數(shù)形結(jié)合百般好

摘?要：文章通過(guò)三角函數(shù)線來(lái)解決三角函數(shù)中解三角不等式、求定義域、比較大小、證明三角恒等式的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);三角函數(shù)線;單位圓;數(shù)形結(jié)合

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，而三角函數(shù)線不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，而且始終貫穿于整個(gè)三角函數(shù)的教學(xué)中。我們可以借助三角函數(shù)線來(lái)推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，也可以借助它來(lái)解三角函數(shù)不等式、探索三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。文章旨在探究三角函數(shù)線在解題中的應(yīng)用。

小結(jié)：在比較大小時(shí)，有時(shí)用代數(shù)方法難以解決的為題，用數(shù)形結(jié)合的思想會(huì)達(dá)到柳暗花明又一村的效果。

數(shù)形結(jié)合思想的核心就是，數(shù)學(xué)的兩大研究對(duì)象“形”與“數(shù)”之間的相互轉(zhuǎn)化、相互表達(dá)和相互解決。而這種“相互轉(zhuǎn)化、相互表達(dá)和相互解決”則是我們數(shù)學(xué)教學(xué)培育學(xué)生建立數(shù)學(xué)直觀能力的重要方式。就“數(shù)”與“形”的“相互轉(zhuǎn)化”而言，我們可以通過(guò)“形”來(lái)加深對(duì)“數(shù)”的理解，也可以通過(guò)“數(shù)”來(lái)加深對(duì)“形”的理解。譬如，就“負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”而言，我們可以通過(guò)溫度計(jì)之“零上與零下”、東西或南北之“方位”、事物發(fā)展之“進(jìn)退”等“形”（數(shù)軸）來(lái)幫助小學(xué)生理解負(fù)數(shù)之“相反量的意義”。再譬如，就“用數(shù)對(duì)確定位置”而言，我們可以用行與列、排與列、橫排與豎排之“序數(shù)”等“數(shù)”（數(shù)對(duì)）來(lái)幫助學(xué)生明確“二維平面”上點(diǎn)的位置。就“數(shù)”與“形”的“相互解決”而言，它是在“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化與相互表達(dá)基礎(chǔ)上完成的。譬如，就“時(shí)間的認(rèn)識(shí)”而言，我們是通過(guò)客觀世界中事物的發(fā)展變化（譬如，春生夏長(zhǎng)、秋收冬藏）而直觀地加以感受的（這里，既有事物的量之“形”，又有其量之“數(shù)”）。但是，我們?cè)跀?shù)學(xué)中卻是通過(guò)“指針的旋轉(zhuǎn)”及鐘表之“面上的刻度”來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和把握時(shí)間之長(zhǎng)短、快慢的。其實(shí)，這就是“時(shí)間事物”的量之“形”與“數(shù)”的相互分離、相互轉(zhuǎn)化、相互表達(dá)和相互解決，而最終促使我們把握其本質(zhì)特征的一種思維方式——數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。其實(shí)，這里有三層含義。首先是“以形助數(shù)”，形象、直觀地實(shí)現(xiàn)“由數(shù)至形”的轉(zhuǎn)化與表達(dá);其次是在“以形助數(shù)”基礎(chǔ)上，促使“以形解數(shù)”的完成，實(shí)現(xiàn)“形”與“數(shù)”之間的相互解決;第三是在“以形助數(shù)”和“以形解數(shù)”基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生形成“數(shù)形結(jié)合”之?dāng)?shù)學(xué)直觀能力，以便其更好地理解、學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

數(shù)形結(jié)合的思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩方面。將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線段表示出來(lái)體現(xiàn)了有數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，在解決三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，巧妙應(yīng)用三角函數(shù)線將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，又能準(zhǔn)確快速地解決問(wèn)題。正是：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，數(shù)形分離萬(wàn)事休。

作者簡(jiǎn)介：

汪宏旭，寧夏回族自治區(qū)中衛(wèi)市，寧夏中衛(wèi)中學(xué)。