近三年全國新課標(biāo)Ⅰ卷中數(shù)列試題的分析研究

呂昊 濮安山

摘 要：數(shù)列模塊是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中非常重要的組成部分，縱觀近三年全國新課標(biāo)Ⅰ卷，數(shù)列試題一直是必考內(nèi)容且占有較大比重.本文針對(duì)近三年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)和文科數(shù)學(xué)試題中的“數(shù)列”考點(diǎn)和分值情況進(jìn)行分析，找尋數(shù)列試題的命題特點(diǎn)和解題規(guī)律，并為應(yīng)屆考生備考復(fù)習(xí)提出一些建議.

關(guān)鍵詞：數(shù)列;試題;命題分析;備考建議

2019年4月23日，江蘇正式啟動(dòng)了新一輪高考綜合改革.新的高考模式中，語文、數(shù)學(xué)、外語將采用全國卷，自2021屆考生開始實(shí)行，而在過去的“08方案”下，江蘇省所有學(xué)科采用自主命題試卷.因此為了積極應(yīng)對(duì)高考改革新方案，研究全國卷命題特點(diǎn)并進(jìn)行試題分析對(duì)2021屆考生備考復(fù)習(xí)很有必要，數(shù)學(xué)作為一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科更是受到廣大考生的高度關(guān)注.數(shù)列是高中代數(shù)知識(shí)的重要組成部分，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出，數(shù)列是一類特殊的函數(shù);是數(shù)學(xué)中重要的研究對(duì)象;是研究其他類型函數(shù)的基本工具;是反映自然變化規(guī)律的基本模型.數(shù)列涉及的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法量多面廣，常與其他數(shù)學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)系，同時(shí)也是將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).

1 數(shù)列試題統(tǒng)計(jì)與分析

1.1 題型與分值分析

從統(tǒng)計(jì)表可以看出，全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)列試題題型分布較穩(wěn)定，理科數(shù)學(xué)以選擇題和填空題為主，除了2017年為兩道選擇題，2018和2019年都是一道選擇題加一道填空，每一年的總分值都是10分.文科數(shù)學(xué)以解答題為主，分值為12分，值得注意的是，2019年的文科數(shù)學(xué)卷除了一道解答題外，還兼有填空題，分值為17分.

1.2 考點(diǎn)分析

全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)列試題所考查的知識(shí)點(diǎn)也相對(duì)較穩(wěn)定，具體涉及到的數(shù)列知識(shí)點(diǎn)有：等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和以及與其他數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合.試題考查的內(nèi)容與方法注重基礎(chǔ)，解題方法與解題技巧較為常見，講究解題的通性通法.

1.3 難度分析

整體來看，全國新課標(biāo)Ⅰ卷數(shù)列試題難度并不是很大，以容易題和中檔題為主.通過分析數(shù)列題出現(xiàn)的位置可以發(fā)現(xiàn)，若是以選擇題的形式考查，除了2017年理科Ⅰ卷數(shù)列選擇題為第12題，其他都是出現(xiàn)在前9題，對(duì)考生來說較容易做對(duì);若是以填空題的形式考查，無一例外的都是第14題，即填空題的第二題，難度也并不是很大，對(duì)考生來說也很容易得分;若是以解答題的形式考查，都是出現(xiàn)在解答題的第一題或第二題的位置，部分解答題最后一問與函數(shù)或不等式相關(guān)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，解題方法與技巧是考生較容易掌握的，仍然屬于容易題.

對(duì)比近三年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)與文科數(shù)學(xué)中的數(shù)列試題，理科試題難度整體上比文科試題難度稍大.理科以選擇題、填空題為主，綜合性強(qiáng)、思維跨度大;文科以解答題為主，側(cè)重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法.理科數(shù)列題的總分值往往都低于文科數(shù)列題的總分值，體現(xiàn)了“尊重差異，文理有別”的原則，充分考慮了文、理科學(xué)生能力的差異.

2 命題特點(diǎn)

對(duì)近三年全國新課標(biāo)Ⅰ卷文、理科數(shù)學(xué)試卷中的10道數(shù)列試題進(jìn)行分析后，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列試題重點(diǎn)考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，著重強(qiáng)調(diào)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法，同時(shí)部分試題也體現(xiàn)了“堅(jiān)持創(chuàng)新”的命題要求.總體來說數(shù)列試題的命題緊扣考試大綱，突出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

2.1 考查數(shù)列的概念和性質(zhì)

常見命題方式：

（1）等差、等比數(shù)列的定義;

（2）判斷是否構(gòu)成等差或等比數(shù)列;

（3）等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì).

例1 （2017年全國新課標(biāo)Ⅰ卷文科第17題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S2=2，S3=-6.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式;

（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列.

解析 （1）設(shè){an}的公比為q.

由題設(shè)，可得a1（1+q）=2，a1（1+q+q2）=-6.

解得q=-2，a1=-2.

故{an}的通項(xiàng)公式為an=（-2）n.

（2）由（1）可得Sn=a1（1-qn） 1-q=-（-2）n+1-2 3.

由于Sn+2+Sn+1=-4 3+（-1）n·2n+3-2n+2 3

=2[-2 3+（-1）n·2n+1 3]=2Sn，

故Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式.第（1）問先利用數(shù)列中前2項(xiàng)和前3項(xiàng)的和，計(jì)算出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可得出其通項(xiàng)公式;第（2）問根據(jù)已得出的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接寫出結(jié)果，再利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)判斷是否成等差數(shù)列即可，屬于容易題.

2.2 考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式

常見命題方式：

（1）求等差數(shù)列的公差或等比數(shù)列的公比;

（2）求數(shù)列通項(xiàng)公式;

（3）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和.

例2 （2017年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科第4題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a4+a5=24，S6=48，則{an}的公差為（ ）.

A.1? ? B.2? ? C.4? ? D.8

解法1 設(shè)等差數(shù)列的公差為d.

則a4+a5=a1+3d+a1+4d=2a1+7d=24，

S6=6a1+6×5 2d=6a1+15d=48.

聯(lián)立2a1+7d=24，6a1+15d=48，解得d=4.

解法2 由S6=3（a1+a6）=48，得a1+a6=16.

即a4+a3=16.

由已知a4+a5=24，兩式相減可得2d=8.

即公差d=4.故選C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，屬于容易題.解法1采用了常規(guī)的“基本量法”，此種方法雖然常用，但如果能靈活地運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的一些性質(zhì)，可以在一定程度上簡便計(jì)算，例如解法2運(yùn)用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q，則am+an=ap+aq，提高了解題速度.

例3 （2019年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科第9題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S4=0，a5=5，則（ ）.

A.an=2n-5? ? ?B.an=3n-10

C. Sn=2n2-8n? ?D.Sn=1 2n2-2n

解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則S4=4a1+6d=0，a5=a1+4d=5，解得d=2，a1=-3.

故an=2n-5，Sn=n2-4n.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，屬于容易題.根據(jù)題目中已給的條件，采用“基本量法”即可求解.

例4 （2019年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科第14題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=1 3，a24=a6，則S5= .

解析 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則a24=（a1q3）2=a6=a1q5.由a1=1 3得q=3.故S5=1 3（1-35） 1-3=121 3.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，屬于容易題.解題過程中涉及冪的乘方運(yùn)算以及繁分式計(jì)算，因此除掌握數(shù)列“基本量法”解題技巧外，準(zhǔn)確計(jì)算是解決此類問題的關(guān)鍵.

2.3 考查數(shù)列的遞推公式

常見命題方式：

（1）根據(jù)an=〖HL（2：1，Z;1，Z〗S1， （n=1）Sn-Sn-1 （n≥2）〖HL）〗求數(shù)列通項(xiàng)，進(jìn)而再對(duì)數(shù)列求和;

（2）判斷或證明數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列.

例5 （2018年全國新課標(biāo)Ⅰ卷理科第14題）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1，則S6= .

解析 〖JP4〗當(dāng)n=1時(shí)，由S1=2a1+1=a1，解得a1=-1;

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2an+1-（2an-1+1）=2an-2an-1，則有an=2an-1.

所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=-1，公比q=2的等比數(shù)列.

所以S6=a1（1-q6） 1-q=-63.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式、等比數(shù)列的定義與前n項(xiàng)和公式.解決此類問題需要掌握an與Sn之間的關(guān)系，即當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1，以此得到數(shù)列{an}中相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，從而確定該數(shù)列是等比數(shù)列，再結(jié)合令n=1求出a1的值，根據(jù)求和公式求解即可，屬于容易題.

例6 （2018年全國新課標(biāo)Ⅰ卷文科第17題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=2（n+1）an，設(shè)bn=an n.

（1）求b1，b2，b3;

（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由;

（3）求{an}的通項(xiàng)公式.

解析 （1）由條件，得an+1=2（n+1） nan.

將n=1代入得a2=4a1.

因?yàn)閍1=1，所以a2=4.

將n=2代入得a3=3a2，所以a3=12.

從而b1=1，b2=2，b3=4.

（2）{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.

由條件，得an+1 n+1=2an n.

又因?yàn)閎n=an n，所以bn+1=2bn.

又因?yàn)閎1=1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.

（3）由（2）可得an n=2n-1，所以an=n·2n-1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式.第（1）問根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，將n=1，n=2代入即可得到對(duì)應(yīng)的a2，a3，從而得到b1，b2，b3的值;第（2）問根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式的轉(zhuǎn)化與判定，并結(jié)合等比數(shù)列的定義即可判斷{bn}是等比數(shù)列;第（3）問結(jié)合（2）的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)變形即可求解.對(duì)于像這樣的既不是等差也不是等比的數(shù)列{an}，可以構(gòu)造一個(gè)與之有關(guān)的等差或等比數(shù)列{bn}，從而通過{bn}這一中間“橋梁”很容易得出{an}的通項(xiàng)公式，此種求數(shù)列通項(xiàng)的方法需要掌握.本題屬于比較常見的題型，整道題偏簡單.

2.4 考查數(shù)列的前n項(xiàng)和求法

常見命題方式：

（1）錯(cuò)位相減法求和;

（2）裂項(xiàng)相消法求和;

（3）分組求和法求和.

縱觀近三年全國新課標(biāo)Ⅰ卷文、理科數(shù)學(xué)試卷中的10道數(shù)列試題發(fā)現(xiàn)，大部分考查數(shù)列求和的試題都可以直接用前n項(xiàng)和公式求解，并且均未涉及到錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消以及分組求和法求和，但這并不意味這三種方法不需要掌握，這三種求和方法對(duì)考生有一定的技巧要求，尤其是錯(cuò)位相減法有不少易錯(cuò)點(diǎn)，考生平時(shí)應(yīng)注重反復(fù)訓(xùn)練，提高計(jì)算的準(zhǔn)確率和解題速度.

2017年全國Ⅲ卷文科第17題和2017年全國Ⅱ卷理科第15題考查了裂項(xiàng)相消法求和;2017年全國Ⅰ卷理科第12題創(chuàng)新性地將數(shù)列求和與推理結(jié)合，并作為選擇題的壓軸題出現(xiàn)，試題新穎且有一定的難度.

例7 （2017年全國新課標(biāo)Ⅱ卷理科第15題）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=3，S4=10，則∑n k=11 Sk=.

解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題知a3=a1+2d=3，S4=4a1+6d=10，解得a1=1，d=1.