一節(jié)遞進(jìn)式問題串的高三數(shù)學(xué)探究課

吳華波

[摘? 要] 高三學(xué)生基礎(chǔ)較好，已經(jīng)掌握導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的運算以及導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用，能夠用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)解決初等函數(shù)的單調(diào)性問題，能利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)確定簡單的含參變量函數(shù)的取值范圍. 文章以蘇教版高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課《利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)》為例，從遞進(jìn)式問題串層層推進(jìn)課堂教學(xué)，提升學(xué)生在理解應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)方面的關(guān)鍵能力.

[關(guān)鍵詞] 高三數(shù)學(xué);探究課;遞進(jìn)式問題串

教學(xué)過程回顧

1. 預(yù)習(xí)反饋

問題1：對于區(qū)間（a，b）上的函數(shù)f（x），f ′（x）>0能得到什么？

生：f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增.

問題2：f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增的充要條件是什么？

生：f′（x）≥0在區(qū)間（a，b）上恒成立且不恒等于零.

通過求導(dǎo)，可以解決曲線的斜率、求曲線的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值與最值. 還可以利用導(dǎo)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，討論方程的根和證明不等式，其實質(zhì)仍然是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性和極（最）值問題. 例如：

2. 互動釋疑

問題3：請討論函數(shù)f（x）=■的單調(diào)性，并指出其有幾個零點.

學(xué)生1：定義域是（0，+∞），求導(dǎo)得單調(diào)性，作出如圖1的大致圖像，因此有兩個零點.

學(xué)生2：上面同學(xué)作圖有問題，當(dāng)x∈（e，+∞）時，函數(shù)值都是大于0的，圖像不會與x軸有交點，？搖因此該函數(shù)只有1個零點.

問題4：已知函數(shù)f（x）=lnx+■，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最值.

通過運算，學(xué)生均能正確完成.

問題5：已知函數(shù)f（x）=lnx-■（m∈R），求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值.

圖2、圖3是學(xué)生自己完成的兩種較為典型的解題過程，根據(jù)m的取值范圍進(jìn)行了分類討論，均得到了正確的結(jié)果.但大部分學(xué)生用圖2的做法，做到分類3的時候較為煩瑣. 仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)分類1、2也完全是3的一部分，于是很糾結(jié)到底要不要舍棄1、2兩類的討論，在此花費了較多的時間去猶豫和思考.

展示了兩種解法后，讓采取圖3做法的學(xué)生做了解釋，他說此函數(shù)的單調(diào)性雖然受到m的影響，但是，通過分析分子x+m在x∈[1，e]上的特性，分子全正（f（x）增），全負(fù)（f（x）減），先負(fù)后正（f（x）先減后增），根據(jù)f（x）的單調(diào)性求最大值運算的結(jié)果，實際是比較兩端f（1）和f（e）的大小，反向得出參數(shù)m的取值范圍.

問題6：已知函數(shù)f（x）=lnx-■（m∈R）在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，求m的值.

學(xué)生開始根據(jù)問題5的過程進(jìn)行了思考，因為本題是直接給出最小值求參數(shù)，所以還是利用導(dǎo)函數(shù)f′（x）=■對其單調(diào)性進(jìn)行討論. 此時有了圖2求解過程經(jīng)驗的學(xué)生，易得到結(jié)果，根據(jù)圖3來解決本問的學(xué)生，速度則明顯慢了許多.

3. 歸納總結(jié)

圍繞函數(shù)f（x）=■這一比較熱門的函數(shù)模型的解決方法，利用導(dǎo)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍，討論方程的根和證明不等式，其實質(zhì)仍然是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性和極（最）值問題.

課堂上總體以問題串的設(shè)計進(jìn)行深入探討，逐漸提供一些具有挑戰(zhàn)性的問題，學(xué)生有比較地利用了常規(guī)方法和常規(guī)思維的深入轉(zhuǎn)化，體會極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，只能刻畫函數(shù)在某點處的值及其附近左、右函數(shù)值的比較.

數(shù)學(xué)課堂遞進(jìn)式問題串促能力提升的設(shè)計思路

圍繞問題串，首先回顧導(dǎo)數(shù)工具運用，明確概念，從f（x）=■這一具體的流行函數(shù)入手，結(jié)合學(xué)生能夠掌握的數(shù)形結(jié)合的方法，從幾何的角度去探究導(dǎo)數(shù)的變化與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，去認(rèn)識感知導(dǎo)數(shù)對單調(diào)性的影響，問題3中的問題串是在前面問題1、2上的深入，可以提高學(xué)生對單調(diào)性有較高層次了解的興趣.問題4是將f（x）=lnx與一個具體的反比例函數(shù)組合，漸漸向應(yīng)用層面深入引導(dǎo)，學(xué)生解決起來也得心應(yīng)手. 問題5是將反比例函數(shù)中的常數(shù)改為參變量，并結(jié)合求最值過程中常規(guī)思維和特殊思路的應(yīng)用，感受問題3、4的思維并引領(lǐng)運算，感受運算烘托思維的本位化體驗.問題6進(jìn)一步拔高，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 整節(jié)課給筆者的印象是具有探究性，體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的不斷整合與滲透.

1. 數(shù)學(xué)課堂問題串的引領(lǐng)性

在知識主線清晰、知識網(wǎng)絡(luò)明確的前提下，預(yù)設(shè)教學(xué)情景，預(yù)設(shè)內(nèi)容要依托教材，但不跳出教材，其目標(biāo)就是運用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍，課堂遞進(jìn)中體現(xiàn)師生互動、生生互動的探究結(jié)果，體現(xiàn)出一輪復(fù)習(xí)的目標(biāo)：全面、系統(tǒng)、扎實、靈活.

2. 探究能力與思維素養(yǎng)在課堂上的滲透

核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)課堂上的體驗是一個認(rèn)知、解決、內(nèi)化的過程，一道題或一堂課不可能就將整個核心全部體現(xiàn)出來.課堂的推進(jìn)過程中，學(xué)生體現(xiàn)出的勇于質(zhì)疑、勇于探索、理性思維的精神，勇于展現(xiàn)自我、勇于批評與自我批評的能力等，師生之間的相互賞識，教師體現(xiàn)出的人文情懷、德育滲透等，這些都屬于核心素養(yǎng)提升的范疇.現(xiàn)行的高考怎么考，一個是考數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力，另一個是考滲透的德育功能，它是意志品質(zhì)的考試，是對學(xué)生自我定位、自我調(diào)整、自我提升的一種體現(xiàn).

3. 處理好數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升上的三個關(guān)系

第一個關(guān)系：講授與引導(dǎo)的關(guān)系.對此課堂上較好的處理，都是以引導(dǎo)、探究為主，高三一輪復(fù)習(xí)的課和高一、高二的課不一樣，不是告訴學(xué)生這是什么，學(xué)到了什么，而是激發(fā)學(xué)生主動去尋找、參與.

第二個關(guān)系：基礎(chǔ)與能力的關(guān)系.鞏固基礎(chǔ)是一輪復(fù)習(xí)中要特別注意的環(huán)節(jié)，寧可能力先放一放，也要先打下扎實的基礎(chǔ). 尤其是學(xué)生在沒建立知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)習(xí)課上，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極地參與知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)，這很重要，不管是采用回顧整理知識點的方式，還是由小題帶出知識點，都要注重通性通法與基本技能的訓(xùn)練. 能力不是通過講就擁有的，是教師要舍得給足時間讓學(xué)生去運算，去經(jīng)歷，去探究，去實踐;精講不是不講，不是少講，是“教學(xué)生去發(fā)現(xiàn)”.

第三個關(guān)系：落實與速度的關(guān)系.不要過度追求課堂的容量，但也不是說課堂的容量大就是壞事情，這里說的容量是指學(xué)生落實下去的容量，不是題目的容量，而是思維的容量.高三復(fù)習(xí)時間緊張，我們要在保證課堂容量的情況下，適當(dāng)提升講授的速度. 如果教師在課堂上面不緊不慢，學(xué)生會在潛意識里缺乏一種壓迫感. 我們經(jīng)常遇到這樣的情況：學(xué)生平時作業(yè)能慢慢做出來的題，但一到考試的時候就不知該如何下筆.從這里，我們也能感受到，高三復(fù)習(xí)時，需要給予學(xué)生一定的壓迫感，有意識地鍛煉學(xué)生做題的速度，提高學(xué)習(xí)效率.

用問題串設(shè)計高三數(shù)學(xué)探究課的原則

1. 突出課堂教學(xué)的主導(dǎo)與主體

教師注重學(xué)生的修正與學(xué)生的評價，這是教師主動帶領(lǐng)下完成的，教師在知識點的整合與整理上的作用不可替代，探究的方向是可控的，是層層遞進(jìn)的，學(xué)生的展示具有可評價和可對比性，學(xué)生的主體地位需要進(jìn)一步凸顯.

2. 突出結(jié)合教材的指導(dǎo)性地位

教材上面給出的要點比較簡潔，整理的例子與考題必然是圍繞實例展開的，好比說函數(shù)零點這一塊，導(dǎo)數(shù)對單調(diào)性的闡述這一塊，假若只看教材，除了定理精確的表述，教材上經(jīng)常是給一個示例或者思考進(jìn)行補充，需要緊扣這些思考進(jìn)行深化解釋，給出正確的表述，印象會更深刻. 一輪復(fù)習(xí)到底是做后教，還是教后做，還是邊做邊教，這點是要根據(jù)教材的內(nèi)容不同、難度不同而靈活處理的，不是說每一堂課都要按照什么一個順序去處理.

3. 難度的把握不等同于素養(yǎng)的高低

一輪復(fù)習(xí)到底到哪個難度，并沒有一個具體的標(biāo)準(zhǔn).有的教師說最后這個題的難度高了，有的說這個難度能夠接受，實際上，教師需要把握的是該題適不適合自己的學(xué)生，能達(dá)到學(xué)生能想能寫的難度就是合適的難度，當(dāng)然對于各個學(xué)校的實際來說，是可以酌情考慮的.