命題需謹(jǐn)慎 解題要反思

田興輝

[摘? 要] 創(chuàng)新是試題命制的客觀需要，但由于命題者水平和經(jīng)驗(yàn)所限，難免會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)題或錯(cuò)解，文章通過(guò)具體案例，試圖理清錯(cuò)因并找到應(yīng)對(duì)辦法.

[關(guān)鍵詞] 命題;解題;錯(cuò)因;反思

高中數(shù)學(xué)知識(shí)面廣、難度大，知識(shí)點(diǎn)間交錯(cuò)繁雜，由此給命題帶來(lái)很大風(fēng)險(xiǎn)，稍有不慎就會(huì)出現(xiàn)致命問(wèn)題. 筆者選取了看似完美的兩例錯(cuò)題，借此探尋錯(cuò)題、錯(cuò)解的根源，思考如何引以為戒或化錯(cuò)為寶，使其成為我們教學(xué)的鋪路石.

題一：已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，滿足f（x+y）=f（x）+2y（x+y）且f（1）=1，求f（x）的解析式.

解法一：令y=-x，可得f（0）=f（x）.

再令x=0，y=1，由f（1）=1，得f（0）= -1，故f（x）=-1.

解法二：令x=0，y=1，由f（1）=1，得f（0）=-1.

再令x=0，y=x，得f（x）=2x2-1.

解法三：令x+y=1，得f（1）=f（x）+2（1-x），？搖即f（x）=2x-1.

評(píng)注：此題至少會(huì)得到以上三種結(jié)果，而且看似都很有道理，究竟孰是孰非？學(xué)生很茫然，我們嘗試用求出的解析式分別計(jì)算一下f（2），會(huì)得到三個(gè)不同值，到底是哪里出問(wèn)題了呢？下面來(lái)一探究竟：

根據(jù)條件“對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，滿足f（x+y）=f（x）+2y（x+y）”，可知這是一道抽象函數(shù)問(wèn)題，比較適合用賦值法解決. 下面給變量賦值，令y=-x，代入條件可得f（x）=f（0），而f（0）是一個(gè)常數(shù)，這說(shuō)明f（x）是常數(shù)函數(shù). 沿著這個(gè)思路分析，由于f（x）是常數(shù)函數(shù)，那么必有f（x+y）=f（x）=f（0），代入已知條件會(huì)得到f（0）=f（0）+2y（x+y），也就是對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，2y（x+y）=0恒成立，這顯然是一個(gè)假命題，這個(gè)題目的癥結(jié)在于已知條件之間互不相容，這種自相矛盾的函數(shù)是不存在的.

題二：已知函數(shù)f（x）=■，若x1，x2都大于0，且x1+x2

錯(cuò)解：由f（x）=■求導(dǎo)可得，f′（x）=■.

因?yàn)?0，所以f（x）在（0，e）上是增函數(shù). 因?yàn)閤1+x20，x2>0■，所以x1

同理，lnx2<■x2. 所以lnx1+lnx2<■x1+■x2=ln（x1+x2），所以lnx1x21.

評(píng)注：本題不妨換種解法，假如利用權(quán)方和不等式解決，會(huì)得到如下結(jié)果.

顯然，原答案給出的解法是利用函數(shù)的單調(diào)性建立不等關(guān)系，看似順風(fēng)順?biāo)?，?shí)則極其隱蔽地?cái)U(kuò)大了取值的范圍，這也提醒我們命題時(shí)不妨用一題多解驗(yàn)證一下，也許會(huì)發(fā)現(xiàn)一些潛在的隱患.

思考

其一：命題需謹(jǐn)慎，不能盲目創(chuàng)新.由于命題需要，我們常會(huì)處心積慮的原創(chuàng)或改編一些新題，但由于考慮欠周全或是沒(méi)有經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)，難免會(huì)出現(xiàn)意想不到的紕漏. 常見(jiàn)的錯(cuò)誤多見(jiàn)于條件的設(shè)置，尤其是條件之間不兼容， 甚至條件與公理、定理、定義相矛盾，這就要求命題者要多角度思考問(wèn)題和嘗試一題多解，避免題設(shè)條件的對(duì)立或開(kāi)放，確保數(shù)學(xué)命題的嚴(yán)謹(jǐn)性和科學(xué)性.

其二：解題要反思，不能迷信答案.對(duì)于發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)解，最好不要輕易放棄，因?yàn)樵绞沁@類(lèi)題目，學(xué)生越是感到好奇，越想知道其所以然.如果我們能充分挖掘錯(cuò)題的教育功能，對(duì)于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)密性和批判性，都將起到很好的作用. 對(duì)于出現(xiàn)的不同結(jié)果，要抓住區(qū)別和聯(lián)系，辨明是非和方向，深入剖析錯(cuò)解根源，激發(fā)學(xué)生從多角度出發(fā)進(jìn)行深度思考. 此外，還可以挖掘錯(cuò)題的數(shù)學(xué)價(jià)值，重新開(kāi)發(fā)利用，使其變廢為寶，把修正錯(cuò)題當(dāng)作培育數(shù)學(xué)理性思維的良好載體.