紀(jì)定春 唐蓓蕾

摘 要：數(shù)學(xué)深度教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù).本文以一道高考函數(shù)最值題為例，通過(guò)問(wèn)題并聯(lián)，引發(fā)深度思考;問(wèn)題探究，激活數(shù)學(xué)深度思維;深入問(wèn)題本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想;推廣問(wèn)題，促進(jìn)知識(shí)遷移，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的一般性思維策略，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)深度教學(xué);解題教學(xué);高考數(shù)學(xué);函數(shù)最值

數(shù)學(xué)深度教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù).深度學(xué)習(xí)的概念，是在研究計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、人工智能等方面時(shí)產(chǎn)生的.數(shù)學(xué)深度教學(xué)，將深度學(xué)習(xí)的概念進(jìn)行了移植，把計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的概念引入了數(shù)學(xué)教育.數(shù)學(xué)深度教學(xué)，從構(gòu)成對(duì)象上講，應(yīng)該包括“教師的深度教+學(xué)生的深度學(xué)+其它因子”.教師的“深度教”，就是要以學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知特點(diǎn)等為基礎(chǔ)，科學(xué)合理地設(shè)計(jì)課程、創(chuàng)設(shè)情境、聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)等，來(lái)建立學(xué)生新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，促進(jìn)新知的同化或順應(yīng).學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，是指在教師的有效指導(dǎo)下，以高階思維的發(fā)展和關(guān)鍵能力的獲得為旨?xì)w，強(qiáng)調(diào)認(rèn)知、技能、情感等全方位參與和發(fā)展的一種整體性學(xué)習(xí)過(guò)程[1].數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，歸結(jié)起來(lái)就是要促進(jìn)數(shù)學(xué)高階思維能力的發(fā)展，也就是要會(huì)思維（即：想問(wèn)題）.然而，現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，多以淺層的“教”和淺層的“學(xué)”為主要“教”“學(xué)”方式.淺層的“教”表現(xiàn)為知識(shí)點(diǎn)的灌輸式教學(xué)，學(xué)生對(duì)知識(shí)的原理不理解，僅停留在機(jī)械記憶、表層理解和運(yùn)用階段.淺層的學(xué)習(xí)，表現(xiàn)為“機(jī)械學(xué)習(xí)”，這種學(xué)習(xí)方式滿(mǎn)足于數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)（或教訓(xùn)）的簡(jiǎn)單積累，缺乏系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建、數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征、數(shù)學(xué)思想的頓悟等，這種數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單累積方式，與數(shù)學(xué)的邏輯系統(tǒng)本質(zhì)特征是相違背的.

數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展和思維品質(zhì)的提升，離不開(kāi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，即解題.從布魯姆的知識(shí)分類(lèi)理論來(lái)看，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)，表現(xiàn)為會(huì)分析、會(huì)評(píng)價(jià)、會(huì)創(chuàng)造性地理解和運(yùn)用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.然而，很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)還停留在記憶、理解和應(yīng)用階段，數(shù)學(xué)教育的目的不是塑造學(xué)生的思維模式，而是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)會(huì)自主思考.正如鄭毓信先生所講，要由“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”轉(zhuǎn)向“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”，后者所提倡的是“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的一個(gè)重要內(nèi)涵，即應(yīng)當(dāng)由突出強(qiáng)調(diào)具體的數(shù)學(xué)方法和策略，轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅匾话阈运季S策略與思維品質(zhì)的提升[2].學(xué)生數(shù)學(xué)一般性思維策略和思維品質(zhì)的提升，雖說(shuō)可以通過(guò)數(shù)學(xué)解題教學(xué)來(lái)實(shí)現(xiàn)，但這并非只是通過(guò)簡(jiǎn)單、機(jī)械的解題教學(xué)能夠?qū)崿F(xiàn)的，而是在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，在講解問(wèn)題之間聯(lián)系、剖析問(wèn)題本質(zhì)、掌握數(shù)學(xué)方法、滲透數(shù)學(xué)思想、推廣問(wèn)題和方法等過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的.鄭毓信先生認(rèn)為，聯(lián)系、問(wèn)題引領(lǐng)、交流與互動(dòng)、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)是深度學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié).可見(jiàn)鄭先生強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的聯(lián)系性、問(wèn)題引領(lǐng)、交流性以及會(huì)學(xué)習(xí)等[3].郭元祥先生認(rèn)為，深度教學(xué)的根本基礎(chǔ)是知識(shí)觀(guān)和學(xué)習(xí)觀(guān)的深刻轉(zhuǎn)變，強(qiáng)調(diào)知識(shí)處理的充分廣度、充分深度和充分關(guān)聯(lián)度，突顯學(xué)習(xí)的豐富性、沉浸性和層進(jìn)性[4].由此可見(jiàn)，郭先生強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的深度、廣度、關(guān)聯(lián)度、豐富性、滲透性和遞進(jìn)性等.可見(jiàn)，他們都強(qiáng)調(diào)關(guān)聯(lián)性，因?yàn)檫@是深度教和深度學(xué)的基礎(chǔ)，這對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)具有深刻的啟發(fā)性.

數(shù)學(xué)解題教學(xué)要注重通過(guò)相似問(wèn)題的“并聯(lián)”（聯(lián)系），形成問(wèn)題串，引發(fā)學(xué)生深度思考;通過(guò)多視角對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)深度思維;通過(guò)探究問(wèn)題的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì);通過(guò)問(wèn)題推廣，促進(jìn)知識(shí)遷移，培養(yǎng)學(xué)生的一般性思維策略、孕育創(chuàng)新意識(shí).接下來(lái)，以一道一診試題為引例，然后將引例和一道高考三角函數(shù)最值試題并聯(lián)，通過(guò)對(duì)三角函數(shù)最值問(wèn)題的探究，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)深度思考、激活數(shù)學(xué)深度思維、感悟數(shù)學(xué)思想、體驗(yàn)一般性思維策略，進(jìn)而優(yōu)化其數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

1 問(wèn)題并聯(lián)，引發(fā)深度思考

問(wèn)題并聯(lián)（聯(lián)系）作為深度學(xué)習(xí)的首要環(huán)節(jié)，對(duì)激發(fā)學(xué)生的深度思考和促進(jìn)問(wèn)題解決具有引導(dǎo)性作用.好的數(shù)學(xué)試題（問(wèn)題）往往具有基礎(chǔ)性、綜合性、思路寬廣、切入點(diǎn)多、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、形式對(duì)稱(chēng)等特征.其中，綜合性就是要求學(xué)生在問(wèn)題的解決過(guò)程中要注重不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，單純的解題教學(xué)帶給學(xué)生的往往只是孤立的、單個(gè)試題的解法和數(shù)學(xué)解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的簡(jiǎn)單積累，缺乏系統(tǒng)性和關(guān)聯(lián)性，難以形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，而策略型思維是建立在多種數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、策略、思想等融匯貫通的基礎(chǔ)之上，因此，單純的數(shù)學(xué)解題教學(xué)難以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化和網(wǎng)絡(luò)化，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的策略型思維是不利的.通過(guò)相似問(wèn)題之間的并聯(lián)，可以將相互獨(dú)立的問(wèn)題并聯(lián)起來(lái)，形成問(wèn)題串和問(wèn)題網(wǎng)，再通過(guò)對(duì)問(wèn)題串試題進(jìn)行對(duì)比、分析、識(shí)別、表征、評(píng)價(jià)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)試題的呈現(xiàn)方式、問(wèn)題設(shè)置、問(wèn)題結(jié)構(gòu)等之間的異同點(diǎn)，以及問(wèn)題解決方法的側(cè)重點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生的深度思考，優(yōu)化思維策略，進(jìn)而提升一般性思維策略.

問(wèn)題1 （瀘州市2017級(jí)第一次診斷試題第15題）當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)f（x）=cos2x+2sin（π 2+x）有最小值，則sinx0的值為.

問(wèn)題2 （2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第16題）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是.

分析 對(duì)問(wèn)題1，通過(guò)誘導(dǎo)公式，可得f（x）=2cosx+cos2x.可見(jiàn)，該題和2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第16題是相同類(lèi)型的試題，只是在問(wèn)題設(shè)置、函數(shù)名稱(chēng)、函數(shù)奇偶性等幾個(gè)方面上存在差異.問(wèn)題1的解決方案較多，如導(dǎo)數(shù)法（通性通法）、換元法、二次函數(shù)法等.同時(shí)，該試題也設(shè)置了陷阱，函數(shù)f（x）在取得最小值時(shí)，有兩個(gè)最小值點(diǎn)，然而很多學(xué)生只考慮到其中一種情況，遺漏了另外一個(gè)最值點(diǎn)，這一點(diǎn)在設(shè)計(jì)上實(shí)屬巧妙，因此，該題的得分率比較低.問(wèn)題2的呈現(xiàn)方式較為直接，可以考慮通過(guò)統(tǒng)一三角函數(shù)名，然后利用導(dǎo)數(shù)解決;或是換元后轉(zhuǎn)化成冪函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)研究?jī)绾瘮?shù)的最值;或先平方，后配湊，再利用四元均值不等式解決，所以該試題的切入點(diǎn)多、思路極為開(kāi)闊.根據(jù)當(dāng)年高考考生的反映，該試題的運(yùn)算量較大，且不好確定函數(shù)的最值，因此得分率也比較低.

評(píng)注 通過(guò)對(duì)上面問(wèn)題1，2的分析和對(duì)比，可以大膽猜測(cè)，瀘州市2017級(jí)診斷性試題第15題，極可能是由2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第16題改編而成，只是在問(wèn)題的設(shè)置等方面有所差異.這兩道試題都是非常優(yōu)秀的試題，可以并聯(lián)起來(lái)研究和學(xué)習(xí)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題1的分析和解答，自然過(guò)渡到2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第16題的分析和解答.問(wèn)題2中的函數(shù)是奇函數(shù)，解題的思路和切入點(diǎn)比問(wèn)題1更多，是一道優(yōu)秀的高考試題，且該試題具有高等數(shù)學(xué)中函數(shù)凹凸性的背景，具有探究?jī)r(jià)值和推廣價(jià)值，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的一般性思維策略和提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)具有重要的意義.

2 問(wèn)題探究，激活數(shù)學(xué)深度思維

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.數(shù)學(xué)深度思維的參與，離不開(kāi)問(wèn)題的引領(lǐng)和問(wèn)題的探究.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究，讓學(xué)生的思維參與其中，從教師的思維主導(dǎo)轉(zhuǎn)向?qū)W生自發(fā)、主動(dòng)的思維（想問(wèn)題），這就是要從“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”轉(zhuǎn)向“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”，不是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上跟著教師的思路和方法走，而是要讓學(xué)生主動(dòng)地尋求方法，去猜測(cè)、去嘗試、去估算、去計(jì)算、去推理等，甚至讓學(xué)生去預(yù)測(cè)問(wèn)題解決所要經(jīng)歷的大致過(guò)程等，讓學(xué)生在主動(dòng)探究問(wèn)題的過(guò)程中，逐漸地激活數(shù)學(xué)深度思維，促進(jìn)一般思維策略發(fā)展，提升思維品質(zhì).

2.1 導(dǎo)數(shù)法探究函數(shù)最值

導(dǎo)數(shù)法是研究函數(shù)最值（最大、最小值）、極值的通性通法，頗受學(xué)生的喜愛(ài).但是在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法解決問(wèn)題的同時(shí)，也常會(huì)碰到一些問(wèn)題，如運(yùn)算量較大、計(jì)算易失誤、函數(shù)單調(diào)性難以判斷、多次求導(dǎo)（高階導(dǎo)數(shù)）、邏輯混亂等，特別是在多次求導(dǎo)之后，反過(guò)來(lái)判斷原函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，時(shí)常出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，在使用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，需要講究一些策略，適度增加思維量，盡量減少運(yùn)算量.

分析1 為了方便研究，由于函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x是奇函數(shù)，顯然周期T=2π，不妨將函數(shù)限定在一個(gè)完整的區(qū)間上，如-π≤x≤π（注意：不妨假設(shè)，在后面的討論和計(jì)算中，不作特殊說(shuō)明時(shí)，都限定在-π≤x≤π上討論），這樣可以通過(guò)研究函數(shù)的局部性質(zhì)來(lái)了解周期函數(shù)的整體性質(zhì).

對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，可得f ′（x）=2cosx+2cos2x.統(tǒng)一函數(shù)名，然后因式分解，可得f ′（x）=2（cosx+1）·（2cosx-1）.

令f ′（x）=0，可得cosx=-1或cosx=1 2.

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)cosx=-1時(shí)，（x，f（x））不為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，故cosx=1 2.

當(dāng)cosx=1 2時(shí)，又因?yàn)?π≤x≤π，所以解得x1=-π 3，x2=π 3.

因?yàn)楫?dāng)-π≤x

當(dāng)x1≤x≤x2時(shí)，有1 2≤cosx≤1;

當(dāng)x2

所以函數(shù)f（x）在x1=-π 3處取得極小值，在x2=π 3處取得極大值.則f（-π 3）=-3 3 2.

根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以有f（π 3）=3 3 2.

由閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必然存在最大值和最小值，還需要計(jì)算函數(shù)的端點(diǎn)值，然后比較大小，可得函數(shù)的最小值，顯然有f（-π）=f（π）=0，故函數(shù)的最小值為-3 3 2.

評(píng)注 該方法將函數(shù)的定義域固定在一個(gè)完整的周期上，可以通過(guò)對(duì)一個(gè)完整區(qū)間上（周期）函數(shù)性質(zhì)的研究，來(lái)達(dá)到對(duì)函數(shù)整體性質(zhì)研究的目的，這是研究周期性函數(shù)的常見(jiàn)方法.但是該方法的運(yùn)算量偏大，特別是在統(tǒng)一函數(shù)名、因式分解、解三角函數(shù)方程等過(guò)程中，容易出現(xiàn)失誤，在對(duì)極值點(diǎn)的判定過(guò)程中，當(dāng)cosx=-1時(shí)，不容易判別函數(shù)在該點(diǎn)是否取到極值.

2.2 統(tǒng)一函數(shù)名，巧用換元法

三角函數(shù)，特別是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，具有良好的性質(zhì)，如奇偶性、周期性、有界性等，其中有界性是三角函數(shù)重要的特性，這對(duì)研究函數(shù)的最值（最大、最小值）具有重要的價(jià)值和意義.換元法是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的解題方法，常見(jiàn)的換元法有整體換元法、部分換元法等，通過(guò)換元可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算、降低思維難度、促進(jìn)問(wèn)題的解答.

分析2 在分析1中，最繁瑣的就是解三角方程，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是一種挑戰(zhàn)，在現(xiàn)行高中，并不太重視解三角方程，而是注重于解決代數(shù)方程，那么是否可以不用解三角方程呢？可以.利用三角函數(shù)的恒等變形，先將三角函數(shù)名統(tǒng)一起來(lái)，然后利用換元法，將三角函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為純粹的求代數(shù)最值問(wèn)題.

先利用二倍角公式，將原函數(shù)化為f（x）=2sinx+2cosxsinx=2sinx（1+cosx），然后再利用三角恒等式“sin2x+cos2x=1”，這里顯然不能通過(guò)“sinx=±1-cos2x”來(lái)直接統(tǒng)一函數(shù)名，因?yàn)椤皊inx”的取值情況是不確定的，如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？可以考慮將函數(shù)f（x）的兩邊同時(shí)平方，再將計(jì)算出來(lái)的結(jié)果還原，這并不影響函數(shù)的最值.于是，將等式兩邊同時(shí)平方，可得f2（x）=4sin2x（1+cosx）2=4（1-cos2x）（1+cosx）2.

令cosx=t，顯然-1≤t≤1，原式化為求當(dāng)-1≤t≤1時(shí)，求f2（t）=4（1-t2）（1+t）2的最小值.顯然，這是一個(gè)高次函數(shù)最值問(wèn)題，可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究其最值，這樣就可以避免解三角方程，此處不再給出具體的解答過(guò)程.

評(píng)注 該方法充分地考查學(xué)生的三角函數(shù)恒等變形、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、求導(dǎo)方法等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).先利用三角函數(shù)的恒等變形統(tǒng)一函數(shù)名，然后又用換元法，將解三角方程問(wèn)題變成求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值問(wèn)題，這就避免了解三角方程.值得注意的是，該方法對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和運(yùn)算量的要求都比較高.

2.3 巧取平方，構(gòu)造不等式法

不等式是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)模塊，在高中數(shù)學(xué)和高考數(shù)學(xué)中占有重要的地位.縱觀(guān)近年高考試題的風(fēng)格和題目的類(lèi)型，不難發(fā)現(xiàn)，高考數(shù)學(xué)對(duì)不等式的考查，有逐年加強(qiáng)的趨勢(shì).例如，選做題中就常常出現(xiàn)不等式的證明和求最值（條件最值）的試題，這類(lèi)不等式試題看似形式簡(jiǎn)單，實(shí)則靈活多變，考試的得分情況也不盡人意.因此，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該注重對(duì)不等式的講解和練習(xí).

分析3 通過(guò)分析2，可以得出f2（x）=4（1-cos2x）（1+cosx）2，將等式的右邊因式分解，可得f2（x）=4（1-cosx）（1+cosx）3，將因子“（1-cosx）”前面湊一個(gè)系數(shù)“3”，再恒等變形，可知f2（x）=4 3（3-3cosx）（1+cosx）3.顯然，等式右邊因子“3-3cosx”和“3（1+cosx）”相加為定值“6”，考慮使用四元均值不等式，即

f2（x）=4 3（3-3cosx）（1+cosx）3

=4 3（3-3cosx）（1+cosx）（1+cosx）（1+cosx）

≤4 3·（3-3cosx+1+cosx+1+cosx+1+cosx 4）4

=4 3·（3 2）4

=27 4.

所以-3 3 2≤f（x）≤3 3 2.

故函數(shù)的最小值為-3 3 2.

當(dāng)且僅當(dāng)“3-3cosx=1+cosx”時(shí)，即當(dāng)cosx=1 2時(shí)，等號(hào)成立.

評(píng)注 該方法主要考查三角恒等變形、均值不等式（四元）、“配湊”法等基礎(chǔ)知識(shí)和思想方法.四元均值不等式，實(shí)際上已經(jīng)超出了高中數(shù)學(xué)所學(xué)知識(shí)的范圍，但是這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)具有重要的價(jià)值.其實(shí)，學(xué)生可以通過(guò)已有的二元均值不等式的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，探索并證明四元均值不等式，如高中已經(jīng)講過(guò)二元均值不等式xy≤（x+y 2）2，四元均值不等式是可以在此經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上延伸出來(lái)的，不妨再來(lái)一組，如zw≤（z+w 2）2，利用不等式的運(yùn)算性質(zhì)，將兩個(gè)不等式相乘，可得xyzw≤（x+y 2）2（z+w 2）2，顯然不等式右邊用二元均值不等式，有（x+y 2·z+w 2）2≤（（1 2（x+y 2+z+w 2））2）2=（x+y+z+w 4）4，可得xyzw≤（x+y+z+w 4）4，如此下去，用歸納法就可以得到n元均值不等式，即a1a2…an≤（a1+a2+…+an n）n.這就需要學(xué)生具有良好的類(lèi)比推理、邏輯運(yùn)算以及大膽猜測(cè)、敢于探索等數(shù)學(xué)綜合能力素養(yǎng).由此可見(jiàn)，該方法對(duì)學(xué)生的思維量要求相對(duì)較高，運(yùn)算量要求較低.

3 深入問(wèn)題本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想、優(yōu)化思維品質(zhì)

深入問(wèn)題本質(zhì)，不是就題論題，而是要挖掘試題的背景、內(nèi)涵、命題意圖、條件呈現(xiàn)方式、問(wèn)題設(shè)置方式、考查的知識(shí)點(diǎn)等，這樣才能更好地講出試題背后的思想、方法及精髓.將問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，可以更好地引導(dǎo)學(xué)生去觀(guān)察、分析、辨別、解決、反思、總結(jié)問(wèn)題，進(jìn)而感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.數(shù)學(xué)思想是靠“悟”出來(lái)的，而不是靠教出來(lái)的.數(shù)學(xué)思想具有模糊性、潛在性和隱藏性等特點(diǎn)，很難直接教，但可以通過(guò)教師在教學(xué)的過(guò)程中有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想，或是引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題的解決過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想.

在數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，是溝通直觀(guān)與抽象的橋梁.正如華羅庚先生曾講“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分解萬(wàn)事休”.華先生強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的重要性，“形”可以為問(wèn)題的解決提供直觀(guān)的想象或思路，“數(shù)”可以精確地刻畫(huà)“形”的本質(zhì)特征，如一些不直觀(guān)的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)等，可借助數(shù)來(lái)描述其中的關(guān)系.

分析4 注意到，此處的函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x為兩個(gè)奇函數(shù)，相加之后的結(jié)果仍然是奇函數(shù)，不妨先來(lái)看看最簡(jiǎn)單的三角函數(shù)g（x）=sinx的圖象有什么樣的直觀(guān)幾何特性？不難發(fā)現(xiàn)，有如下的關(guān)系：

對(duì)任意的-π≤x1，x2≤0，有不等式g（x1）+g（x2）≥2g（x1+x2 2）成立，

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)，等號(hào)成立;

對(duì)任意的0≤x1，x2≤π，有不等式g（x1）+g（x2）≤2g（x1+x2 2）成立，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)，等號(hào)成立.

類(lèi)似地，可以得出，對(duì)任意的-π≤x1，x2，x3≤0，有不等式g（x1）+g（x2）+g（x3）≥3g（x1+x2+x3 3）成立，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3時(shí)，等號(hào)成立;

對(duì)任意的0≤x1，x2，x3≤π，有不等式g（x1）+g（x2）+g（x3）≤3g（x1+x2+x3 3）成立，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3時(shí)，等號(hào)成立.

這樣的性質(zhì)，可以借助正弦函數(shù)圖象的“形”看出來(lái)，然后利用代數(shù)符號(hào)（數(shù)）來(lái)刻畫(huà)，這種性質(zhì)，在高等數(shù)學(xué)中常常用來(lái)刻畫(huà)函數(shù)的凹凸性.從幾何的直觀(guān)性質(zhì)出發(fā)，到最后用代數(shù)符號(hào)表征出正弦函數(shù)的局部性質(zhì)，集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

為了方便研究函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x的最值，可以將函數(shù)的自變量范圍限制在一個(gè)更小的區(qū)間上，不妨假設(shè)00，sin2x>0.

又注意到，在正弦函數(shù)中，sinx=sin（π-x）.

所以f（x）=2sinx+sin2x

=sin（π-x）+sin（π-x）+sin2x

≤3sinπ-x+π-x+2x 3

=3sin2π 3

=3 3 2.

當(dāng)且僅當(dāng)“π-x=2x”時(shí)，即x=π 3時(shí)，等號(hào)成立.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的最小值為-3 3 2.

評(píng)注 結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，借助正弦函數(shù)的幾何直觀(guān)，觀(guān)察正弦函數(shù)的幾何特征，將幾何性質(zhì)代數(shù)化處理，便得出上面的不等式，這需要學(xué)生有深刻的數(shù)學(xué)思維和敏銳的洞察力，這個(gè)不等式是不容易被直接發(fā)現(xiàn)的，但可以通過(guò)教師的逐步引導(dǎo)來(lái)實(shí)現(xiàn).讓學(xué)生在不等式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中感悟數(shù)形結(jié)合的思想，在問(wèn)題的解決過(guò)程中感受數(shù)學(xué)本質(zhì)和高等數(shù)學(xué)的魅力.可見(jiàn)，該試題蘊(yùn)含高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的凹凸性質(zhì)，詹森（Jensen）不等式的特例，也稱(chēng)琴生不等式.

4 問(wèn)題推廣，促進(jìn)知識(shí)遷移、培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

張景中院士指出：“推廣是數(shù)學(xué)研究極重要的手段之一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴(lài)于推廣.數(shù)學(xué)家總是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，向未知的領(lǐng)域擴(kuò)展，從實(shí)際的概念及問(wèn)題中推廣出各種各樣的新概念、新問(wèn)題[5].”推廣，可以將一個(gè)具體的問(wèn)題一般化，通過(guò)對(duì)一個(gè)問(wèn)題的解決，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)一類(lèi)問(wèn)題或者是一串問(wèn)題的解決，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)遷移和思維的發(fā)展具有重要的意義.除此之外，推廣可以得出各種各樣的新概念、新問(wèn)題，因此，推廣還孕育著數(shù)學(xué)創(chuàng)新，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)、學(xué)習(xí)一般化的思維策略、提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)等都具有重要的教育價(jià)值.接下來(lái)，將從不同維度，對(duì)該三角函數(shù)最值試題進(jìn)行推廣、分析以及評(píng)注.

推廣1 已知函數(shù)f（x）=3sinx+sin3x，求函數(shù)f（x）的最小值.

分析 可以類(lèi)比前面一種解法，不妨假設(shè)0≤x≤π 3，顯然f（x）=3sinx+sin3x滿(mǎn)足上述不等式的性質(zhì).

則有f（x）=3sinx+sin3x

=sinx+sinx+sinx+sin3x

=sin（π-x）+sin（π-x）+sin（π-x）+sin3x

≤4sin3（π-x）+3x 4

=4sin3π 4

=22.

當(dāng)且僅當(dāng)“π-x=3x”時(shí)，即當(dāng)x=π 4時(shí)，等號(hào)成立.

由奇函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)f（x）的最小值為-22.

評(píng)注 此推廣是將原問(wèn)題的系數(shù)增加1，其余的不變，可以用上述探究1，2，3的方法來(lái)解決，也可以利用上述解法中函數(shù)的凹凸性質(zhì)來(lái)解決.

推廣2 已知函數(shù)f（x）=nsinx+sinnx，求函數(shù)的最小值.

評(píng)注 推廣2，將原問(wèn)題的系數(shù)一般化處理，解決方法類(lèi)比推廣1，此處不再給出具體的解答過(guò)程，有興趣的可以嘗試去求解.

推廣 3 已知函數(shù)f（x）=2psinnx+psin2nx，其中p∈R+，求函數(shù)的最小值.

分析 利用二倍角公式，將函數(shù)名稱(chēng)統(tǒng)一起來(lái)，得f（x）=2psinnx（1+cosnx）.然后將兩邊同時(shí)平方，可得f2（x）=4p2·sin2nx·（1+cosnx）2=4p2·（1-cos2nx）（1+cosnx）2.

于是，有f2（x）=4 3p2·（3-3cosnx）（1+cosnx）3

≤4 3p2·（3-3cosnx+3（1+cosnx） 4）4

=4 3p2·（6 4）4.

由奇函數(shù)性質(zhì)，可知函數(shù)f（x）的最小值為-3 3p 2.

當(dāng)且僅當(dāng)“3-3cosnx=1+cosnx”時(shí)，即當(dāng)cosnx=1 2時(shí)，等號(hào)成立.

評(píng)注 此推廣引入?yún)?shù)p，將原問(wèn)題中的常數(shù)一般化處理，解決方法和探究3相同.

推廣4 已知函數(shù)f（x）=psinnx（1+cosx），其中p∈R+，求函數(shù)的最小值.

分析 先將等式的兩端平方，統(tǒng)一函數(shù)名，可得f2（x）=p2·（1-cosx）n（1+cosx）n+2.

可以考慮換元法，將其轉(zhuǎn)化成高次函數(shù)的最值問(wèn)題，從而用導(dǎo)數(shù)解決，亦可以先配湊，再用不等式的方法來(lái)解決.

評(píng)注 此推廣將三角函數(shù)的指數(shù)進(jìn)行了推廣，變成高次三角函數(shù)最值問(wèn)題.這種試題，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)具有一定的難度，可以在教學(xué)過(guò)程中作為課后思考習(xí)題使用.

推廣5 已知∑n i=1xi=c，0

分析 利用函數(shù)g（x）=sinx在區(qū)間0

f（x）=∑n i=1sinxi≤nsinx1+x2+…+xn n=nsinc n.

當(dāng)且僅當(dāng)“x1=x2=…=xn=c n”時(shí)，等號(hào)成立.

所以函數(shù)f（x）=∑n i=1sinxi在區(qū)間0

評(píng)注 此推廣是詹森不等式的一般形式，可以利用函數(shù)的凹凸性證明，如果要用常規(guī)方法來(lái)解決該問(wèn)題，比較困難，可以尋找時(shí)機(jī)，適當(dāng)補(bǔ)充詹森不等式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)面.

推廣6 已知函數(shù)f（x）=sinx，其中00，且∑n i=1λi=1.證明：不等式∑n i=1if（xi）≤f（∑n i=1λixi）成立.

分析 該不等式，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，過(guò)程比較繁瑣，如有興趣，可以參考文[6].

評(píng)注 此推廣為詹森不等式，是描述函數(shù)凹凸性最一般的代數(shù)形式，該不等式在競(jìng)賽數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中具有重要的價(jià)值和廣泛的應(yīng)用，應(yīng)該值得關(guān)注.

5 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)深度教學(xué)是指向數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，更是指向由教師教會(huì)學(xué)生思維轉(zhuǎn)向?qū)W生學(xué)會(huì)自主思維的教學(xué).

（1）重視問(wèn)題和知識(shí)點(diǎn)之間的并聯(lián).通過(guò)問(wèn)題串（并聯(lián)）的引領(lǐng)，引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的深度思考.

（2）注重引導(dǎo).在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生在主動(dòng)探究問(wèn)題、解決問(wèn)題、反思問(wèn)題的過(guò)程中，激活數(shù)學(xué)深度思維.

（3）深入問(wèn)題本質(zhì).在把握問(wèn)題的本質(zhì)過(guò)程中，感悟試題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

（4）注重問(wèn)題的推廣.在問(wèn)題的推廣過(guò)程中，促進(jìn)知識(shí)遷移、孕育創(chuàng)造性思維.

（5）多視角探究問(wèn)題.分析1從通性通法開(kāi)始，這符合學(xué)生的常規(guī)想法;分析2是對(duì)避免解三角方程引起的思考，可以通過(guò)換元法去避免解三角函數(shù)方程;分析3是在分析2的基礎(chǔ)之上引發(fā)的再思考，通過(guò)對(duì)等式的右邊“配湊”，讓“配湊”后各個(gè)因式的和為定值，則乘積有最值，這可以通過(guò)已有的二元均值不等式取等條件的經(jīng)驗(yàn)想到，想法比較自然，運(yùn)算量較小，但是對(duì)思維的要求比較高.

（6）注意思維的梯度.通過(guò)觀(guān)察正弦函數(shù)的半個(gè)周期的圖象，經(jīng)歷從“形”直觀(guān)的感性認(rèn)識(shí)到“數(shù)”的理性認(rèn)識(shí)，感受數(shù)學(xué)的本質(zhì)，感悟數(shù)形結(jié)合的思想魅力，最終利用代數(shù)表征幾何圖形的性質(zhì)，突顯出函數(shù)凹凸性質(zhì)的強(qiáng)大力量，極大地簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程.

總之，數(shù)學(xué)深度教學(xué)，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的重要而基礎(chǔ)的環(huán)節(jié)，這不僅僅需要在解題教學(xué)的過(guò)程中體現(xiàn)，還需要貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教育活動(dòng)的全部過(guò)程，這樣才能夠真正地讓學(xué)生思維得到鍛煉，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生一般性思維策略的發(fā)展，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

參考文獻(xiàn)：

[1]張曉娟，呂立杰.SPOC平臺(tái)下指向深度學(xué)習(xí)的深度教學(xué)模式建構(gòu)[J].中國(guó)電化教育，2018（04）：96-101+130.

[2]鄭毓信.“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”十講之二：“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的具體涵義[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（09）：10-12.

[3]鄭毓信.“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的理論與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28（05）：24-32.

[4]郭元祥.論深度教學(xué)：源起、基礎(chǔ)與理念[J].教育研究與實(shí)驗(yàn)，2017（03）：1-11.

[5]朱華偉，張景中.論推廣[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2005，44（04）：55-57+28.

[6]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

（收稿日期：2020-01-03）