淺析數(shù)學符號意識的內(nèi)涵、要素及培養(yǎng)策略

須勤

[摘? 要] 符號意識是數(shù)學核心素養(yǎng)之一，發(fā)展學生的數(shù)學符號意識是數(shù)學教學的重要目標. 文章梳理概括了數(shù)學符號意識的內(nèi)涵及構成要素，提出了可以通過創(chuàng)設具體教學情境、重視數(shù)學探究活動、注重綜合實踐、滲透數(shù)學思想方法來培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學符號意識.

[關鍵詞] 符號意識;內(nèi)涵理解;培養(yǎng)策略

英國數(shù)學家羅素曾經(jīng)說過：“數(shù)學是一種只涉及符號的奇特的真理.”[1]由此可以看出，數(shù)學符號對數(shù)學學科的發(fā)展，起著至關重要的作用. 可以說，整個數(shù)學的發(fā)展史就是數(shù)學符號完善的歷史.數(shù)學符號包括字母、數(shù)字和數(shù)學關系式等，它作為數(shù)字知識的載體，具有簡潔美;作為一種數(shù)學語言，反映了數(shù)學的本質(zhì)，是在解決數(shù)學問題的過程中用于表示、計算和推理論證的工具.國外很多國家，如英國、德國、美國、加拿大、芬蘭、新加坡等的課程標準中都有發(fā)展“數(shù)學符號意識”這一重要目標.在我國，發(fā)展學生的數(shù)學符號意識是數(shù)學核心素養(yǎng)之一，也是《義務教育課程標準》（2011版）提出的數(shù)學課程目標之一. 因此，在數(shù)學教學過程中，使學生懂得數(shù)學符號的意義，指導學生用數(shù)學符號來解決問題，是數(shù)學教學的目標之一，我們應該發(fā)展和培養(yǎng)學生的符號意識.

數(shù)學符號意識的內(nèi)涵及構成要素

當前，國內(nèi)外學者對數(shù)學符號意識的理解有兩類主要觀點. 第一類觀點側(cè)重“學科”性，認為數(shù)學符號代表的是數(shù)學學科的特點，從數(shù)學文化層面上來講，是正確并靈活使用數(shù)學符號的一種較高水平能力，更側(cè)重于對數(shù)學符號的描述，是主動使用數(shù)學語言，在文字符號與圖形符號之間合理轉(zhuǎn)化的一種方法與理念，將其視為數(shù)學符號語言的一種表征形式. 第二類觀點主要強調(diào)“意識”層面，認為數(shù)學符號意識作為數(shù)感的邏輯延伸，它是超越數(shù)感的較高的一種能力水平，是人們對數(shù)學符號的感悟及態(tài)度，要在理解、運用、交流數(shù)學符號的過程中體現(xiàn)主觀能動性[2].

符號意識有五個構成要素：客觀事物、符號表征、思想方法、數(shù)學理解和思維結構. 其中，思維結構是最核心的要素，客觀事物間的本質(zhì)屬性通過概括思維，被抽象出來，用數(shù)學符號來表征，這對數(shù)學學科的發(fā)展有著極其重要的作用. 而數(shù)學表征的起點和終點是數(shù)學理解，最終通過求解思維的指導，利用數(shù)學思想方法來解決問題[3]. 基于以上對符號意識的內(nèi)涵的理解及這五個構成要素，數(shù)學符號意識可劃分為以下四個維度：數(shù)學符號感知維度、數(shù)學符號表征維度、數(shù)學符號推理維度、數(shù)學符號運算維度.

數(shù)學符號意識的培養(yǎng)策略

數(shù)學教育的根本任務是提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，而數(shù)學核心素養(yǎng)中，最重要的一項是數(shù)學符號意識，它是衡量符號化思想和抽象思維的重要指標.在數(shù)學教學過程中，應該伴隨數(shù)學符號的教學，使學生掌握并理解各類數(shù)學符號，正確運用數(shù)學符號進行推理和運算，是一個循序漸進的過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學符號意識，應該貫穿于整個數(shù)學教學的始終.

（一）創(chuàng)設具體教學情境，提升學生對數(shù)學符號的感知能力

從數(shù)學符號的發(fā)展歷程來看，從客觀事物抽象成規(guī)范統(tǒng)一的數(shù)學符號經(jīng)歷了漫長的過程，在數(shù)學教學過程中，不能把數(shù)學符號作為一種記號直接灌輸給學生，認為學生理所應當能掌握，而是應該講清每個符號的由來與發(fā)展歷史，由淺入深、循序漸進. 要讓學生在習得過程中理解，主動地去接受，而不是被動接受. 比如，在對數(shù)知識的教學中，由于學生剛剛接觸這個新的符號，接受起來會感覺困難比較大. 此時，我們應該怎么辦？首先，教師應該講清對數(shù)符號的由來及發(fā)展歷史：16、17世紀之交，隨著航海、天文、軍事及貿(mào)易的不斷發(fā)展，改進數(shù)字計算方法成了當務之急.約翰·納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發(fā)明了對數(shù).對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學史上的里程碑，被恩格斯列為17世紀數(shù)學的三大成就之一. 伽利略也說過：“給我空間、時間及對數(shù)，我就可以創(chuàng)造一個宇宙.”可見對數(shù)的意義之重大.另外，對數(shù)的引入還可以設置這樣一個教學情境：莊子曰：“一尺之棰，日取其半，萬事不竭.”請問取4次，還有多長？取多少次，還有■？由指數(shù)的運算，我們不難看出，取4次，還有■■=■尺;如果取x次，還有■尺，則有■■=■，這里x在指數(shù)的位置上，這個方程如何求解呢？由此引入對數(shù)的概念. 此處，要向?qū)W生強調(diào)，logaN這是一個整體的符號，一定要規(guī)范書寫對數(shù)符號，同時讓學生明白這是指數(shù)的逆運算.這樣，一方面讓學生了解了對數(shù)發(fā)展的歷史，感悟了數(shù)學文化;另一方面，也幫助學生理解了對數(shù)符號的意義，提升了學生對數(shù)學符號的感知能力.

（二）重視數(shù)學探究活動，加強數(shù)學符號的表征能力

一部分數(shù)學知識的獲取靠模仿，另一部分數(shù)學知識的獲取需要讓學生親身體驗感悟，只有通過反復體悟，有了深刻的理解，才能真正獲取. 如果只是被動地吸收符號，就無法達到創(chuàng)造性地使用符號，甚至更高層次. 讓學生從具體事物抽象得到數(shù)學符號的過程，這是學生認知層面的一種遷躍. 例如，我們對于向量a·b數(shù)量積符號的引入，從實際問題：一個物體在力F的作用下發(fā)生了位移s，那么該力對物體所做的功是多少？我們知道，如果力F與物體位移s方向的夾角為θ，那么力F所做的功W應該為W=F·scosθ. 若把W看成兩個向量F與s的某種運算結果，那么這個結果是一個數(shù)量，它不僅與兩個向量的長度有關，而且還與這兩個向量的夾角有關，這是一種新的運算. 從而得到向量數(shù)量積的定義. 這樣的一番探究活動，讓學生經(jīng)歷了從客觀事物抽象成數(shù)學符號的過程，有效地內(nèi)化了向量數(shù)量積這個數(shù)學符號，而不是僅僅停留在記憶層面.

另外，要注意數(shù)學符號的書寫一定要規(guī)范！在授課過程中，要注意讓學生把正確的數(shù)學符號深深地刻進腦海.要跟學生強調(diào)，a·b中的“·”不能省略也不能寫成“×”，因為向量數(shù)量積的運算不同于代數(shù)中的乘法運算，而如果中間用“×”，會變成兩個向量的另外一種運算，這是我們以后會學到的.書寫錯誤的學生實際上是對這些符號的意義不理解或者理解不透徹造成的.還要注意數(shù)學符號的讀法，這也是不容忽視的.有的學生認為只要寫出來就行，如何讀無所謂，這是錯誤的. 正確地讀出數(shù)學符號可以幫助我們正確記憶它，如這里兩個向量的數(shù)量積a·b，之所以稱這兩個向量的數(shù)量積是因為運算結果是“數(shù)量”而不是“向量”，所以讀清楚讀完整這個數(shù)學符號可以幫助我們得到正確的運算結果，a·b我們還可以讀成向量a“點積”或“點乘”向量b，這樣的讀法也可以幫助我們正確記憶這個數(shù)學符號，中間的“·”就不會因為不注意而漏掉或?qū)懗伞啊痢?，出現(xiàn)書寫錯誤了.

這樣學生才真正理解了向量數(shù)量積的定義，并且能對這個數(shù)學符號形成正確表征.在整個數(shù)學活動過程中，發(fā)展了學生的抽象思維，也推動了學生的心理從被動接受數(shù)學符號轉(zhuǎn)化成主動使用并喜愛數(shù)學符號，在這樣的探究過程中，學生形成了積極的數(shù)學符號意識，加強了數(shù)學符號的表征能力.

（三）注重綜合實踐，培養(yǎng)學生對數(shù)學符號的推理能力

數(shù)學學習的最終目的是應用，要用已有的數(shù)學知識激發(fā)他們的符號意識. 在教學過程中，教師要關注學生利用數(shù)學符號通過運算、推理等解決實際問題的能力，培養(yǎng)學生符號化的過程. 用符號表示數(shù)學中的變化規(guī)律及表達數(shù)量之間的關系，讓學生理解數(shù)學符號的應用，可以揭示問題的普遍性和一般性.如以下這個數(shù)列問題：已知數(shù)列■，■，■，…，■，…（1）計算S1，S2，S3，S4;（2）根據(jù)計算結果，猜想Sn的表達式;（3）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.這里的第一小題，涉及分數(shù)乘法和加法的運算;第二小題，學生要從以上得到的計算結果中尋找規(guī)律，這四個計算結果之間有怎樣的關系，讓學生猜想寫出Sn的表達式，即是讓學生使用數(shù)學符號表達數(shù)學關系，運用相關條件和線索，形成從特殊到一般的合情推理過程;第三小題，要求學生用數(shù)學歸納法對其進行嚴格的推理證明，驗證符號所得的一般結論的正確性，培養(yǎng)了學生對數(shù)學符號的推理證明能力.

（四）滲透數(shù)學思想方法，提高學生對數(shù)學符號的運算能力

對于數(shù)學運算而言，數(shù)學符號是基礎，是載體. 要讓學生用自己的話理解，表達各種數(shù)學符號，提高記憶. 對于難記的復雜的公式，可以通過圖示或列表等方法進行對比記憶. 對于一些典型錯誤，要辨析并加以糾正. 可以采用變式教學，舉正反例來加以強化. 有些學生在解題過程中，靈活度不夠，從而造成運算過程煩瑣而出錯，因而在教學中可以穿插一些靈活性較高的題目，加以訓練，鼓勵學生一題多解，在各種解法中滲透數(shù)學思想方法，如“換元思想”“數(shù)形結合思想”等. 同時讓學生養(yǎng)成解完題總結運算規(guī)律及運算技巧的習慣.

參考文獻：

[1]? 史寧中. 數(shù)學思想概論——圖形與圖形關系的抽象[M]. 長春：東北師范大學出版社，2009.

[2]? 李艷琴，宋乃慶. 小學低學段數(shù)學符號意識的含義及其表現(xiàn)形式[J]. 課程·教材·教法，2016（3）.

[3]? 朱立明，馬云鵬. “數(shù)學符號意識”研究：內(nèi)涵與維度[J]. 教育理論與實踐，2015（32）.