新高考如何減少解析幾何運(yùn)算量

黃祥輝

摘要：解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，因此在解析幾何的運(yùn)算中，代數(shù)運(yùn)算是不可避免的，若使用方法不當(dāng)，往往會(huì)使解題過(guò)程繁瑣冗長(zhǎng)，以至很難得出正確的答案。因此，如果利用幾何、定義、點(diǎn)差、三角代換……等方法即可簡(jiǎn)化運(yùn)算。

關(guān)鍵詞：新高考? 解析幾何? 運(yùn)算量? 解題方法

解析幾何是借助坐標(biāo)系，運(yùn)用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形關(guān)系與性質(zhì)的一門學(xué)科，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。數(shù)離不開(kāi)運(yùn)算，若運(yùn)算方法、運(yùn)算順序等不當(dāng)，會(huì)陡增計(jì)算量，導(dǎo)致半途而廢。每年高考中因此失分的也不少，在解題中，盡量減少運(yùn)算則成為迅速、準(zhǔn)確地解題的關(guān)鍵。那么在新高考中如何正確地選擇方法，減少解析幾何題的運(yùn)算呢？對(duì)此本文作一探討。

一、幾何法

有關(guān)圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題用幾何法比用代數(shù)法運(yùn)算量小，幾何法就是利用半弦、半徑、弦心距之間的勾股關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。

例1、（ 2018·全國(guó)Ⅰ卷，文15） 直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=________.

解析：根據(jù)題意，圓的方程可化為x2+（y+1）2=4，所以圓的圓心為（0，-1），且半徑是2，

直線方程化為一般式x-y+1=0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求得 ，

結(jié)合圓中的特殊三角形，可知 .

評(píng)注：該題考查的是有關(guān)直線被圓截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，熟練應(yīng)用圓中的特殊三角形：半弦長(zhǎng)、弦心距和圓的半徑構(gòu)成的直角三角形，借助于勾股定理求得結(jié)果.

二、定義法

圓錐曲線定義反映了曲線的本質(zhì)屬性，是圓錐曲線幾何性質(zhì)的“根”與“源”，活用定義，能避免繁瑣計(jì)算。

例2、設(shè)動(dòng)圓C與兩圓C1：（x+ ）2+y2=4，C2：（x- ）2+y2=4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程.

評(píng)注：應(yīng)用定義求解圓錐曲線問(wèn)題，其優(yōu)勢(shì)在于可避免繁瑣的代數(shù)處理過(guò)程，給人以簡(jiǎn)捷、明快之感。定義法是解析幾何中最樸素、最基本的數(shù)學(xué)思想方法。

三、點(diǎn)差法

點(diǎn)差法是一種常用的模式化解題方法，這種方法對(duì)于解決有關(guān)斜率，中點(diǎn)弦等問(wèn)題有較好的解題效能。

評(píng)注：點(diǎn)差法通過(guò)“設(shè)點(diǎn)”、“作差”兩個(gè)步驟，就產(chǎn)生了弦的中點(diǎn)和弦所在直線的斜率，巧妙地避免了解方程組求交點(diǎn)的復(fù)雜運(yùn)算，使問(wèn)題輕松地獲解。與常規(guī)法相比，其優(yōu)越性顯而易見(jiàn)。所以在遇到與中點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)應(yīng)該考慮使用這種方法。

四、三角代換法

利用三角函數(shù)的性質(zhì)將曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角問(wèn)題。此法往往能化繁為簡(jiǎn)，變難為易，從而得到簡(jiǎn)捷合理的解題途徑。

例4、已知點(diǎn)P在橢圓C： +y2=1上，點(diǎn)Q在直線C2：x+y-4=0上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).

解析： 由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（ cos α，sin α）.

評(píng)注：本題為雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，用平面幾何知識(shí)將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：求圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值。而最值問(wèn)題借用三角工具往往運(yùn)算量較小。

五、橫截距法

在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，設(shè)直線方程為x=my+b（斜率不為零時(shí)），可以避免分類討論，有時(shí)還可以降冪。

例5、（2017·全國(guó)Ⅲ卷，理20（1））已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線l交C與A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;

評(píng)注：此題若設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程不僅要討論斜率是否存在，而且消元后所得一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)都較繁。以上設(shè)成“橫截距式”既便于消元，又十分簡(jiǎn)捷。

六、曲線系法

解析幾何中的某些曲線相交問(wèn)題，圓錐曲線共漸近線、共焦點(diǎn)問(wèn)題，可以借助曲線系實(shí)施突破，利用曲線系方程簡(jiǎn)捷獲解?？梢员苊馇笄€的交點(diǎn)及分類討論，從而減少計(jì)算。

評(píng)注：根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選取曲線系方程，運(yùn)用待定系數(shù)法求曲線方程，可使有關(guān)問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲解。

七、設(shè)而不求法

在某些解析幾何問(wèn)題中，靈活把握曲線方程的特點(diǎn)，利用韋達(dá)定理，采用設(shè)而不求、整體代入、整體運(yùn)算等方法，?？梢院?jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高解題速度，并從中感到整體思維的和諧美。此法在解析幾何解題中最常用。

例7、（2018·全國(guó)Ⅰ卷，理19（2））設(shè)橢圓 的右焦點(diǎn)為 ，過(guò) 的直線 與 交于 兩點(diǎn)，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 。設(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明： 。

評(píng)注：本題用參數(shù)設(shè)置了A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，但在解題中沒(méi)有也不必要去求這些參數(shù)，而是根據(jù)它們應(yīng)該滿足的題設(shè)條件剖析出所需要的結(jié)果。故設(shè)而不求在解題中只讓這些參數(shù)體現(xiàn)其橋梁和紐帶作用。

解析幾何問(wèn)題的解決，要盡可能運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒?，避免太過(guò)繁雜的計(jì)算。減少計(jì)算量的方法還有很多，并且不同題目也會(huì)有不同的方法，只要在平時(shí)的練習(xí)中多實(shí)踐、多總結(jié)，在新高考中肯定能夠以簡(jiǎn)馭繁，事半功倍，使解題構(gòu)筑在較高的思維層面上。