基于微分學視角舉例探析不等式的證明方法

林見松 趙鳳華

摘? ?要：證明不等式的理論方法多種多樣，微分學中有諸多理論便是解決不等式證明問題的有效工具。此文基于微分學理論角度，運用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)微分中值定理及函數(shù)的凹凸性等知識，通過舉例探析證明不等式的四種有效方法，梳理總結其證明思路。同時應注意運用不同理論方法時，證明思路并不是各自獨立的，它們之間也存在相通的一面。

關鍵詞：不等式? 單調(diào)性? 最值? 微分中值定理? 凹凸性

在學習函數(shù)微積分時，我們常會遇到不等式的證明問題，該類問題是微分學的基本應用之一，也是專升本或考研考試中熱門考點，為方便學習者深入理解掌握，本文以幾道不等式證明為例，探析運用微分學相關理論證明不等式的基本方法，梳理總結其證明思路和規(guī)律。

1? 利用單調(diào)性證明不等式

理論與方法：（1）將不等式移項，使一邊為零，令不等于零的一邊為函數(shù)f（x），根據(jù)已知條件找出不等式成立的x的范圍I;（2）在區(qū)間上判斷f（x）的單調(diào)性，即求函數(shù)f（x）的導數(shù)f'（x），證明f'（x）>0或f'（x）<0;（3）根據(jù)單調(diào)性及區(qū)間端點的函數(shù)值或其左（右）極限得到所要證明的不等式。

2? 利用函數(shù)最值證明不等式

此法證明不等式的理論與方法：（1）令，問題轉(zhuǎn)化為證成立;（2）證明函數(shù)F（x）在區(qū)間I上滿足;（3）寫出證明結論。

3? 利用微分中值定理證明不等式

理論與方法：微分中值定理主要包括羅爾定理 、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。常認為羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情況，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，它們反映導數(shù)值與函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系。拉格朗日中值定理在證明不等式方面是一個非常方便的工具。

拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）上可導，那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點ζ使得或。

若能說明f'（x）在（a，b）上存在某一范圍內(nèi)，如（其中ζ∈（a，b），m

遇到形如上述結構形式的不等式的證明可按如下步驟證明：（1）根據(jù)不等式特征（或變形后）選取適當?shù)暮瘮?shù)f（x），驗證在給定的區(qū)間上f（x）滿足拉格朗日定理條件;（2）結合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，確定f'（x）在給定區(qū)間上的范圍;（3）給出所證不等式結論。

例4 證明：當0

分析：原不等式即為

。

證：設在由拉格朗日中值定理知，在（a，b）內(nèi)至少存在一點ζ使得而

故有，即得：

對上述例3應用此法又可證明如下：

證法2：當x=0時，“=”成立顯然。

當x>0時，令，則在[0，x]上使用拉格朗日中值定理得，

因，且是增函數(shù)，所以。

從而

當x<0時，類似可證得.

4? 利用函數(shù)的凹凸性證明不等式

由函數(shù)凹凸性判定定理知，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且在（a，b）內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，若在（a，b）內(nèi)f''（x）>0，稱函數(shù)f（x）在（a，b）上的圖形是凹的;若在（a，b）內(nèi)f''（x）<0，稱函數(shù)f（x）在（a，b）上的圖形是凸的。又根據(jù)函數(shù)凹凸性定義，對于定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)f（x），若滿足（1）在I上的圖形是凹的，則有;（2）在I上的圖形是凸的，則有，其中x1，x2為區(qū)間I上任意兩點。

5? 結語

通過以上例題探析發(fā)現(xiàn)，運用微分學理論證明不等式時，往往考慮構造一滿足所用理論條件的輔助函數(shù)，此過程是解決問題的關鍵，我們可直接用觀察法選取適當?shù)暮瘮?shù)或先變形，再用觀察法選取適當?shù)暮瘮?shù);同時，也要注意同一題目可運用以上證明方法中的某幾種，證明方法并不是唯一的。

參考文獻

[1] 同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學上冊[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3] 柴長建.微分中值定理的教學實踐與探索[J].高等數(shù)學研究，2010，13（5）：2-5.