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    排列組合的幾種解題方法分析

    2016-11-12 15:06:35張雄風(fēng)
    文理導(dǎo)航 2016年30期
    關(guān)鍵詞:排列組合解題方法高中數(shù)學(xué)

    張雄風(fēng)

    【摘 要】排列組合內(nèi)容獨(dú)特,而且題目較為靈活,解題的思路也多種多樣,學(xué)生在解答排列組合問題的過程中常常會(huì)出現(xiàn)重復(fù)計(jì)算和漏算的錯(cuò)誤,這類問題又無法對(duì)其計(jì)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),所以它是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重難點(diǎn)。接下來本文主要對(duì)排列組合的解題方法進(jìn)行歸納分析。

    【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);排列組合;解題方法

    一、概述

    排列組合與我們的生活息息相關(guān),而且靈活多變,同學(xué)們通常都很難把握。但只要對(duì)排列組合的解題方法進(jìn)行歸納總結(jié),做到了然于心,看到題目就知道用哪種解題方法進(jìn)行解題,這樣將會(huì)大大增加學(xué)生對(duì)排列組合的掌握程度。排列組合解題方法主要包括分類與分步法、特殊元素優(yōu)先考慮法、混合問題先選后排法、否定問題淘汰法和相鄰捆綁法,相隔插空法。

    二、幾種常見方法

    1.分類與分步法

    在解答題目中含有限定條件這一類排列組合問題時(shí),我們應(yīng)該先將題目中所提到的元素按照其特性進(jìn)行分類,然后按照事件的先后順序?qū)︻}目進(jìn)行分步解答,同時(shí)保證每一步都是相對(duì)獨(dú)立,不要算重或漏算。在最后的計(jì)算過程中要注意計(jì)算法則分類則和,分步則積。例如:有五個(gè)蘋果排成一排,其中甲蘋果不能排在排頭,乙蘋果不能排在末尾,問共有幾種排法?分析:根據(jù)題意我們可以先排甲,對(duì)甲的位置進(jìn)行討論:1)若將甲蘋果排在末尾,那么剩下四個(gè)蘋果就可以任意排了,共有A 種排法;2)若將甲蘋果排在第二,第三或第四個(gè)位置上,則有A A A 3種排法,然后根據(jù)排列組合中分類計(jì)數(shù)原理,將所有結(jié)果進(jìn)行相加,共有A +A A A =78種排法。

    2.特殊元素優(yōu)先考慮發(fā)

    在一道排列組合題目中如果含有某個(gè)特殊元素,一般我們應(yīng)優(yōu)先考慮特殊元素,從特殊元素著手,然后再考慮其它元素的排列組合問題。例如有五張卡片,卡片上依次標(biāo)注的數(shù)字為0,2,3,4,5,選擇三張卡片組成一個(gè)三位數(shù),問組成的三位數(shù)中有多少是偶數(shù)?分析:根據(jù)題意要求組成的這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù),所以最后一個(gè)數(shù)字一定要是偶數(shù),只能是0或2或4,又因?yàn)?不能排在首位,所以本題中0就是特殊元素,應(yīng)優(yōu)先考慮。根據(jù)0排放的位置我們將0分成兩類,:1)0排末尾時(shí)有A 個(gè);2)0不排在末尾時(shí),則有個(gè)A A A ;根據(jù)分類計(jì)數(shù)的原理,總共有A +A A A =30個(gè)。

    3.混合問題先選后排法

    對(duì)于排列組合中混合類的問題,我們一般可以先將所需的元素選出來然后再對(duì)元素進(jìn)行排列組合。例如4個(gè)不同小球滾入四個(gè)不同的小洞中,正好有一個(gè)空洞,問小球共有多少種滾法?分析:題目中提到正好一空的洞,所以肯定有一個(gè)洞中滾入了兩個(gè)小球。首先我們先將2個(gè)小球選出來,從4個(gè)中選2個(gè),共有C 種選法;接下來在從4小洞中選3個(gè)洞來裝小球,共有C 種選法;然后把選出來的的2個(gè)小球看成是一個(gè)小球,這樣就變成了3個(gè)小球,3個(gè)球滾入3個(gè)洞中共有A 種滾法,再根據(jù)分步計(jì)數(shù)的原理共有C C A 種滾法。

    4.否定問題淘汰法

    對(duì)于排列組合中含有否定意思的問題,可以從整體中把不符合條件的去除,但需要注意的時(shí)一定要細(xì)心,不能除去多了或者少了。例如在方法2中的例題,就可以用此種方法來解答:5張卡片排成三位數(shù),共有A 種排法,但0不能排在首位,所以需要去除這種情況;而且因?yàn)槭桥紨?shù)所以3、5不能排在最后一位,所以也要去除。故共有A -A -A A A =30。

    5.相鄰捆綁法,相隔插空法

    在解答幾個(gè)元素相鄰的排列組合問題時(shí),我們應(yīng)先從整體進(jìn)行考慮,將題目中要求相鄰的元素捆綁成一個(gè)元素進(jìn)行排列組合,然后在對(duì)捆綁的部分進(jìn)行排序,這種解題的方法就叫捆綁法。例如有8本不同的書;包括3語文書,2本化學(xué)書和3本其它學(xué)科的書籍。把這些書排成一行,但要3本語文書必須排在一起,2本化學(xué)書也必須排在一起的排法共有多少種?分析:首先把3本語文書看成一個(gè)整體,2本化學(xué)書看成一個(gè)整體,這樣加上其他3本書,就相當(dāng)于5個(gè)元素,全排列共有A 種排法;3本語文書有A 種排法,2本化學(xué)書有A 種排法;然后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有A A A =1440種排法。在解決排列組合中要元素不相鄰的問題時(shí),可以先將其它的元素排好,再將指定的不相鄰的元素插入到已排好元素的間隙或兩端位置,這就是插空法。例如原有6張不同的紙牌,若保持這些紙牌的相對(duì)順序不變,再添加進(jìn)去3張紙牌,問共有多少種不同的添加方法?分析:本題直接解答比較麻煩,可根據(jù)插空法去解題,6張紙牌中間加兩端正好有7個(gè)空,可先用一張紙牌去插這7個(gè)空位,這就有7種插法;然后再用另一個(gè)紙牌去插現(xiàn)在的8個(gè)空位,就有8種插入方法了;最后再用剩下的一張紙牌去插目前的9個(gè)空位,有9種插入方法,由乘法原理得:所有不同的添加方法為7*8*9=504種。

    三、結(jié)語

    綜上所述,排列組合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié),我們應(yīng)對(duì)其足夠重視。只有掌握了解題方法,我們才能更加容易的去解答排列組合這類題目。以上的幾種方法還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,我們要在以后的學(xué)習(xí)中加以總結(jié),并能學(xué)以致用,這樣我們對(duì)排列組合的理解也將會(huì)更加深刻。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]史曉偉.高中數(shù)學(xué)排列組合推理的教學(xué)管窺[J].數(shù)理化解題研究,2016(21)

    [2]劉忠?guī)r.高中數(shù)學(xué)排列組合教學(xué)反思[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2013(36)

    [3]張志軍.排列組合問題的學(xué)習(xí)[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)(高中數(shù)學(xué)教學(xué)),2014(01)

    [4]王緒暉.活躍在生活中的排列組合問題[J].理科考試研究,2014(21)

    [5]王庶.例析排列組合的常見題型[J].高中生學(xué)習(xí)(高二版),2014(11)

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