ1+θ2)=■,sin(θ1+θ2)=±■,

    所以■=■=■[cos(θ1+θ2)-isin(θ1+θ2)]=■■±■i=2±■i.

    評注:本題通過數(shù)形結(jié)合探究,充分展示了共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)及復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運算的幾何意義等,這是一種創(chuàng)新嘗試,將數(shù)形結(jié)合的生動、形象體現(xiàn)得淋漓盡致. 命題者以這種智慧啟迪我們,可以借助數(shù)形結(jié)合中各具特點的多種解題活動來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

    關(guān)注數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用

    解析幾何開創(chuàng)了數(shù)形結(jié)合的研究方法的先河,它完美展現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢,深刻演繹了數(shù)形結(jié)合的精髓.在解析幾何的探究過程中,不僅會經(jīng)歷代數(shù)問題幾何化的過程,還會經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程.

    例4:若實數(shù)x和y滿足等式x2+y2-4x+1=0,試求出■的最大值.

    分析:本題從表面材料來看,是一道關(guān)于方程和不等式的代數(shù)問題,不少學(xué)生以此思路直接求解,而求解過程甚是艱難,或者說毫無頭緒. 命題者的本意為了凸顯數(shù)形結(jié)合這一方法,將等式x2+y2-4x+1=0轉(zhuǎn)化為(x-2)2+y2=3,由此可以自然聯(lián)想到圓C,而■剛好是點(x,y)與原點連線的斜率,如此一來,問題就有了“形”. 原題可以轉(zhuǎn)化為:如圖4,圓C上有一動點P(x,y),試求出直線OP斜率的最大值.觀察可知,點P位于第一象限,且OP與圓C相切時有PC⊥OP,則直線OP斜率最大值tan∠POC=■=■.

    評注:對于題目中的表象材料,學(xué)生應(yīng)當充分剖析,在夯實基本解題方法的同時掌握數(shù)學(xué)思想方法,從樸素中扎實,從創(chuàng)新中領(lǐng)悟,既需把握樸素方法,還需注重技巧化訓(xùn)練,讓學(xué)生的解題策略在基本數(shù)學(xué)思想這一載體的滲透下,引領(lǐng)學(xué)生積極探究,促進“高階”思維的培養(yǎng).

    總之,數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的有效滲透,可以將抽象思維洗盡鉛華轉(zhuǎn)化為具體的形象思維,有利于準確把握問題本質(zhì),鍛煉和培養(yǎng)解題能力,并且獲得各方面能力的提升.

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